Graphischer Taschenrechner CASIO CFX-9850GB PLUS und Funktionen in
der Abschlussprüfung -
im Graph-Modus Gleichungen lösen
Hallo du! Schön das Du weitermachst. Weil wir auf der letzten Seite in Zusammenhang mit dem Hyperbelchen y = ax-1 das "TRIG-View Window" kennengelernt haben und du es nicht wieder vergessen sollst, füge ich hier erst einmal eine Seite zum Lösen goniometrischer und anderer Gleichungen ein. Mit Hyperbelchen und ihren Aufgaben geht es danach weiter und dann brauchen wir das Lösen von Gleichungen.
Nein, nein, bleib hier! Erschrecke nicht! Es handelt sich nicht um geschlechtskranke Gleichungen, sondern z.B. ist sin x = -0,45 eine goniometrische Gleichung.
Eine goniometrische Gleichung ist eine Gleichung
in der Winkelfunktionen vorkommen.
Beispiele: cos x = 0,6; tan (x - 25°) = -1,7; oder ein Beispiel aus Wahlfachgruppe I
sin (90° - x) = cos(180° - x) + 1
Bisher hast du im Run-Modus einen möglichen Wert für den Winkel x im Intervall [0°;360°] bestimmt und dann mittels schwieriger Betrachtungen am Einheitskreis, oder der Supplement- und Komplementbeziehungen bei Winkeln, oder durch Betrachtungen am Graphen den 2. Wert/Lösung ausrechnen müssen. Dabei hat dein Rechenknecht manchmal negative Winkel ausgespuckt, die du umrechnen musstest und eventuell die Definitionsmenge beachten müssen.
Diese Mühsal ist vorbei!
Ich verspreche dir, dein Rechenknecht liefert dir z.B. für alle die Gleichungen oben die Werte/Lösungen positiv. Du brauchst sie nur noch ablesen!
Ich verspreche dir, du löst Gleichungen jeder Art im Graph-Modus, kinderleicht!
Was du brauchst? Du brauchst, ist ein grundlegendes Verständnis von Funktionen und das Know How über die Fähigkeiten deines Rechenknechts.
Pferdefuß: Wenn du schon nur noch minimal rechnen musst, dann musst du dein Vorgehen mit dem GTR sehr gut dokumentieren.
Es reicht also nicht nur die Lösungen abzulesen. Und du solltest deinen Mathe-Lehrer fragen, wie du es dokumentieren sollst.
Noch eines! Da soll es ja Mathe-Lehrer geben, die nur bestimmte Fähigkeiten eines grafikfähigen Taschenrechners zulassen. Das darf er meiner Meinung nach nicht. Eine Beschwerde könnte sich lohnen. Die Rechenknechte sind insgesamt zugelassen und nicht nur zum Teil. Nur die Programmierfähigkeit darfst du nicht benutzen. An meiner Schule wird deshalb vor Beginn der Abschlussprüfung ein Reset durchgeführt und dies auch stichprobenartig überprüft. Danach darf der Rechenknecht eingesetzt werden, was die Kenntnisse hergeben.
Also ihr Mühseligen und mit Unkenntnis Beladenen kommt näher. Die nachfolgende Lern-Slide-Show ist ein echter Not-Crash-Kurs. Ein Ostergeschenk von mir.
ABB. 1
Unser erstes Beispiel oben ist die Gleichung
cos x = 0,6 mit ID = [0°;360°]
Bisher hast du diese Gleichung im RUN-Modus mit SHIFT-COS 0,6 gelöst. Als Lösung gibt der Rechenknecht x = 53,13° die zweite Lösung musstest du selber finden. Jetzt kämen so Überlegungen wie z.B. in welchem Quadranten ist der Cosinus noch positiv. Und vielleicht weißt du noch, dass dies der IV.Quadrant ist und dass du deine Lösung von 360° abziehen musst. Das ist nicht mehr notwendig.
Bring deinen Rechenknecht dazu dir beide Lösungen zu geben!
Als erstes schaust du mit SHIFT-SETUP ob dein Rechenknecht richtig eingestellt ist. Bei ANGLE=WINKEL muss DEGREE=GRAD aktiviert sein. Aber das weißt du sicherlich.
Wie du links siehst, musst du in den Graph-Modus. Mache dies und klicke unten auf Vorwärts.
ABB. 2
Das Eingabefenster für die Funktionen habe ich hier nicht dargestellt. Lösche alle Funktionen raus, die möglicherweise drinne stehen. Achte darauf das oben y= steht. Du erinnerst dich? Ansonsten kannst du mit der F3-TYPE-Taste den Typ einstellen.
So jetzt gibst du die Funktion y = cos x ein. Um sie graphisch darzustellen musst du das "TRIG-View Window" aktivieren. Drücke SHIFT F3, das View Window macht auf. Drücke die F2-TRIG-Taste.
Die Einstellungen, die du siehst, sind die Standardeinstellungen. Folgende Werte sollten drin stehen: Für Xmin: -540; max: 540 und scale: 45.
Damit reicht die X-Achse von -540° bis 540° und ein Teilstrich sind 90°. Du gibst hier den Definitionsbereich ein (siehe links) und für scale: 45. Die Einstellungen für die y-Achse kannst du so lassen. Diese Einstellungen speicherst du mit F4-STO im Speicherplatz V-W6.
Mit EXE kehrst du zum Funktionen-Fenster zurück. Und jetzt schauen wir uns die Cosinus-Kurve einmal an. Drücke F6-DRAW und unten auf Vorwärts.
ABB. 14
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems:
y = 2x + 4 und zugleich
y = x² - 2x + 3
Normalerweise würdest du die beiden Funktionsterme gleichsetzen und die quadratische Gleichung mit der Lösungsformel lösen. Es schadet nicht, wenn du es zwischendurch einmal probierst.
An die zweite Lösung kommst du bei mir wie immer mit Mouseover. Hier die Dokumentation des graphischen Lösungsweges:
GTR: Graph-Modusy = 2x + 4 und
y = x² - 2x + 3; F6-Draw; Shift-G-Solv; F5-Isct
=> x1 = -0,24 und y1 = 3,53
=> x2 = 4,24 und y2 = 12,47
Noch geht es weiter. Vorwärts!
ABB. 17
Zum Abschluss wollen wir noch eine Exponentialgleichung lösen. So etwas gibt es nur in Wahlfachgruppe I. Aber mit der graphischen Lösungsmethode kann sie auch jeder aus den Wahlfachgruppen II/III lösen. Probiere es aus! Achte darauf wie du es eingeben musst.
Du und ich haben das Ende der Slide-Show auf dieser Seite erreicht. Ich hoffe, es hat Spaß gemacht und du hast etwas für die Abschlussprüfung gelernt.
ABB. 16
Der Flächeninhalt einer Figur ist in Abhängigkeit von x cm dargestellt:
A(x) = - (1,5x²π + 1,5xπ + 32 + 1,125π) cm²
Das Zeichen
π ist die Zahl Pi.
Berechne die Belegung für x, für die der Flächeninhalt 7,2
π cm² beträgt.
- 1,5x²π + 1,5xπ + 32 + 1,125π = 7,2
π|-7,2
π
- 1,5x²π + 1,5xπ + 32 - 6,075 π = 0
Du erkennst, ich will die Aufgabe graphisch durch Nullstellenbestimmung lösen. Und du siehst, du kannst den Term eingeben, wie er auf dem Papier steht.
Versuchen wir es einmal mit einer quadratischen Gleichung:
x² - 8x +1 = 0
Unsere Einstellung im "View Window" ist immer noch "TRIG-View Window". Ändere es bitte auf STD-View Window. Meine Güte, du nervst. Also gut SHIFT-F3-V-Window und dort F3-STD.
Hier die Dokumentation zur Lösung (bei mir Mouseover/Mouseclick):
Rechenknecht spinnt! Wenn du rechnest, kommst du auf die Lösung x = 4. Mit Mouseover/Mouseclick wird die Lösung des Problems erkennbar. Was habe ich verändert?
Merke: Rechenknecht berechnet die Werte über ein Näherungsverfahren
entsprechend der Fenster-Einstellungen, dass
gelegentlich zu solchen Ergebnissen wie oben führt.
Gehe ins "View Window" und wähle das "INIT-View Window". Jetzt findet Rechenknecht die Lösung. "Not Found" heißt also nicht immer, es gibt keine Lösung. Vergiss das nicht! Vorwärts!
ABB. 8
Du löst jetzt unser zweites Beispiel:
tan(x-25°) = -1,7
Die notwendigen Eingaben siehst du links. Drücke F6-DRAW, SHIFT-G-Solv und dann F5-ISCT. Sei nicht so ungeduldig, du musst warten und hoffen. Warum hoffen? Du musst hoffen, dass er den Schnittpunkt findet, obwohl er nicht dargestellt ist.
Bemühe mal deinen internen Speicher und erinnere dich, was ich dir vorhin gesagt habe. Rechenknecht findet eigentlich nur Schnittpunkte in dem von dir festgelegten "View Window". Im "TRIG-View Window" hast den Bereich für die y-Achse von -1,6 bis 1,6 festgelegt. Deswegen siehst du hier auch keine Parallele. Wenn du die Parallele sehen willst, musst du im TRIG-View Window den Bereich für die y-Achse z.B. von -2,4 bis 2,4 festlegen.
Gehe einmal mit der Maus über mein Display. Du siehst Rechenknecht hat die Lösung trotzdem berechnet und ich hoffe bei dir auch.
tan(x-25°) = -1,7
=> x1 = 145,47° und
x2 = 325,47°
Nächste Aufgabe!
ABB. 13
Bestimme die die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in der Grundmenge IR:
(0,5x - 0,5)x = 0,5x(1 - x)
Normalerweise würdest du jetzt beide Seiten ausmultiplizieren und dann die Gleichung so äquivalent umformen, dass auf einer Seite "0" steht. Das kann du natürlich auch hier machen und dann das Verfahren von der letzten Aufgabe anwenden.
Ich habe es anders gemacht (Mouseover bei mir !!!):
Hier ist im Graph nicht erkennbar ob es einen oder zwei Schnittpunkte gibt.
Merke: Die Null- oder Schnittstelle, die am weitesten links liegt, wird zuerst angezeigt. Mit der Pfeiltaste "nach rechts" immer prüfen ob es da noch eine Null- bzw. Schnittstelle gibt, wenn der Graph unklar ist.
ABB. 11
Wenn du links mein Display anschaust, welche Gleichung lösen wir jetzt? Na? Richtig, die Gleichung in unseren Beispielen, die angeblich nur in Wahlfachgruppe I möglich ist.
sin (90°-x) = cos (180°-x) + 1
Eine rechnerische Lösung kann aber dort auch nicht jeder. Du aber löst es ja graphisch, oder sagen wir mal du lässt es durch Rechenknecht lösen. (bei mir Mouseover!)
Hier ist unbedingt eine Dokumentation deiner Schritte notwendig!
Ohne Dokumentation keine Punkte!!!
GTR: Graph-Modus mit y1 = sin(90-x) und
y2 =
cos(180-x) + 1; Shift-G-Solv, F5-Isct
=> x1 = 60° und x2 = 300°
So muss die Dokumentation bei meinen Schülern aussehen. So und jetzt löst du die Gleichung noch einmal durch Nullstellenbestimmung. Ich geh inzwischen Tee kochen. Weiter jetzt! Vorwärts!
ABB. 10
Wie du links siehst, sollst du die Winkelwerte für
sin x = -0,45 mit ID = [0°; 360°]
bestimmen. Im RUN-Modus bekommst du die Lösung
x1 = -26,74°
Die müsstest du jetzt in einen positiven Winkel umrechnen und dann durch tiefes Nachdenken die 2. Lösung bestimmen.
Wir machen es mit im GRAPH-Modus mit F6-DRAW, SHIFT-G-Solv und F5-ISCT. Also durch Schnittstellenbestimmung von zwei Graphen. Es ginge natürlich auch mit Nullstellenbestimmung der Funktion.
y = sin x + 0,45
Ist hier aber nicht notwendig. Aber niemand hindert dich daran es auszuprobieren. Zur Lösung bitte Mouseover bei mir.
x1 = 206,74° und x2 = 333,26°
Du siehst, es gibt kein Problem mehr. Weiter! Vorwärts!
ABB. 7
Du musst schon ein wenig Geduld haben. Unser Rechenknecht kommt ganz schön ins rödeln. Aber ich hoffe, er hat den ersten Schnittpunkt und damit die erste Lösung auch bei dir gefunden.
cos x = 0,6 => x1 = 53,13°
Der erste Schnittpunkt ist durch ein kleines rotes Kreuz markiert. Dieses rote Kreuzchen bringst du mit den Pfeiltasten zum zweiten Schnittpunkt, also Pfeiltaste nach rechts. Einmal reicht!! Es dauert ein wenig, Rechenknecht rödelt gewaltig. Dann ist auch die zweite Lösung gefunden.
cos x = 0,6 => x2 = 306,87°
Auf diese Weise kannst du immer bei allen Winkelfunktionen die beiden Lösungen in [0°;360°] bestimmen.
Bei solchen Bestimmungen von Winkelwerten ist eine Dokumentation nicht notwendig!
Machen wir noch ein paar Beispiele, also Vorwärts!
ABB. 6
Dieses Menü unten in G-Solv ist dein Retter in allen Lebenslagen. Ich soll nicht so auf den Busch hauen? Na gut, sagen wir dein Retter in der Abschlussprüfung. Gehen wir das Menü einmal durch:
ROOT: Zur Berechnung der Nullstellen (= Wert für x, falls y = 0)
MAX/MIN:zur Extremwertbestimmung quadratischer Terme, auch Terme 3. Ordnung,
sowie zur Scheitelbestimmung von Parabeln
Y-ICPT: zur Berechnung der y-Koordinate, wenn
die x-Koordinate des Punktes auf dem Graphen Null ist, also wenn der Graph
die y- Achse schneidet
ISCT: zur Berechnung der
Koordinaten des (der) Schnittpunkt(e) zweier Graphen, so jetzt F6
Y-CAL/X-CAL: Dient zur Berechnung fehlender Koordinaten
beliebiger Punkte eines Graphen.
Der letzte Menüpunkt von G-Solv ist in der Realschule nicht verwendbar.
Drücke F5-ISCT und unten weiter mit Vorwärts.
ABB. 9
Dieses Problem der Nichtsichtbarkeit der Schnittpunkte der beiden Graphen kann immer wieder mal auftreten. Dafür gibt es aber eine Patentlösung:
tan(x-25°) = -1,7 | + 1,7
tan(x-25°) + 1,7 = 0
Du formst die Gleichung so um, dass auf einer Seite "0" steht. Diese Äquivalenzumformung wirst du jawohl noch schaffen.
Weißt du, was diese Gleichung eigentlich bedeutet? Sie ist eine Aufforderung an dich:
Bestimme die Nullstellen der Funktion
y = tan(x-25°) + 1,7
Also jetzt F6-DRAW, SHIFT-G-Solv und dann !!! F1-ROOT (Nullstellenbestimmung). Bei mir gehst du mit der Maus übers Display. Den Bildwechsel kannst du mit Mausklick wieder rückgängig machen. Die Nullstellen steuerst du mit den Pfeiltasten an.
0 = tan(x-25°) + 1,7=> x1 = 145,47° und
x2 = 325,47°
Nächste Aufgabe! Weiter! Vorwärts!
ABB. 3
Was für eine schöne Cosinus-Kurve? Oder? Wenn du jetzt dein Geo-Dreieck nimmst und es bei y = 0,6 mit der Basis parallel zur x-Achse anlegst kannst du ungefähr deine Lösungen bestimmen. Aber eben nur ungefähr. Doch dein Rechenknecht kann das viel besser.
Wie bestimmst du den Schnittpunkt von zwei Geraden? Was diese Frage mit dem Cosinus zu tun hat? Alles!!!! Also beantworte sie. Warte ich gib dir zwei Geraden.
g1: y = 2x + 3 und g2: y = -3x - 5
Wie bestimmst du den Schnittpunkt?
2x + 3 =-3x - 5
Richtig du setzt die beiden Funktionsterme gleich und löst die Gleichung. Wenn du die beiden Geraden zeichnest löst du das Problem graphisch. Niemand hindert uns daran die beiden Seiten einer Gleichung als Funktionsterme aufzufassen und mit dem GTR eine grafische Lösung zu machen. Versuche es mit cos x = 0,6. Denke nach bevor auf Vorwärts klickst!
ABB. 4
Dein Display sollte so ausschauen wie meines. Was haben wir gemacht? Wir haben die Funktion y = 0,6 noch eingegeben. Das ist eine Gerade und zwar eine Parallele zur x-Achse.
Jetzt lassen wir von unserem Rechenknecht einfach die Schnittpunkte der beiden Graphen berechnen.
Diese graphische Lösungsmethode kennst du. Sie ist im Unterricht im Laufe der Jahre öfters vorkommen, oft zur Vorbereitung der rechnerischen Methode mit Äquivalenzumformungen. Genaue Lösungen hat man damit nie gewinnen können. Es waren immer nur Näherungslösungen.
Das ist jetzt mit deinem graphischen Taschenrechner völlig anders. Die graphische Methode ist an Einfachheit und Schnelligkeit der rechnerischen Methode haushoch überlegen. Außerdem bietet sie kaum Gelegenheit Fehler zu machen.
Drücke jetzt F6-DRAW und unten auf Vorwärts.
So zum Ende will ich dir die Frage beantworten, die dir schon lange ins Gesicht geschrieben steht: Kann ich die graphische Lösungsmethode mit dem GTR wirklich in der Abschlussprüfung anwenden?
Ja, du kannst es immer dann, wenn in der Aufgabe steht "Zeige", "Bestimme", "Ermittle" oder so etwas Ähnliches und wenn nicht dabei steht "rechnerisch" oder "durch Rechnung" , bei "Berechne" natürlich auch nicht.
Aber ehe du etwas gar nicht kannst, löse es damit. Sollen sich doch die beiden Korrektoren damit rumschlagen, ob sie dir dafür Punkte geben und wie viele. Außerdem würde ich an deiner Stelle die eigenen berechneten Lösungen immer mit der graphischen Methode kontrollieren. Hast du etwas anderes berechnet, würde ich eher den Ergebnisssen der graphischen Methode trauen und damit weiter rechnen. Schreibe hin, dass du den Unterschied gesehen hast, deinen Fehler aber nicht findest, und jetzt mit den Ergebnissen der graphischen Methode weiter rechnest.
Auf der nächsten Seite geht es mit der Hyperbel weiter.
Auch diese Seite hat ca. 20 Arbeitsstunden gebraucht. Also vergiss meine 2 Euro nicht. Falls du dich in der Abschlussprüfung um eine Note gegenüber dem Jahresfortgang verbesserst, erwarte ich eine Prämie in 10-facher Höhe, bei zwei Notenstufen in 20-facher höhe usw. ^.^
