Abschlussprüfung 2006 - Mathematik II

Abschlussprüfung 2006 - Mathematik II
Nachtermin - Bayerische Realschule - Aufgaben D1, D2

Grüß dich Gott! Und weiter geht's!

D 1.0

Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung y = 0,25(x - 2)² +2 und die Gerade g mit der Gleichung

mit

D 1.1

Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g im Bereich von in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

3 P

D 1.2

Punkte und D_n auf der Parabel p sind zusammen mit Punkten und C_n auf der Geraden g Eckpunkte von Trapezen A_nB_nC_nD_n mit [A _nB_n]||[C_nD_n]. Die Punkte A_n und B_n haben dieselbe Abszisse x, die Abszisse der Punkte C_n ist stets um 4 größer als die Abszisse x der Punkte A _n und B_n.

Zeichnen Sie die Trapeze A₁B₁C₁D₁ für x = –3 und A₂B₂C₂D₂ für x = 2 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

D 1.3

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Länge der Seiten [A _nB_n] in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n wie folgt darstellen lässt:

2 P

D 1.4

Unter den TrapezenA_nB_nC_nD_n gibt es zwei Trapeze A₃B₃C₃D₃ und A₄B₄C₄D₄, deren Seiten [A _nB_n] und [B_nC_n] gleich lang sind.

Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte A₃ und A₄. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

4 P

D 1.5

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte C_n und D_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n.

[Ergebnisse: C_n(x + 4| -0,5x - 3); D_n(x + 4| 0.25x² + x +3)]

2 P

D 1.6	Unter den Trapezen A_nB_nC_nD_n gibt es das Parallelogramm A₅B₅C₅D₅. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A₅.	4 P

	Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden.

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Nr. 1

D 1.1

Um die Parabel p im angebenen Bereich genau zeichnen zu können, solltest du für diesen Bereich eine Wertetabelle mit der Schrittweite = 1 erstellen.

x	y
-3	8.25
-2	6
-1	4.25
0	3
1	2.25
2	2
3	2.25
4	3
5	4.25
6	6
7	8.25

Die Gerade g zeichnest du entweder mit dem y-Achsenabschnitt t = -1 und einem Steigungsdreieck oder du machst eine Wertetabelle mit zwei Werten, so wie ich.

x	-2	6
y	0	-4

Nr. 9

weiter D 1.5

Mit dem Punkt D_n machst du es ebenso. D_n liegt auf der Parabel y = 0,25(x - 2)² +2. Du setzt den Term x_A + 4 in diese Parabelgleichung für x ein.

y_D = 0,25(x_A + 4 - 2)² +2

y_D = 0,25(x_A + 2)² + 2

y_D = 0,25(x_A² + 4x_A + 4) + 2

y_D = 0,25x_A²+ x_A + 3

=> D_n(x + 4 / 0,25x + x + 3)

D 1.6

Ziehe den roten Punkt mit der Maus auf der Parabel bis aus dem Trapez ein Parallelogramm wird. Doch es geht! Dabei sollte dir eigentlich die Lösungsidee ins Hirn geschossen sein.

Warum glaubst du wohl sind in Teilaufgabe D 1.5 die Ergebnisse angegeben? Du brauchst sie hier. Denn du musst in Abhängigkeit vom x-Wert des Punktes A berechnen.

Nr. 8

D 1.5

Alle C_n liegen auf der Geraden g mit y = -0,5x - 1.

Was ist der x-Wert aller C_n in Abhängigkeit der x-Werte der Punkte A_n?

A_n und B_n haben den gleichen x-Wert. Der x-Wert von C_n ist um 4 größer als der x-Wert von B_n. Also gilt:

x_C = x_A + 4

Den Term x_A + 4 setzt du jetzt in die Geradengleichung für x ein.

y_C = -0,5(x_A + 4) - 1

y_C = -0,5x_A - 2 - 1

y_C = -0,5x_A - 3

=> C_n(x_A + 4 / -0,5x_A - 3)

Wenn dir klar ist, dass es sich um den x-Wert von A handelt, kannst du den Index A uach weglassen.

=> C_n(x + 4 / -0,5x - 3)

Nr. 7

weiter D 1.4

Weißt du, was das heißt?

Du musst nur noch folgende poplige quadratische Gleichung lösen:

4,47 = 0,25x² - 0,5x + 4

0 = 0,25x² - 0,5x - 0,47

a = 0,25; b = -0,5; c = -0,47

Lösungsweg mit dem Casio-GTR:

EQUA-F2-F1-F1

y₁ = 0,25(2,70 - 2)² + 2 = 2,12

y₂ = 0,25(-0,7 - 2)² + 2 = 3,82

A₃(2,70 / 2,12); A₄(-0,70 / 3,82)

Nr. 6

weiter D 1.4

m = tan =-0.5

Entweder du löst diese Gleichung problemlos im GRAPH-Menü (siehe hier im rechten Rand) oder du weißt, dass sich der Tangenswert alle 180° wiederholt.

=> = -26.57

Du suchst einen stumpfen Steigungswinkel.

= -26.57 + 180° = 153,43°

Im Steigungsdreieck B_nC_nF gilt:

C_nB_nF = 180° -

C_nB_nF = 180° - 153,43°

C_nB_nF = 26,57°

Es soll gelten:

Nr. 5

weiter D 1.3

D 1.4

Wie du gerade nachgewiesen hast gilt:

Was du brauchst ist die Streckenlänge . Sie ist nicht von x abhängig. [A _nB_n] ist Hypotenuse im Steigungsdreieck A _nB_nF. Es gilt:

m = tan =-0.5

Nr. 4

weiter D 1.3

Haben zwei Punkte den gleichen x-Wert, liegen sie übereinander, dann berechnet sich die Streckenlänge zwischen diesen beiden Punkten mit:

y_oben - y_unten

z.B. A(4/3) und B(4/-3)

= 3 - (-3) = 6 LE

Schaue es dir links an!

Haben zwei Punkte den gleichen y-Wert, liegen sie nebeneinander, dann berechnet sich die Streckenlänge zwischen diesen beiden Punkten mit:

x_rechts - x_links

In Abhängigkeit von x gilt:

Nr. 3

weiter D 1.2

Du hast das jetzt nicht ganz verstanden, weil du mit "Abszisse" nichts anfangen kannst? "Sie haben die gleiche Abszisse" heißt: "Sie haben den gleichen x-Wert. Alle Punkte A und B liegen übereinander."

Was bedeutet dies für die Punkte C und D, wenn gilt:
[AB]||[CD] ?

Richtig, auch C und D haben die gleiche Abszisse, den gleichen x-Wert, sie liegen übereinander. Der Abstand zwischen [AB] und [CD] beträgt 4 LE.

Also zeichnest du rechts von der Parallelen p₁ eine Parallele p₂ im Abstand 4 LE. Die Parallele p₂ schneidet die Parabel und die Gerade in den Punkten D₁ und C₁.

Damit hast du dein erstes Trapezbeispiel. Mit Nummer 2 machst du es genauso. Alles klar?

D 1.3

Erinnerst du dich, wie man Streckenlängen berechnet, wenn die Strecken parallel zu den Achsen sind?

Nr. 2

D 1.2

Ich hoffe, du hast inzwischen erkannt um welche Art Aufgabe es sich handelt. Es ist eine Abhängigkeitsaufgabe bei der du zwischen zwei Funktionsgraphen Trapeze reinbasteln sollst. Alle Punktkoordinaten hängen vom x-Wert des Punktes A ab.

Da man dir zur Abschlussprüfung kein dynamisches Arbeitsblatt wie links zur Verfügung stellen kann, lässt dich der Aufgabensteller zwei Beispiele zeichnen. Er macht dies in der Hoffnung, dass du eine Vorstellung von dieser Abhängigkeitsaufgabe bekommst. In der Abschlussprüfung hilft dir nur deine Vorstellungskraft. Du musst dir vorstellen, wie du den Punkt A mit der Maus ziehst. Links kannst du es ausprobieren. Ziehe den Punkt A auf die x-Werte -3 und 2 und schau dir die Trapeze an.

Wie aber kommst auf Papier zu deinen beiden Trapezen?

Du zeichnest eine Parallele p₁ zur y-Achse durch x = -3. Die Parallele p₁ schneidet die Parabel und die Gerade in den Punkten A₁ und B₁.

Nr. 10

weiter D 1.6

Du weißt noch wie das geht? Wie in Teilaufgabe D 1.3:

=y_oben - y_unten

Es gilt:

0,25x²-0,5x+4=0,25x²+1.5x+6

-0,5x + 4 = 1.5x + 6

- 2 = 2x => x = - 1

eingesetzt in A_n:

y = 0,25(-1 - 2)² + 2 = 4,25

=> A₅(-1 / 4,25)

D 2.0

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCS, deren Grundfläche ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis [BC] ist. M ist der Mittelpunkt der Basis [BC] mit = 12 cm.

Für die Dreieckshöhe [AM] gilt:
= 8 cm.

Die Seitenfläche BCS der Pyramide ABCS ist ein gleichseitiges Dreieck. Der Neigungswinkel SMA der Seitenfläche BCS zur Grundfläche ABC der Pyramide hat das Maß 65°.

D 2.1

Berechnen Sie die Streckenlänge auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. Zeichnen Sie sodann das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der Schrägbildachse liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: ;

[Teilergebnis: = 10,39 cm]

3 P

D 2.2

Berechnen Sie die Länge der Seitenkante [AS] und das Maß des Winkels MAS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis:

= 10,08 cm]

2 P

D 2.3

Berechnen Sie das Volumen V der Pyramide ABCS und den Flächeninhalt der Seitenfläche ABS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis: V = 150,72 cm³]

5 P

D 2.4

Der Punkt F ist der Fußpunkt des Lotes von A auf die Strecke [MS]. Außerdem ist F der Mittelpunkt der Strecke [PQ] mit P[BS] und
Q[CS] und [PQ]||[BC]. Das Dreieck PQS ist die Grundfläche der Pyramide PQSA mit der Spitze A.

Zeichnen Sie die Pyramide PQSA in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Berechnen Sie die Streckenlängen , und . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnisse: = 7,00 cm; = 8,08 cm]

4 P

D 2.5

Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide PQSA am Volumen der Pyramide ABCS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

3 P

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Nr. 1

Zu jeder Teilaufgabe kannst du dir das zur Berechnung notwendige Dreieck einschalten. Mache es dir aber nicht zu leicht! Versuche erst selber Dreiecke zur Berechnung zu finden.

D 2.1

Zum Zeichnen des Schrägbildes brauchst du . [MS] ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck BCS. In deiner Formelsammlung findest du eine Formel für diese Höhe.

Du zeichnest das Schrägbild der Grundfläche. In M an [AM] trägst du den Winkel 65° an. Der Kreis um M mit dem Radius
r = 10,39 cm schneidet den freien Schenkel des Winkels in S.

D 2.2

Im Dreieck AMS kennst du zwei Seiten und den Zwischenwinkel. Hörst du den Kosinussatz herbei eilen?

Nr. 5

weiter D 2.4

Im rechtwinkligen Dreieck AMF gilt:

Wir haben mit den angegeben Werten gerechnet und trotzdem weicht unsere Lösung um 0.01 cm vom angegebenen Zwischenergebnis ab. Auch Abschlussprüfungs-Macher sind nicht perfekt.

Weißt du woran das liegt? Der Prüfungsmacher hat einen anderen Lösungsweg eingeschlagen. Obwohl unser Ergebnis richtig ist, rechne bitte immer mit dem angegebenen Ergebnis weiter.

Auch berechnest du im rechtwinkligen Dreieck AMF, entweder mit dem Tangens oder mit dem Sinus.

Nr. 4

weiter D 2.3

Um ihn mit dem Kosinussatz berechnen zu können, musst du allerdings zunächst berechnen. Dies geschieht mit dem Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck ABM.

D 2.4

Hier sind zwei Zwischenergebnisse angegeben und die solltest du auch zuerst berechnen.

Nr. 3

D 2.3

Blende bitte D 2.3a ein. Die Höhe h der Pyramide ABCS berechnest du im violetten rechtwinkligen Dreieck LMS mit dem Sinus.

Blende bitte D 2.3a aus und dafür D 2.3b ein. Du sollst den Flächeninhalt des Dreiecks ABS berechnen. Wenn du meine Fragezeichen siehst, weißt du sicherlich gleich mit welcher Flächenformel du das bewerkstelligen musst. Oderrrr?

Du musst die Sinus-Formel benutzen. Dazu brauchst du einen Zwischenwinkel. Ich schlage den Winkel ASB = vor.

Nr. 6

weiter D 2.4

Das Werkzeug für ist die Ähnlichkeit von Dreiecken. Es gilt:

D 2.5

Nr. 2

weiter D 2.2

Mit kannst du jetzt im Dreieck AMS den Sinussatz ansetzen.

Du hättest als Werkzeug natürlich auch den Kosinussatz benutzen können. Dein Ergebnis wäre ganz leicht abgewichen, wegen der Rundungen. Mach dir keinen Kopf wegen leicht abweichender Lösungen. Runde immer auf die verlangte Stellenzahl und es gibt keinen Punktabzug.