Abschlussprüfung 2009 - Haupttermin - Mathematik II/III - Realschule Bayern

Abschlussprüfung 2009 - Haupttermin - Mathematik II/III
Bayerische Realschule - Langaufgaben B1, B2

B 1.0	Die Parabel p₁ mit der Gleichung y = x² - 8x + 14 hat den Scheitel S₁(4\|-2). Die Parabel p₂ besitzt den Scheitel S₂ (6\|7) und verläuft durch den Punkt P(9\|4,75). Sie hat eine Gleichung der Form y=ax²+bx+c mit .

B 1.1	Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel p₂ in der Scheitelform und bringen Sie die Gleichung in die Form y=ax²+bx+c mit . Erstellen Sie sodann für die Parabel p₂ eine Wertetabelle für x[0;10] mit und zeichnen Sie die Parabeln p₁ und p₂ in ein Koordinatensystem. [Ergebnis: p₂ : y = -0,25x² + 3x -2]	5 P

B 1.2	Punkte auf der Parabel p₁ und Punkte auf der Parabel p₂ haben dieselbe Abszisse x. Sie sind zusammen mit Punkten C_n die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken A_nB_nC_n mit der Basis [A_nB_n], wobei gilt: Die x-Koordinate der Punkte C_n ist um 4 kleiner als die Abszisse x der Punkte A_n . Zeichnen Sie die Dreiecke A₁B₁C₁ für x = 3 und A₂B₂C₂für x=6,5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.	2 P

B 1.3	Ermitteln Sie durch Rechnung, für welche Belegungen von x es Dreiecke A_nB_nC_n gibt. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.	2 P

B 1.4	Unter den Dreiecken A_nB_nC_n besitzt das Dreieck A₀B₀C₀ den maximalen Flächeninhalt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks A₀B₀C₀ und geben Sie die Koordinaten des Punktes C₀ an. [Teilergebnis: ]	5 P

B 1.5	Für x =4 ergibt sich das Dreieck A₃B₃C₃ . Zeichnen Sie das Dreieck A₃B₃C₃ in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und begründen Sie, dass das Dreieck A₃B₃C₃ rechtwinklig ist.	3 P

Klicke unten auf 1, 2 usw. um die Lösungen im Rand einzublenden.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Nr. 1

B 1.1

Von der Parabel p₂ kennst du den Scheitel S und einen weiteren Punkt P. Du weißt, du musst diese Punkte in eine allgemeine Parabelgleichung einsetzen, aber in welche? Benutzt du die Normalform y=ax²+bx+c, brauchst du 3 Punkte um die drei Formvariablen a, b und c zu bestimmen. Aber es gibt ja noch die Scheitelform:

Nr. 2

weiter B 1.1

x		y
0		-2
1		0,75
2		3
3		4,75
4		6
5		6,75
6		7
7		6,75
8		6
9		4,75
10		3

B 1.2

Du kannst den roten Punkt A mit der Maus auf der Parabel ziehen und dir so beliebig viele Beispiele von gleichschenkligen Dreiecken erzeugen.

B 1.3

Ziehe A und beobachte, wann sich der Umlaufsinn der Dreiecke ABC ändert .

Nr. 3

weiter B 1.3

Nur zwischen den beiden Schnittpunkten der Parabeln p₁ und p₂ existieren Dreiecke A_nB_nC_n mit dem richtigen Umlaufsinn.

Als bayerischer Realschüler darfst du zwei Funktionsgraphen auch mit deinem graphischen Taschenrechner "schneiden".

Casio-GTR: GRAPH-F6-F5-F5

Nr. 4

B 1.4

Als Teilergebnis ist die Länge der Strecke [A_nB_n] in Abhängigkeit von x angegeben. Was sagt dir das? Es sagt dir nichts? Ach du meine Güte, der Aufgabenbastler gibt dir einen wirklich fetten Hinweis und du verstehst ihn nicht? Du sollst eine maximale Dreiecksfläche berechnen. Du kennst nur 3 Möglichkeiten eine Dreiecksfläche zu berechnen:

A = 0,5*g*h

Sinusformel

Determinantenmethode

Der Hinweis sagt: Du sollst die Formel A=0,5*g*h benutzen. Warum? Weil du h kennst: h = 4 LE .

Eine Strecke parallel zur y-Achse berechnest du mit

y_oben - y_unten

Wäre sie parallel zur x-Achse müsstest du rechnen:

x_rechts-x_links

Nr. 5

weiter B 1.4

Wie bestimmst du einen Extremwert? Du könntest mit der Methode der "quadratischen Ergänzung" des Terms arbeiten. Einfacher ist es aber den Scheitel der Parabel

y=-2,5x²+22x-32

zu bestimmen.

Nr. 6

weiter B 1.4

A_max = 16,4 FE für x = 4,4

Für die x-Koordinate von C₀ gilt:

Für die y-Koordinate von C₀ gilt:

C₀ hat dieselbe y-Koordinate wie der Mittelpunkt M der Strecke [A₀B₀]. Hoffentlich erinnerst du dich, wie du den Mittelpunkt einer Strecke bestimmst. Ansonsten hilft die Formelsammlung.

Nr. 7

weiter B 1.4

B 1.5

Der Punkt M₃ ist der Mittelpunkt der Strecke [A₃B₃]. Da die Dreiecke A_nB_nC_n gleichschenklig sind, gilt:

=>C₃ auf Thaleskreis über [AB] => Dreieck ist rechtwinklig

B 2.0

Gegeben ist ein Fünfeck ABCDE mit

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1

Zeichnen Sie das Fünfeck ABCDE.

2 P

B 2.2

Bestimmen Sie durch Rechnung den Abstand d des Punktes B von der Geraden DC.

[Ergebnis: d = 6,58 cm]

2 P

B 2.3

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Fünfecks ABCDE.

[Ergebnis: A_{Fünfeck ABCDE} = 49,00cm²]

4 P

B 2.4

Ermitteln Sie rechnerisch die Länge der Strecke [DE] sowie das Maß

des Winkels EDA.

[Ergebnisse:

= 48,08°]

2 P

B 2.5

Der Punkt E ist der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius

. Dieser Kreis schneidet die Seite [CD] des Fünfecks ABCDE im Punkt G.

Zeichnen Sie den Kreisbogen

und die Strecke [EG] in die Zeichnung zu 2.1 ein. Berechnen Sie das Maß des Winkels AEG.

[Ergebnis:

]

4 P

B 2.6

Die Figur GDEA wird durch die Strecken [GD], [DE] und [EA] sowie den Kreisbogen

begrenzt.

Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts A der Figur GDEA am Flächeninhalt des Fünfecks ABCDE.

3 P

Klicke unten auf 1, 2 usw. um die Lösungen im Rand einzublenden.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Nr. 1

B 2.1

Klicke im Arbeitsblatt auf "Abspielen", dann kannst du dir das Entstehen der zeichnung anschauen.

B 2.2

B 2.3

Lösungsidee

Nr. 2

weiter B 2.3

B 2.4

Nr. 3

B 2.5

B 2.6

Der Anteil beträgt 43%.