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Abschlussprüfungen mit Spaß lernen
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Abschlussprüfung 2009 - Haupttermin - Mathematik II/III
Bayerische Realschule - Kurzaufgaben A1, A2, A3
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| A 1.0 |
Die nebenstehende Skizze zeigt den Grundriss
einer Duschwanne, welcher durch die Strecken
[QD], [DA], [AB] und [BP] sowie den Kreisbogen
 begrenzt wird.
Das Viereck ABCD ist ein Quadrat. Der Punkt M
liegt auf der Diagonalen [AC] des Vierecks
ABCD und ist der Mittelpunkt eines Kreises, der
die Strecke [BC] im Punkt P und die Strecke
[CD] im Punkt Q schneidet.
Es gelten folgende Maße:
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
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| A 1.1 |
Berechnen Sie das Maß des Winkels PMC.
[Ergebnis:  ] |
2 P |
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| A 1.2 |
Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Grundrisses der Duschwanne. |
3 P |
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Lösung einblenden hier... |
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zu A 1.1
Achtung! M ist nicht der Diagonalenschnittpunkt! => Kosinussatz nicht möglich.
Sinussatz im Dreieck MPC:
zu A 1.2
A = AQuadratABCD - ADrachenMPCQ + ASektorPMQ
AQ=90.0²=8100 cm²
Der Drachen besteht aus zwei kongruenten Dreiecken. Der Flächeninalt des Dreiecks MPC lässt sich mit der Sinusformel berechnen:
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| A 2.0 |
Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines oben offenen Gefäßes.
OM ist die Symmetrieachse.
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma. |
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| A 2.1 |
Berechnen Sie den Durchmesser des Gefäßbodens.
[Teilergebnisse:  ]
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3 P |
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| A 2.2 |
Das waagrecht stehende Gefäß ist bis zu einer Höhe von 6 cm mit Wasser gefüllt.
Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen des Wassers im Gefäß.
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2 P |
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| A 2.3 |
In das mit Wasser gefüllte Gefäß aus 2.2 wird eine massive Eisenkugel mit dem
Radius r = 1,7 cm hineingelegt.
Berechnen Sie die Zunahme h der Höhe des Wasserstandes.
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2 P |
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| A 2.4 |
In das leere Gefäß aus 2.0 fließt gleichmäßig Wasser.
Geben Sie an, welches der Diagramme zeigt, wie sich die Höhe des Wasserstandes
mit der Zeit ändert. Begründen Sie Ihre Wahl.
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Klicke unten auf die Nummern der Teilaufgaben um die Lösungen einzublenden. |
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zu A 2.1
Die angegebenen Teilergebnisse geben immer einen Hinweis auf den Lösungsweg. Anscheinend ist die Länge der Strecke [SN] von entscheidender Bedeutung. Berechne sie und überlege dann, was du damit anfangen kannst.
Der Aufgabenbastler sagt dir mit dem zweiten angegebenen Teilergebnis, du sollst mittels  die Länge der Strecke [AM] berechnen. Wenn du dir die Skizze oben anschaust, erkennst du, dass die Strecke [FN] parallel zur Strecke [AM] ist. Bei dir sollte der Groschen fallen, hier kommst du vielleicht mit dem Vierstreckensatz (auch Strahlensatz genannt) bzw. mit der Ähnlichkeit von Dreiecken weiter. Dazu brauchst du aber die Länge der Strecke [SM]. Halt! Aber wenn du  kennst, dann kannst du auch im rechtwinkligen Dreieck AMS den Tangens ansetzen, so wie oben. Es gibt also zwei Lösungsmöglichkeiten - es gibt immer zwei oder mehr Lösungsmöglichkeiten. Wenn du beide erkennst, besteht die Kunst darin, die Lösungsmöglichkeit mit dem geringsten Zeitaufwand herauszusuchen. Wenn du eine Lösungsmöglichkeit gefunden hast und die ist verdammt rechenaufwendig und kompliziert, lohnt sich die Zeit über eine einfachere Lösungsmöglichkeit nachzudenken.
Kein Aufgabensteller verlangt von dir, dass du dir beim Rechnen sozusagen mit einem Strick von hinten durch die Brust schießt. Also wie kannst du mit die Länge berechnen?
Der Durchmesser des Gefäßbodens beträgt 14,4 cm.
Den Lösungsweg mit der Ähnlichkeit von Dreiecken bzw. dem Vierstreckensatz überlasse ich deinem Fleiß. |
zu A 2.2
Das Gefäß ist bis zum Beginn des Gefäßhalses (Strecke [FC] in der Skizze zu 2.0) mit Wasser gefüllt (vergleiche Teilaufgabe 2.1).
Du musst als das Volumen eines Kegelstumpfes berechnen:
VKegelstumpf = VKegelgroß - VKegelklein
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zu A 2.3
Die Kugel verdrängt Wasser und zwar in den zylindrischen Teil des Gefäßes. Du musst hier also aus gegebenen Volumen und gegebener Grundfläche eines Zylinders seine Höhe berechnen. Dabei gilt: Zylindervolumen = Kugelvolumen.
zu A 2.4
Diagramm B
Begründung: Bei gleichmäßigem Zulauf nimmt die Höhe des Wasserstandes
im kegelförmigen Teil des Gefäßes mit der Zeit immer schneller
zu. (Im zylinderförmigen Teil nimmt sie gleichmäßig zu.)
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| A 3.0 |
Wasserlinsen sind Pflanzen, die an der Wasseroberfläche
von Teichen schwimmen und große Teile davon bedecken können (siehe Bild). Am 10. Juni, um 12 Uhr mittags, entdeckt Herr Grün eine 0,5 m² große Ansammlung
von Wasserlinsen auf seinem 20 m² großen Gartenteich.
Für die weitere Entwicklung ist anzunehmen, dass sich
der mit Wasserlinsen bedeckte Flächeninhalt täglich um
35% vergrößern wird.
Dabei sind x Tage nach der Entdeckung y m² Wasseroberfläche mit Wasserlinsen bedeckt.
Diese Entwicklung kann durch die Funktion f:  mit 
dargestellt werden. |
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| A 3.1 |
Ergänzen Sie die Wertetabelle auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in das Koordinatensystem. |
2 P |
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| A 3.2 |
Nach einer bestimmten Anzahl von Tagen seit der Entdeckung ist erstmals ein
Fünftel der Wasseroberfläche des Gartenteiches mit Wasserlinsen bedeckt.
Geben Sie das zugehörige Datum mithilfe des Graphen zu f an.
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2 P |
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| A 3.3 |
Kreuzen Sie an, um wie viel Prozent sich der mit Wasserlinsen bedeckte Flächeninhalt ungefähr vergrößert hat, wenn 48 Stunden seit der Entdeckung vergangen
sind.
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1 P |
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Zur Lösung hier klicken... |
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A 3.1
siehe links
A 3.2
20 % von 20 m² sind 4 m².
Die violetten Messlinien links kannst du mit der Maus einstellen, wenn du ihre Fußpunkte auf den Achsen mit der Maus packst. Stelle die y-Messlinie auf 4 ein. Dorthin, wo der Graph der Funktion f von der y-Messlinie geschnitten wird, stellst du x-Messlinie hin. Du liest den zugehörigen x-Wert ab.
Was du hier mit meinen Messlinien machst, musst du auf Papier mit deinem Geodreieck machen. Zeichne dort die Messlinien ein.
Du liest ab x = 6,9
10. Juni + 7 Tage
=> 17. Juni
A 3.3
82 % |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 2 März, 2010 16:29
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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