Abschlussprüfung 2008 - Mathematik II

Abschlussprüfung 2008 - Mathematik II
Wahlteil - Bayerische Realschule - Aufgaben B1, B2

Grüß dich Gott! Du darfst nicht nachlassen. Schließlich bist du im Endtraining. Also gehen wir die B-Aufgaben an.

B 1.0

Die Parabel p verläuft durch die Punkte A(-2/-3) und C(5/0,5). Sie hat eine Gleichung der Form y = ax² + 2x +c mit und
und .

B 1.1

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und c, dass die Parabel p die Gleichung y = -0,5x² + 2x + 3 hat und zeichnen Sie die Parabel p für in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

3 P

B 1.2

Punkte auf der Parabel p sind für zusammen mit den Punkten A und C und Punkten B_n die Eckpunkte von Parallelogrammen AB_nCD_n.

Zeichnen Sie das Parallelogramm AB₁CD₁ für x = -0,5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob das Parallelogramm AB₁CD₁ ein Rechteck ist.

4 P

B 1.3

Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Parallelogramme AB_nCD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte D_n.

[Ergebnis: ]

3 P

B 1.4

Unter den Parallelogrammen AB_nCD_n besitzt das Parallelogramm AB₀CD₀ den maximalen Flächeninhalt.

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D₀.

2 P

B 1.5

Im Parallelogramm AB₂CD₂ hat der Winkel CAD₂ das Maß 25°.

Zeichnen Sie das Parallelogramm AB₂CD₂ in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes D₂. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

[Teilergebnis:

]

5 P

Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden.

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Nr. 1

B 1.1

Um die Formvariablen a und c zu bestimmen, musst du die Punkte A und C in die Gleichung einsetzen und dann das lineare Gleichungssystem lösen.

Mit etwas Kopfrechnen und Abzählen vom Scheitel aus zeichnest du die Parabel.

Nr. 8

weiter B 1.4

Alles andere läuft, wie schon gezeigt.

B 1.5

Hier gibt dir das angebene Teilergebnis den entscheidenen Lösungshinweis. Um die Steigung der Geraden AD₂ zu bestimmen, musst du den Winkel kennen, den die Gerade AD₂ mit der x-Achse bildet. Wenn du nicht selber drauf kommst blende meinen Lösungshinweis ein.

Nr. 7

weiter B 1.3

B 1.4

Fall du ein bayerischer Schüler bist, kann du dir den Extremwert von deinem graphischen Taschenrechner berechnen lassen. Wichtig ist allerdings, dass du deine Tastenfolge dokumentierst.

Graph-F6-F5-F2 (Casio)

A_max für x = 1,5

In die Parabelgleichung eingesetzt ergibt sich für D₀:

Alle anderen müssen den x-Wert des Maximums berechnen. Dazu interpretierst du den term als Parabel und bestimmst den Scheitel.

Nr. 6

weiter B 1.3

Kein Aufgabensteller für Abschlussprüfungen verlangt von dir solche algebraischen Terme bearbeiten zu können. Wenn du also in der Prärie gelandet bist, dann suche nach einer Lösung mit Determinantenformel bei der du den Punkt D_n nur einmal verwenden musst.

Du weißt doch hoffentlich noch Vektor Nr. 1 (1. Spalte) ist der Vektor, der, gegen den Uhrzeigersinn gedreht, das Dreieck überstreicht.

Nr. 5

weiter B 1.3

Wenn du diese Lösung erreicht hast, bist du wirklich sehr gut. Die meisten Schüler werden an den komplzierten Termen scheitern. Ein Vorzeichenfehler und du stehst in der Prärie. Woran liegt das?

Du hast den abhängigen Punkt D_n zweimal verwendet.

Nr. 4

B 1.3

Hier hilft dir nur die Determinantenformel. Dazu brauchst du zwei Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen und sie müssen denselben Fußpunkt haben.

Es hilft alles nichts, du musst jetzt über Kreuz multiplizieren und dann die Teilprodukte subtrahieren. Arbeite sorgfältig, wenn du einen Vorzeichenfehler machst, dann landest du in der Prärie.

Nr. 3

weiter B 1.2

Mache die beiden Seiten [AD₁] und [CD₁] zu Vektoren und bestimme ihre Steigung. Zeige, dass gilt (oder nicht):

m₁ * m₂ = -1

=> Das Parallelogramm AB₁CD₁ ist kein Rechteck!

Nr. 2

weiter B 1.1

Vom Scheitel aus gehst du um 1 LE nach rechts und um 1²*0.5=0.5 LE nach unten.

2 LE nach rechts und
2²*0.5=2 LE nach unten

3 LE nach rechts und
3²*0.5=4.5 LE nach unten usw. bis 5 LE und auf der anderen Seite dann genauso. Du kannst dir natürlich auch eine Wertetabelle erzeugen.

B 1.2

Das Arbeitsblatt ist so eingestellt, dass das Parallelogramm AB₁CD₁ für x = -0,5 gezeigt wird. Den Punkt D kannst du mit der Maus bewegen. Versuche es.

Nr. 9

weiter B 1.5

Jetzt stellst du die Geradengleichung von AD₂ auf und schneidest die Gerade mit der Parabel. Ich verwende die Punktsteigungsform der Geraden und setze den Punkt A ein.

Mit dem Geodreieck markierst du D₂ auf der Parabel und zeichnest das Parallelogramm


B2.0	Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche die Raute ABCD mit den Diagonalen [AC] und [BD] ist. Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist der Punkt M. Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senkrecht über dem Punkt A. Es gilt:

	Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Diagonale [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll.

Für die Zeichnung gilt:

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [SC] und das Maß des Winkels SCA.

[Ergebnisse:

]

4 P

B 2.2

Punkte sind die Spitzen von Pyramiden BCDZ_n.

Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ₁ für x = 2 in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels CMZ₁.

3 P

B 2.3

Für die Pyramide BCDZ₂ gilt: .

Sie die Pyramide BCDZ₂ in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Begründen Sie sodann, dass für die Pyramide BCDZ₂ gilt:

3 P

B 2.4

In der Pyramide BCDZ₃ gilt: .

Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ₃ und ihre Höhe [Z₃F] in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [Z₃C] .

[Ergebnis: ]

3 P

B 2.5	Ermitteln Sie durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide BCDZ₃ am Volumen der Pyramide ABCDS.	4 P

	Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden.

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Nr. 1

B 2.1

Den roten Punkt Z kannst du mit der Maus bewegen. Mit den Schaltern kannst du dir die entsprechenden zeichnerischen Tipps einblenden.

Wenn du einen Winkel oder eine Streckenlänge berechnen sollst, suchst du dir ein Dreieck in dem dieser Winkel oder diese Streckenlänge vorkommt. Bei rechtwinkligen Dreiecken sind deine Werkzeuge die Winkelfunktionen und der Pythagoras. Bei nicht rechtwinkligen Dreiecken sind deine Werkzeuge der Sinussatz und der Kosinussatz.

Ein weiteres wichtiges Werkzeug ist der Vierstreckensatz bzw. die Ähnlichkeit von Dreiecken. Damit sind aber auch schon alle Werkzeuge genannt.

Bevor du anfängst zu rechnen schreibe dir immer auf in welchem Dreieck du rechnen willst. Wenn du die Aufgabe am Ende der Prüfung noch einmal durchgehen willst, findest du dich auf diese Weise wesentlich leichter zurecht.

Nr. 8

B 2.5

Um das Volumen der Pyramide BCDZ₃ berechnen zu können, benötigst du die Pyramidenhöhe .

Nr. 7

B 2.4

Dein Werkzeug ist hier der Sinussatz. Dazu musst du aber erst den Winkel MZ₃C berechnen.

Nr. 6

weiter B 2.3

Begründung: Das Dreieck wird mit dem Streckungszentrum C und dem Streckungsfaktor 2 auf das Dreieck durch zentrische Streckung abgebildet.

4. Möglichkeit

Oder du begründest es mit der Ähnlichkeit von Dreiecken.

Begründung:

5. Möglichkeit

Du kannst es natürlich auch mit dem Vierstreckensatz begründen, falls du ihn kennst.

Nr. 5

B 2.3

2. Möglichkeit

Verbindest du die Seitenmitten eines Dreiecks, dann sind diese Verbindungsstrecken parallel zu den Seiten. Diese Verbindungsstrecken heißen Mittelparallelen. Umgekehrt kannst du formulieren: Zeichnet mann durch die Seitenmitte einer Dreiecksseite eine Parallele zu einer zweiten Dreiecksseite, so schneidet diese Parallele die dritte Dreieckseite in ihrem Mittelpunkt.

Begründung: Wenn MZ₂||AS und M der Mittelpunkt der Seite [AC] ist, dann ist MZ₂ Mittelparallele im .

=> Z₂ ist Mittelpunkt von [CS].

3. Möglichkeit

Du kannst das Ganze aber auch als zentrische Streckung ansehen.

Nr. 4

B 2.3

Mir fallen hierzu mindestens 5 mögliche Begründungen ein.

1. Möglichkeit

Das Dreieck ist rechtwinklig. Als du zum ersten Mal über den Umkreis bei Dreiecken etwas erfahren hast, musstest du sicherlich auch einen Umkreis bei einem rechtwinkligen Dreieck zeichnen. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und beim rechtwinkligen Dreieck ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Mittelpunkt der Hypotenuse.

Begründung: Wenn rechtwinklig ist und und M Mittelpunkt der Seite [AC], dann ist MZ₂ die Mittelsenkrechte der Seite [AC] und schneidet damit die Seite [CS] in ihrem Mittelpunkt.

Nr. 3

weiter B 2.2

Du berechnest dir mit dem Kosinussatz zunächst .

Jetzt kannst du den Sinussatz anwenden um den Winkel zu berechnen.

Nr. 2

weiter B 2.1

B 2.2

Wenn du die Länge der Strecke [ZC] auf 2 cm einstellst, muss der angezeigte Winkel nicht genau deinem Rechenergebnis entsprechen. Das Arbeitsblatt rundet die Länge auf zwei Stellen.

Nr. 9

weiter B 2.5