Abschlussprüfung 2008 - Mathematik II

Abschlussprüfung 2008 - Mathematik II
Wahlteil - Bayerische Realschule - Aufgaben A1, A2

Ich grüße dich. Die Zeit ist knapp. Lass uns gleich anfangen. Für jede der beiden nachfolgenden Aufgaben solltest du jeweils nur 60 Minuten in der Prüfung brauchen, hier natürlich nicht so lange. Schließlich habe ich die Zeichnungen schon für dich gemacht.

A 1.0

Die Parabel p verläuft durch die Punkte A(-2/3) und C(6/3) . Sie hat eine Gleichung der Form mit y = 0,5x² + bx +c mit und . Die Gerade g hat die Gleichung
y = -0,25x + 5,5 mit .

A 1.1

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung y = 0,5x² - 2x - 3 hat und zeichnen Sie die Parabel p sowie die Gerade g für in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

4 P

A 1.2

Punkte auf der Parabel p und Punkte auf der Geraden g haben dieselbe Abszisse x und sind für zusammen mit den Punkten A und C die Eckpunkte von Vierecken AB_nCD_n. Zeichnen Sie das Viereck AB₁CD₁ für x = -1 und das Viereck AB₂CD₂ für x =3 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

A 1.3

Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Vierecke AB_nCD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B_n.

[Ergebnis: ]

4 P

A 1.4

Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von x die zugehörigen Vierecke einen Flächeninhalt von 38,5 FE haben. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

2 P

A 1.5

Die Vierecke AB₃CD₃ und AB₄CD₄ sind Drachenvierecke mit der Geraden AC als Symmetrieachse.

Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte B₃ und B₄ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

4 P

A 1.6	Das Viereck AB₅CD₅ ist ebenfalls ein Drachenviereck. Zeichnen Sie das Drachenviereck AB₅CD₅ in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.	1 P

	Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden.

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Nr. 1

A1.1

Dies ist eine typische Aufgabe zum Thema "Funktionale Abhängigkeit". Du sollst die Koeffizienten (= Beizahl oder Hilfs- bzw. Formvariable) b und c einer quadratischen Funktion berechnen. Von den Punkten A und C weißt du, dass sie auf der Parabel p liegen. Du setzt sie in die Parabelgleichung ein und löst das lineare Gleichungssystem.

Nr. 6

A1.5

Im Drachenvieeck halbiert die Symmetrieachse die zweite Diagonale und steht auf ihr senkrecht. Diese Eigenschaft kannst du hier benutzen.

Die Höhe h₁ im Dreieck ACD und die Höhe h₂ im Dreieck ABC müssen demnach gleich groß sein.

Mein Tipp: Setze die Koeffizienten a, b und c in die Formel ein. Dann bestimmst du aber die Lösungen im Graph-Menü deines Casio-GTR als Nullstellen der Funktion

y=-0,5x²+2,25x+3,5

Nr. 5

weiter A1.3

Du könntest natürlich auch mit der Determinantenformel arbeiten.

A1.4

Nr. 4

weiter A1.2

A1.3

Nr. 3

weiter A1.1

Du gehst vom Scheitel 1 LE nach rechts und 0,5*1²=0,5 LE nach oben. Nach links ebenso.

Dann vom Scheitel aus um 2 LE nach rechts und um 0,5*2²= 2 LE nach oben. Links ebenso.

Jetzt 3 LE nach rechts und 0,5*3²=4,5 LE nach oben. Und? Richtig! Links ebenso. Usw.

OK, wenn du es mit einer Wertetabelle machen willst, dann tue es. Aber das verklicker' ich dir hier aber nicht mehr.

Wenn du mit der Maus den roten Punkt B auf der parabel bewegst, kannst du dir verschiedene Vierecke erzeugen, auch Drachenvierecke.

A1.2

Abszisse heißt x-Achse. Die Punkte B_n und D_n haben also die gleiche x-Koordinate. Sie liegen übereinander.

Du musst zumindest die Punkte B₁ und B₂ berechnen.

Nr. 2

weiter A1.1

Um die Parabel zu zeichnen, brauchst du zumindest den Scheitelpunkt. Den kannst du entweder mit der Scheitelformel berechnen oder du bestimmst ihn mit deinem graphischen Taschenrechner. Andererseits könntest du auf eine eigene Bestimmung des Scheitels verzichten, wenn du dir eine Wertetabelle erzeugst.

Mit deinem Casio-GTR bestimmst du das Minimum des Graphen mit:

GRAPH-F6-F5-F3

Wie zeichnest du den Graphen ohne Wertetabelle?

Nr. 7

weiter A1.5

A 1.6

Auch die 2. Diagonale kann selbstverständlich Symmetrieachse sein.


A 2.0	Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das gleichschenklige Trapez ABCD mit AD\|\|BC ist. Der Mittelpunkt der Kante [BC] ist der Punkt M, der Mittelpunkt der Kante [AD] ist der Punkt N. Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senkrecht über dem Punkt N. Es gilt:

	Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

A 2.1

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [NM] auf der Schrägbildachse liegen soll.

Für die Zeichnung gilt:

Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SMN.
[Ergebnis: =41,99°]

3 P

A 2.2

Punkte P_n liegen auf der Strecke [MS] mit und sind die Spitzen von Pyramiden ABCDP_n. Punkte F_n sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen [P_nF_n].

Zeichnen Sie für x = 5 die Pyramide ABCDP₁ und ihre Höhe [P₁F₁] in das Schrägbild zu 2.1 ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch, für welche Werte von x Pyramiden ABCDP_n existieren.

2 P

A 2.3

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenflächen AP_nD in Abhängigkeit von x und weisen Sie sodann durch Rechnung nach, dass für keinen Wert von x der Flächeninhalt der Seitenflächen AP_nD und BCP_n gleich ist.

[Teilergebnis:

]

5 P

A 2.4

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen V der Pyramiden ABCDP_n in Abhängigkeit von x gilt:

3 P

A 2.5	In der Pyramide ABCDP₂ gilt: . Berechnen Sie den zugehörigen Wert von x. Ermitteln Sie sodann rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide ABCDP₂ am Volumen der Pyramide ABCDS.	4 P

	Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden.

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Nr. 1

A 2.1

Zunächst suchst du nach einem rechtwinkligen Dreieck in dem der gesuchte Winkel oder die gesuchte Strecke vorkommen. In einem rechtwinkligen Dreieck wären deine Werkzeuge der Pythagoras und die Winkelfunktionen. Wenn du keines findest, überlege dir, ob du nicht eines erzeugen kann.

Wenn das nicht gelingt, suchst du nach einem gewöhnlichen Dreieck. Hier sind deine Werkzeuge dann der Sinus- bzw. der Kosinus-Satz.

Schreibe dir jedesmal auf in welchem Dreieck du rechnest. Ansonsten findest du dich in deiner Rechnerei nie mehr zurecht.

(rechtwinklig):

Nr. 7

weiter A 2.4

Obwohl ich erst ganz zum Schluss gerundet habe, komme ich nicht auf die angegebene Lösung. Was lernst du daraus?

Die Aufgabenbastler runden manchmal auch nicht erst zum Schluss, so wie du. Deswegen mache dir nichts daraus, wenn du das angegebene Ergebnis knapp verfehlst. Kein(e) Korrektor(in) wird dir deshalb Punkte abziehen, so hoffe ich jedenfalls. Ansonsten wird er/sie in der Hölle schmoren.

Aber! Aber! Aber bitte!

Bitte rechne mit dem angegebenen Ergebnis weiter. Das solltest du immer machen, auch wenn du überzeugt bist, dass du genauer gerechnet hast als der Aufgabensteller. Alles klar?

Nr. 6

weiter A 2.3

A 2.4

Nr. 5

weiter A 2.3

Jetzt können 2 Möglichkeiten eintreten:

Die Gleichung ist grundsätzlich nicht lösbar, d.h. die Diskriminante ist kleiner Null. Die Diskriminante ist der Term unter Wurzel.

Oder die Lösungen liegen außerhalb des Intervalls für x.

Nr. 4

weiter A 2.3

Du musst zeigen, dass diese Gleichung im Definitionsbereich für x keine Lösung hat. Gleichungen mit einem Wurzelterm löst du, indem du den Wurzelterm allein auf eine Seite der Gleichung bringst. Dann quadrierst du beide Seiten der Gleichung.

Aber Vorsicht, das ist keine Äquivalenzumformung.

Möglicherweise fügst du durch das Quadrieren Lösungen hinzu, die keineswegs Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. Falls es Lösungen gibt, musst du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und die Probe machen.

Also auf geht's

Nr. 3

weiter A 2.3

Suche dir ein geeignetes Dreieck in dem du berechnen kannst. Im Dreieck NMP_n kennst du 2 Seiten und den Zwischenwinkel.

Hörst du wie der Kosinussatz schreit: "Nimm mich! Ich, ich bin das Werkzeug dafür!"

Du benutzt die stinknormale Flächenformel für Dreiecke.

Nr. 2

A 2.2

Die obere Grenze für x ist die Maßzahl der Länge der Strecke [MS].

(rechtwinklig):

Als Werkzeuge stehen dir der Pythagoras, der sin und der cos zur Verfügung.

A 2.3

Das angegebene Teilergebnis ist ein Lösungshinweis. Was ist die Strecke ?

Nr. 8

weiter A 2.5

Der Anteil beträgt 65.87 %.

Übrigens im offiziellen Lösungsmuster steht als Lösung 66 %. Selbstverständlich entspricht dies nicht der Forderung nach einer Genauigkeit von 2 Kommastellen. Soviel zur Genauigkeit offizieller Lösungsmuster.

Also rechne du so genau, wie du kannst. Wenn du leichter mit Zwischenergebnissen rechnest, dann rechne damit. Großzügiges Runden z.B. auf eine Kommastelle ist verboten.