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Abschlussprüfung 2007 - Mathematik II
Wahlteil - Bayerische Realschule - Aufgaben B1, B2
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Grüß dich Gott! Und weiter geht's!
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| B 1.1 |
Konstruieren Sie das Viereck ABCD und berechnen Sie sodann die Länge der Diagonalen [AC] sowie das Maß des Winkels CAD.
[Teilergebnis:  ] |
4 P |
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| B 1.2 |
Ermitteln Sie rechnerisch das Maß des Winkels BAC.
[Ergebnis:  ] |
1 P |
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| B 1.3 |
Der Inkreis des Dreiecks ABC hat den Mittelpunkt M. Der Inkreis schneidet die Strecke [AM] im Punkt E und berührt die Strecke [AB] im Punkt F.
Zeichnen Sie den Inkreis des Dreiecks ABC und tragen Sie die Punkte E und F in die Zeichnung ein. |
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| B 1.4 |
Berechnen Sie die Länge der Strecke [AM] sowie den Inkreisradius  des Dreiecks ABC.
[Ergebnisse:  ] |
3 P |
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| B 1.5 |
Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Figur, die von den Strecken [FA], [AE] und dem Kreisbogen  begrenzt wird.
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4 P |
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| B 1.6 |
Ermitteln Sie rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts A der Figur aus 1.5 am Flächeninhalt des Vierecks ABCD.
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3 P |
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Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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B 1.1
Klicke unten auf Abspielen (zweimal) um dir diese Konstruktion schrittweise anzusehen. Ein paar Konstruktionsschritte sind unsichtbar. Es gibt eine kleine Pause. Die unsichtbaren Schritte dienen dazu die Kreisbögen zu simulieren.
Beschreibung:
- Zeichne [AB]
- Zeichne
 in B an [AB]
- Zeichne k1(B; r =7 cm)
- freier Schenkel
 k1
= {C}
- Zeichne Thaleskreis kTh
über [AB]
- Zeichne k2(A; r = 6 cm)
- kThk2 = {D}
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| Nr. 7 |
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| weiter B 1.5
Je nach Lösungsweg und Zwischenrundungen kann dein Ergebnis etwas abweichen. Das gibt selbstverstädlich keine Punktabzüge.
B 1.6
Zunächst einmal musst du den Flächeninhalt des Vierecks berechnen. Es gilt:
Den Flächeninhalt des Dreiecks ABC berechnest du mit der Sinusformel.
Für das rechtwinklige Dreieck ACD brauchst du die Länge der Kathete [CD].
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| Nr. 6 |
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| weiter B 1.5
2. Lösungsweg
Um den Flächeninhalt des Kreissektors EMF zu berechnen musst du spätestens jetzt den Mittelpunktswinkel EMF berechnen.
 (siehe oben)
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| Nr. 5 |
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| B 1.5
Die Lösungsidee liegt in einer Flächensubtraktion. Du subtrahierst vom Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks AFM den Flächeninhalt des Kreissektors EMF.
Für den Flächeninhalt des Dreiecks AFM hast du zwei Möglichkeiten. Entweder berechnest du dir mit dem Pythagoras die Kathete [AF] und rechnest
A = 0.5 Kathete * Kathete
oder du berechnest den Winkel AMF und verwendest dann die Sinusformel. Ich zeige dir beide Lösungswege.
1. Lösungsweg
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| Nr. 4 |
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| weiter B 1.4
Das Dreieck AFM ist rechtwinklig, weil der Berührradius auf der Tangente senkrecht steht. Es gilt also:
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| Nr. 3 |
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weiter B 1.2
B 1.3
Du sollst den Inkreis nur zeichnen und nicht konstruieren, d.h. du kannst für die Winkelhalbierenden dein Geodreieck verwenden.
B 1.4
Im Dreieck ABM gilt:
=> Sinussatz
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| Nr. 2 |
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weiter B 1.1
Im Dreieck ABC kennst du 2 Seitenlängen und den Zwischenwinkel, d.h. dein Werkzeug ist der Kosinussatz.
Im rechtwinkligen Dreieck ACD gilt:
B 1.2
Im Dreieck ABC kennst du 3 Seiten und einen Winkel. Hier drängt sich ganz penetrant der Sinussatz auf.
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| Nr. 8 |
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weiter B 1.6
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| B 2.1 |
Zeichnen Sie das Schrägbild des Quaders ABCDEFGH mit dem Dreieck PBG, wobei die Kante [AB] auf der Schrägbildachse liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: 
Berechnen Sie sodann die Längen der Strecken [BP] und [PG].
[Teilergebnisse:  ;  ] |
4 P |
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| B 2.2 |
Berechnen Sie das Maß  des Winkels BPG.
[Ergebnis: = 86,67°] |
2 P |
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| B 2.3 |
Berechnen Sie den Abstand d des Punktes P von der Strecke [BG].
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3 P |
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| B 2.4 |
Es entstehen neue Quader ABnCnDEnFnGnHn, indem man die Kanten [AB] und [DC] über B und C hinaus um jeweils 2x cm verlängert und gleichzeitig die Höhe des Quaders um x cm verkürzt mit 0 < x < 10; x  .
Zeichnen Sie für x = 2 den Quader AB1C1DE1F1G1H1 in das Schrägbild zu 2.1 ein. |
1 P |
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| B 2.5 |
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen der Quader ABnCnDEnFnGnHn in Abhängigkeit von x gilt:
V(x) = (-16x² + 120x + 400) cm³
Bestimmen Sie sodann den Wert von x, für den man das maximale Volumen erhält und geben Sie dieses an. |
3 P |
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| Nr. 1 |
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B 2.1
Schalte die Zeichnung zur Aufgabe mit dem Schieberegler ein.
Im rechtwinkligen Dreieck ABP gilt:
Im rechtwinkligen Dreieck EFG gilt:
Im rechtwinkligen Dreieck EPG gilt:
B 2.2
Zur Berechnung von brauchst die Länge der Strecke [BG] |
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| Nr. 4 |
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weiter B 2.5
B 2.6 |
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x |
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-16x²+120x+400 |
0 |
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400 |
1 |
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504 |
2 |
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576 |
3 |
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616 |
4 |
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624 |
5 |
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600 |
6 |
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544 |
7 |
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456 |
8 |
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336 |
9 |
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184 |
10 |
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0 |
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Graph einblenden hier...
Ziehe den roten Punkt! |
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| Nr. 3 |
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weiter B 2.3
Schalte jetzt bitte das Dreieck PBG aus und die Zeichnung für den 2. Teil der Aufgabe ein.
B 2.4
Ziehe mit der Maus den roten Punkt En auf die Position x = 2.
B 2.5
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| Nr. 2 |
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weiter B 2.2
Im rechtwinkligen Dreieck BCG gilt:
Zur Berechnung von wendest du jetzt den Kosinussatz im Dreieck PBG an.
B 2.3
Die Lösungsidee liegt darin, dass der Abstand d des Punktes P von [BG] eine Dreieckshöhe im Dreieck PBG ist. Diese Dreieckshöhe kannst du über den Flächeninhalt berechnen. |
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| Nr. 5 |
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weiter B 2.6
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Lösungsweg mit dem Casio-GTR:
EQUA-F2-F1-F1
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; 
; 
und 
(siehe Skizze). 
; 
und 
.
und die Punkte B und G sind die Eckpunkte des Dreiecks PBG.
und zeichnen Sie den Graphen zu
=
