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Abschlussprüfungen mit Spaß lernen
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Abschlussprüfung 2007 - Mathematik II
Wahlteil - Bayerische Realschule - Aufgaben A1, A2
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Grüß dich Gott! Und weiter geht's!
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| A 1.1 |
Berechnen Sie das Maß  des Mittelpunktswinkels BMA des Kreissektors und zeichnen Sie sodann den Kreissektor.
[Teilergebnis:  ] |
2 P |
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| A 1.2 |
Auf dem Kreisbogen liegen Punkte Cn, die zusammen mit den Punkten A, M und B Vierecke AMBCn bilden.
Für die Länge der Strecke [ACn] gilt:  = x cm mit x   +.
Bestimmen Sie das Intervall für x so, dass es Vierecke AMBCn gibt.
[Teilergebnis:  = 13,4 cm] |
2 P |
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| A 1.3 |
Im Viereck AMBC1 hat der Winkel MAC1 das Maß 70°.
Zeichnen Sie das Viereck AMBC1 in die Zeichnung zu 1.1 ein.
Berechnen Sie sodann den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks AMC1 am Flächeninhalt des Vierecks AMBC1. |
4 P |
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| A 1.4 |
Unter den Vierecken AMBCn gibt es das achsensymmetrisches Viereck AMBC0mit MC0 als Symmetrieachse. Der Punkt S0 ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen [AB] und [MC0].
Zeichnen Sie das Viereck AMBC0 in die Zeichnung zu 1.1 ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Vierecks AMBC0. |
2 P |
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| A 1.5 |
Berechnen Sie die Länge der Strecke [C0S0] und erklären Sie, dass das Viereck AMBC0 unter den Vierecken AMBCn den größten Flächeninhalt besitzt.
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3 P |
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| A 1.6 |
Für x = 12
entsteht eine Figur, die von
[C2A], [AM], [MB] und  begrenzt wird.
Zeichnen Sie die Figur in die Zeichnung zu 1.1 ein und berechnen Sie anschließend den Umfang u der Figur. |
4 P |
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Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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A 1.1
Was du hier brauchst ist die Formel für den Kreisbogen.
A 1.2
Du kannst den roten Punkt Cn mit der Maus auf dem Kreisbogen ziehen. Die Länge für x wird dir angezeigt. Die untere Grenze für x ist 0, d.h. Cn=A. Die obere Grenze für x ist , wenn gilt Cn=B.
Im Dreieck AMB kennst du 2 Seitenlängen und den Zwischenwinkel. Hörst du wie tief in dir jemand nach dem Kosinussatz ruft? Es ist der Aufgabenengel, der dir bei jeder Aufgabe hilft. Du musst nur seine Sprache verstehen und seine Signale erkennen. Und das Signal hier ist das angegebene Teilergebnis. |
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| Nr. 8 |
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weiter A 1.6
Heißer Tipp:
Forme niemals Formeln äquivalent um. Setze ein, was du hast. Rechne aus, was du kannst. Und erst dann forme den Rest äquivalent um. Du vermeidest damit viele Fehlerquellen.
Damit hast du den Mittelpunktswinkel, den du brauchst.
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| Nr. 7 |
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weiter A 1.5
Der Flächeninhalt der Vierecke AMBCn ist abhängig von der Höhe der Teildreiecke ABCn. Diese ist im Teildreieck ABC0 am größten, weil sie auf der Mittelsenkrechten zur Sehne [AB] liegt.
A 1.6
Ziehe den Punkt Cn in die entsprechende Position und schaue dir die Figur an. Es gilt:
 und  . Was fehlt ist die Länge des Bogens . Um die Bogenlänge zu berechnen benötigst du den zugehörigen Mittelpunktswinkel BMC2. Es gilt:
Im Dreieck C2MA kennst du alle 3 Seitenlängen und willst einen Winkel berechnen, na? Naaa? Richtig! Hier ist der Kosinussatz gefordert.
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| Nr. 6 |
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weiter A 1.5
Wir brauchen einen anderen Lösungsansatz und damit ein anderes Dreieck.
Die Strecke [C0S0] ist Teil der Strecke [C0M]. Vielleicht lässt sich der andere Teil der Strecke [C0M], die Strecke [MS0], berechnen.
Was wissen wir vom rechtwinkligen Dreieck AMS0 außer  noch? Wir kennen alle Winkel, oder können sie uns zumindest berechnen.
Wir setzen den Tangens an.
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| Nr. 5 |
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A 1.4
Wenn das Viereck achsensymmetrisch ist, dann stehen die beiden Diagonalen auf einander senkrecht und der Bildpunkt von A ist der Punkt B, d.h. das Viereck AMBC0 ist ein Drachen. Du brauchst die Flächenformel für den Drachen.
A 1.5
Um die die Streckenlänge  berechnen zu können, brauchst du eine geeignetes Dreieck. Ich bin überzeugt davon, dass du, so wie ich auch, zunächst an das Dreieck AC0S0 denkst. Überlegen wir gemeinsam, was wir von diesem Dreieck kennen. Wir wissen, dass es rechtwinklig ist und wir kennen , doch es fehlt uns ein Winkel um eine Winkelfunktion ansetzen zu können.
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| Nr. 4 |
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weiter A 1.3
Im Dreieck C1MB gilt:
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| Nr. 3 |
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weiter A 1.3
Warum in die Ferne schweifen, wenn das Gute liegt so nahe?
Beide Dreiecke sind gleichschenklig mit derselben Schenkellänge 7 cm. Der Winkel, den die Schenkel jeweils einschließen, lässt sich locker und leicht berechnen.
Du berechnest demnach beide Flächeninhalte mit der Sinusformel.
Im Dreieck AMC1 gilt:
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| Nr. 2 |
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weiter A 1.2
A 1.3
Du brauchst ein zartes Händchen, wenn du den Punkt Cn so ziehen willst, dass gilt:
Das Viereck AMBC1 musst du geeignet in zwei Dreiecke zerlegen um den Flächeninhalt berechnen zu können.
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| Nr. 9 |
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weiter A 1.6
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| A 2.1 |
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: 
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels CAS und das Maß  des Winkels BSD.
[Teilergebnisse: = 73,3°; = 43,6°] |
4 P |
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| A 2.3 |
Der Punkt C ist die Spitze von Pyramiden BDQnPnC mit der Grundfläche BDQnPn.
Zeigen Sie, dass für das Volumen V der Pyramiden BDQnPnC in Abhängigkeit von x gilt:
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3 P |
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| A 2.5 |
Das Volumen der Pyramide BDQ2P2C beträgt 40,0 cm³.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x. |
2 P |
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Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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A 2.1
Im rechtwinkligen Dreieck AMS gilt:
Im rechtwinkligen Dreieck BMS gilt:
A 2.2
Schalte bitte mit dem Schieberegler das Drachenviereck von Teilaufgabe A 2.2 ein. Ziehe den Punkt N auf x = 4.
Für den Flächeninhalt des Drachenvierecks gilt:
Du musst also die Länge beider Diagonalen berechnen.
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| Nr. 7 |
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weiter A 2.5
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| Nr. 6 |
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A 2.4
x |
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0 |
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0 |
1 |
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18 |
2 |
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34 |
3 |
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48 |
4 |
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60 |
5 |
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70 |
6 |
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78 |
7 |
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85 |
8 |
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90 |
9 |
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92 |
10 |
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93 |
Graph einblenden hier...
Graph ausblenden hier...
Der rote Punkt auf dem Graphen lässt sich mit der Maus Ziehen.
A 2.5
Hier gilt es folgende quadratische Gleichung zu lösen:
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| Nr. 5 |
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weiter A 2.3
Die Länge der parallelen Seite [PnQn] hängt von x ab. Das Werkzeug für  heißt "Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken" bzw. "Vierstreckensatz".
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| Nr. 4 |
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weiter A 2.2
So jetzt stellst du den Schieberegler A 2.2 wieder auf Aus. Sonst gibt es bei der nächsten Teilaufgabe Schiebereglersalat.
A 2.3
Schalte die Teilaufgabe A 2.3 ein. Die Grundfläche meiner wunderschönen violetten Pyramide ist ein Trapez. Für die Flächeninhaltsformel des Trapezes musst beide Parallelenlängen kennen. Für die Parallele [BD] gilt: 
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| Nr. 3 |
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weiter A 2.2
Richtig, du musst den Sinussatz im Dreieck ACR1 anwenden. Aber das hat noch Zeit. Du musst ja erst noch den angegebenen Winkel berechnen. Auch dafür brauchst du ein geignetes Dreieck.
Im rechtwinkligen Dreieck N1CM gilt:
Wenn du den Sinussatz im Dreieck ACR1 ansetzen willst, musst du mit Hilfe von  den dritten Winkel im Dreieck, der der Seite [AC] gegenüberliegt berechnen.
Aber jetzt, husch, husch der Sinussatz:
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| Nr. 2 |
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weiter A 2.2
Das Werkzeug für die Berechnung von  heißt Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken oder du benutzt den Vierstreckensatz. Was im Grunde dasselbe Werkzeug mit einem anderen Namen ist.
Suche nach einem Dreieck zur Berechnung von  . Du bist nicht alleine! Der Aufgabenengel hilft dir. Du musst nur seinen Hinweis verstehen. Ein Teilergebnis ist angegeben, , also suchst du nach einem Dreieck mit [CR1] als Seite und diesem Winkel. Da gibt es eigentlich nur das Dreieck ACR1. Was kennst du noch von diesem Dreieck?  und = 73,3°. Zwei Winkel und eine Seitenlänge heißt?
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| Nr. 8 |
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weiter A 2.5
Du kannst natürlich die quadratische Gleichung auch mit dem Gleichungslöser deines Casio-GTR lösen. Dabei kannst du die Brüche durchaus als Brüche eingeben.
Lösungsweg:
EQUA-F2-F1-F1
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 18:45
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Aufbau einer Abschlussprüfung
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Ab dem Jahr 2009 ist alles neu. Es wird keinen Wahl- und Pflichtteil mehr geben. Uns kleinen Lehrerlein haben die Münchner Abschlussprüfungs-Bastler damit die letzte Möglichkeit genommen ein wenig auf die Stärken und Schwächen unserer SchülerInnen Rücksicht zu nehmen.
Was sich nicht ändert, das ist die Anzahl der Aufgaben. Du musst zwei umfangreichere Aufgaben lösen und zwar aus den Bereichen Raumgeometrie, ebene Geometrie oder eine Aufgabe zu den Funktionen. Diese zwei Aufgaben davon haben Punktzahlen zwischen 17 und 19 Punkten.
Dann musst du noch drei Kurzaufgaben lösen je eine aus den oben genannten Bereichen. Alle drei zusammen haben auch etwa 17-19 Punkte. Du hast 150 Minuten Zeit, d.h. heißt für die langen Aufgaben darfst du eine volle Stunde brauchen und für die kurzen Aufgaben nur 30 Minuten. Alles klar? |
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und der Bogenlänge 
(siehe Skizze). 
; 
.
sind zusammen mit C Eckpunkte von Drachenvierecken CQnRnPn. Punkte 
sind die Mittelpunkte der Diagonalen [PnQn].
Es gilt:
[PnQn]||[BD] und 
mit 0<x<10;
auf Ganze gerundet. Zeichnen Sie sodann den Graphen zu V(x) = y cm³ mit 
= 
