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Abschlussprüfung 2009 - Nachtermin - Mathematik I
Bayerische Realschule - Kurzaufgaben A1, A2, A3
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| A 1.0 |
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung  mit  . Punkte An auf dem Graphen zu f und Punkte Bn auf der Geraden g mit der
Gleichung y= - 1 mit haben dieselbe Abszisse x und bilden für
x > -4 zusammen mit Punkten Cn und Dn die Eckpunkte von Quadraten AnBnCnCn . |
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| A 1.1 |
Zeichnen Sie das Quadrat A1B1C1C1 für x = - 1 in das Koordinatensystem zu 1.0
ein.
Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Quadrate AnBnCnCn in Abhängigkeit von
der Abszisse x der Punkte An und Bn und ermitteln Sie sodann rechnerisch, für
welchen Wert von x sich das Quadrat A2B2C2C2 mit dem Flächeninhalt 9 FE ergibt. |
4 P |
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| A 1.2 |
Begründen Sie, dass der Flächeninhalt der Quadrate AnBnCnCn stets größer als 4 FE
ist. |
1 P |
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| A 1.1 |
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A 1.2
Der Graph der Funktion f hat die Asymptote y=1, d.h. die Quadratseite ist immer > 2. |
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| A 2.0 |
Das Schrägbild zeigt das Modell des Dachstuhls eines Kirchturms im Maßstab
1:200. Der Dachstuhl hat die Form einer Pyramide ABCDS, deren Grundfläche
das Quadrat ABCD ist. Für die Länge der Diagonalen [AC] des Quadrats ABCD
gilt:
Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senkrecht über dem
Diagonalenschnittpunkt M des Quadrats ABCD und es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma. In der Zeichnung gilt:
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| A 2.1 |
Berechnen Sie das Maß  des Winkels SCA. [Ergebnis: = 60,46°]
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1 P |
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| A 2.2 |
In den Dachstuhl soll ein Stützbalken eingezogen werden. Die Strecken [APn] mit  stellen die möglichen Stützbalken dar. Die Winkel CAPn haben das Maß  mit  ]0° ;60,46°[ .
Zeichnen Sie für = 35° die Strecke [AP1] in das Schrägbild zu 2.0 ein und berechnen Sie die Länge des zugehörigen Stützbalkens.
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2 P |
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| A 2.3 |
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [APn] in Abhängigkeit von gilt:
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2 P |
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| A 2.4 |
Geben Sie an, welches der Diagramme zeigt, wie sich die Länge der möglichen
Stützbalken in Abhängigkeit von ändert. Begründen Sie Ihre Wahl.
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| A 2.5 |
In den Dachstuhl wird der kürzeste der möglichen Stützbalken eingezogen. Dieser
Stützbalken wird durch die Strecke [AP0] dargestellt.
Zeichnen Sie die Strecke [AP0] in das Schrägbild zu 2.0 ein und berechnen Sie, in
welcher Höhe h über der Grundfläche der zugehörige Stützbalken den durch die
Strecke [CS] dargestellten Dachbalken trifft. |
2 P |
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Lösung einblenden hier... |
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zu A 2.3
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zu A 2.4
Diagramm B.
Aus dem Schrägbild zu 2.0 (bzw. aus dem Ergebnis von 2.3) folgt, dass die
Länge der möglichen Stützbalken mit zunehmendem Winkelmaß (im gegebenen Intervall) abnimmt, ein Minimum erreicht und dann zunimmt.
zu A 2.5
[AP0] ist das Lot von A auf [CS]
Der Wert eines Bruches ist dann minimal, wenn der Nenner am größten ist.
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zu A 3.1
zu A 3.2
Als bayerischer Realschüler musst die Additionstheoreme gar nicht verwenden. Du kannst die Gleichung  auch graphisch mit deinem Grafik-Rechner durch Nullstellenbestimmung lösen. Du setzt eine Seite = 0:
 und bestimmst die Nullstelle des Rechtsterms im TRIG-Koordinatensystem bei eingestelltem Definitionsbereich. Der Lösungsweg ist hier dann die Dokumentation. Beim Casio-GTR wäre es: GRAPH-F6-F5-F1 |
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sowie den Seitenlängen 
und 
. Es gilt: 
ergibt. 