Abschlussprüfungen mit Spaß lernen

optimiert für IE 6.x

Graphischer Taschenrechner CASIO CFX-9850GB PLUS und Funktionen in der Abschlussprüfung - Hyperbel 3

Erst einmal "Grüß Gott". So jetzt kannst du mit deinen Fragen kommen. Warum ich so auf der Hyperbel 'rumreite? Die ist doch bisher noch nie in den Abschlussprüfungen vorgekommen? Du hast recht, aber in der neuen Form der Abschlussprüfung könnte sie (und die Exponentialfunktionen) im Pflichtteil vorkommen. Die vorgesehene Stundenzahl im Lehrplan reicht für die Übung komplexerer Aufgaben nicht aus, daher ist eine Aufgabe zur Hyperbel oder zur Exponentialfunktion im Wahlteil nicht zu erwarten. Doch Aufgaben einfacherer Art können im Pflichtteil durchaus vorkommen. Ein Beispiel für eine solche Pflichtteilaufgabe könnte folgende Aufgabe sein:

P 1.0	Die Funktion f hat die Gleichung und die Gerade g hat die Gleichung Es gilt: G = IR x IR

P 1.1	Zeichnen Sie den Graphen zu f und die Gerade g für x [-3 ; 6] in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie sodann die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden g mit dem Graphen zu f auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

P 1.2	Geben Sie die Gleichung einer Geraden h an, sodass h keinen Punkt mit dem Graphen zu f gemeinsam hat.

Versuche die Aufgabe erst einmal selbstständig zu lösen.

Script 1:

Zuerst solltest du dir die Hyperbel und die Gerade mit dem Rechenknecht anschauen.

GTR: Graph-Modus y₁ = -3 : x und
y₂ = - 0,75x + 3

Bei meiner Eingabe habe ich die Bruchschreibweise gewählt, damit du siehst, dass du auch diese Schreibweise verwenden kannst.

Vor dem Zeichnen musst du dein "View Window" auf "STD-View Window" einstellen.

SHIFT-F3-V-Window; F3-STD; EXE

Mit F6-DRAW lässt du jetzt die beiden Funktionen zeichnen. In meinem Display mit Mouseover und zurück mit Mouseclick.

So nachdem du weißt wie deine Zeichnung aussehen muss, brauchst du jetzt, zumindest für die Hyperbel, eine Wertetabelle.

GTR: Table-Modus

Unten auf Vorwärts!

Script 2:

Wie du siehst, stehen deine beiden Funktionen schon drin. Du musst nur noch den gewünschten Bereich einstellen. Drücke F5-RANG (bei mir Mouseover usw.).

Bei mir steht der schwarze Balken auf der Hyperbelgleichung. Steuere deinen mit den Pfeiltasten auch dorthin. Mit F6-TABL lässt du dir die Wertetabelle zur Hyperbel anzeigen und überträgst sie auf den Prüfungsbogen. Dann gehst du zurück und markierst die Gerade und lässt dir die Wertetabelle anzeigen. Um die gerade zu zeichnen brauchst du ja nur 2 Punkte. Am besten wählst du die Werte für x = - 3 und x = 6. Je weiter die Punkte auseinander liegen desto besser kannst du dein Geo-Dreieck anlegen und umso genauer wird deine Zeichnung.

Jetzt musst du noch die Schnittpunkte berechnen. Aber niemand hindert dich daran dir erst einmal die Lösungen vom Rechenknecht anzeigen zu lassen. Mir reicht die graphische Lösungsmethode, aber das gilt nicht für alle Schulen in Bayern. Das entscheiden die Mathe-Lehrer jeder Schule , ob die graphische Lösung reicht.

Also zurück in den Graph-Modus! Vorwärts!

Script 3:

GTR: Graph-Modus y₁ = -3 : x und
y₂ = - 0,75x + 3; F6-Draw; Shift-F5-G-Solv; F5-Isct

=> x₁ = - 0,83 und y₁ = 3,62
=> x₂ = 4,83 und y₂ = - 0,62

Rechnerische Lösung:

-3 : x = - 0,75x + 3 | • x
-3 = -0,75x² + 3x | + 3
0 = -0,75x² + 3x + 3

Du siehst, es läuft darauf hinaus, dass du eine quadratische Gleichung lösen musst.

D = 3² - 4•(-0,75)•3 = 9 + 9 = 18

x₁ = (-3 + Ö18) : (-1,5) = -0,83

Die Lösung setzt du in die Geradengleichung ein.
y₁ = -0,75 • (-0,83) + 3 = 3,62

x₂ und y₂ schaffst du sicherlich alleine. Vorwärts!

Script 4:

Vergiss nicht, dass du deine Schnittpunkte noch benennen musst und dass nach ihren Koordinaten gefragt war. Die musst du als Ergebnis auch hinschreiben.

Ok, gehen wir die Teilaufgabe 1.2 an. Du schaust deine Zeichnung an und siehst eigentlich sofort die Lösung. Oder? Die Hyperbeläste liegen im II. und IV. Quadranten. Deine Gerade muss also im I. und III. Quadranten liegen. Wie wäre es mit einer Ursprungsgerade? Jede positive Steigung ist recht. Wenn du bei meinem Display "Mouseover" machst, siehst du meine Wahl:

h: y = x

So unter dem Rechenknecht geht es mit der nächsten Aufgabe weiter.

Bevor ich dir die 2. Aufgabe zeige, noch ein Wort dazu, was eigentlich in der Abschlussprüfung zur Hyperbel verlangt werden kann. Es können nur Hyperbeln der Form y = a x^-1 sein. Also keine parallel verschobenen Hyperbeln wie z.B. y = 2(x-4)^-1 + 3. So steht es im Lehrplan.

Was kann man nun mit solchen einfachen Hyperbeln anfangen? Man kann sie mit einer Geraden schneiden, wie oben geschehen. Ein Schnitt zweier solcher Hyperbeln kommt nicht in Frage, die schneiden sich nicht. Warum? Denk nach und/oder probier es aus. Würde man eine Hyperbel mit einer Parabel schneiden, käme man zu einer Gleichung 3.Grades. So eine Gleichung könnte man an der Realschule nur graphisch lösen. Aber keine Angst, es steht nicht im Lehrplan. Auch funktionale Abhängigkeiten stehen nicht im Lehrplan. Also bleibt nicht viel übrig. Was ein Aufgabenbastler noch machen könnte, das zeige ich dir in der nächsten Aufgabe.

P 2.0	Eine Hyperbel h hat die Gleichung bzw. y = a • x^-1 und geht durch den Punkt P(-0,4/ -10).

P 2.1	Ermittle die Belegung für die Formvariable a, und zeichne die Hyperbel in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; -4 < x < 6; -3 < y < 8.

P 2.2	Der Punkt A(x_A / -0,25) liegt auf der Hyperbel h. Berechne die fehlende Koordinate x_A.

Versuche die Lösung wieder erst selbst. Danach schiebst du mit der Maus mein Schmierblatt weg und vergleichst.

Lösung:

2.1 Du sollst die Formvariable in einer Funktion bestimmen. Das kennst du bei der Gerade, und das kennst du bei der Parabel. Du setzt den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung ein.

| •(-0,4)

4 = a

==> h:

2.2 Kennst du noch aus der 7. Klasse die Eigenschaft aller Zahlenpaare einer indirekten Proportionalität? Die Zahlenpaare sind produktgleich. Schau dir einmal die Wertetabelle einer Hyperbel an. Multipliziere jeweils einen x-Wert mit dem zugehörigen y-Wert, dann verstehst du wieder, was produktgleich ist.

| • x

y • x = 4

mit y = -0,25 gilt: -0,25 • x = 4 | : (-0,25)

x = -16

==> A(-16/ -0,25)

Was mein Geschmarri über die Produktgleichheit soll? Du hättest doch nur die gegebene Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen müssen? Du hast recht, aber ich wollte dir noch einmal die Produktgleichheit vor Augen führen. Vielleicht brauchst du ja dieses Wissen noch einmal. Alles klar?

Jetzt kannst du erst einmal eine Pause machen. Ach ja, das Lernen mit dieser Site kostet einmalig 2 Euro vergiss das nicht.

Hier geht es zurück.

Hier geht es weiter.

Wie oft wurde dieses Jahr im Unterricht oder in der Hausaufgabe eine quadratische Gleichung gelöst? Na gut, du hast Glück, dass ich eine tibetanische Gebetsmühle bin.

2x² + 6x - 8 = 0

Voraussetzung ist, dass du die quadratische Gleichung durch Äquivalenzumformungen so umformst, dass auf einer Seite "0" steht. Dan schlägst du in der Formelsammlung die Lösungsformel nach.

Mit

a = 2; b = 6; c = -8

berechnest du zunächst die Diskriminante, das ist der Term unter Wurzel.

D = b² - 4ac

D = 6² - 4 • 2 • (-8) = 6,25

Wäre die Diskriminante negativ, könntest du hier aufhören, weil es keine Lösung gibt, d.h. IL = { }

Jetzt setzt du in die Formel ein:

x₁ = 1 und x₂ = -4

Klick auf die tibet(an)ische Gebetsmühle


	Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 18:47 geändert. © 2002 Wolfgang Appell