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Abschlussprüfungen mit Spaß lernen
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Abschlussprüfung 2006 - Mathematik II
Pflichtteil - Bayerische Realschule - Aufgaben P1, P2, P3
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Hallo du! Grüß dich Gott. Heute möchte ich dir die Pflichtaufgaben Mathematik Wahlpflichtfächergruppe II/III aus der Abschlussprüfung 2006 vorstellen.
Wie deine Lehrkraft die Abschlussprüfung zusammenstellen muss, kannst du rechts im Rand nachlesen.
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Berechnen Sie den Oberflächeninhalt A des Rotationskörpers. (Auf eine Stelle nach dem Komma runden.) |
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Klicke unten auf 1, 2 usw. um die Lösung einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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Ich bin mir nicht sicher, ob Du weißt was ein Rotationskörper oder was ein Axialschnitt ist. Das Dreieck und den Halbkreis links im Applet kannst Du mit dem Schieberiegler rotieren lassen. Bewegen ihn ein paarmal hin und her. Was für ein Körper entsteht?
Also wenn ein gleichschenkliges Dreieck um seine Symmetrieachse rotiert, entsteht ein Kegel und bei einem Halbkreis eine Halbkugel. Bei einem Rechteck würde ein Zylinder entstehen. Wenn Du so einen Körper mitten durchschneidest, entsteht ein Axialschnitt.
Aus welchen Flächen setzt sich unser Rotationskörper zusammen? Du kannst es links gut studieren.
- Kegelmantel
- Kreisring
- Halbkugel
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| Nr. 2 |
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Kegelmantel
Du suchst Dir aus der Formelsammlung die Formel für den Kegelmantel.
M = p • r • s mit 
Im rechtwinkligen Dreieck AMC kennst Du die Kathete  und den Winkel  = 40,7°. Damit lassen sich mittels der Winkelfunktionen berechnen.
Beachte, dass Du auf eine Kommastelle runden musst! Das ist hier eine kleine Falle.
Für  kannst Du jetzt den Tangens, den Kosinus oder den Pythagoras verwenden. |
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| Nr. 3 |
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M =  • 6,0 • 8.0 = 150,8 cm²
Kreisring
A = A1 - A2 =r12 • - r22 •
mit r1 = und r2 = 
A = 6,0² • - 3,4² • = 76,8 cm²
Halbkugel
A = 0,5 • 4 • • r² mit r =
A = 0,5 • 4 • • 3,4² = 72,6 cm²
Agesamt = (150,8+76,8+72,6) cm²
Agesamt = 300,4 cm²
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Nebenstehende Skizze zeigt den Plan eines viereckigen Sandkastens für den neuen Gemeindekindergarten.
Es gelten folgende Maße:
 ;  ;
Hinweis für Berechnungen:
Runden Sie jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma: Winkelmaße in °, Längen in m und Flächeninhalte in m². |
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Zeichnen Sie das Viereck ABCD im Maßstab 1 : 100. |
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Zeigen Sie, dass für das Maß des Winkels DBA gilt:  .
[Teilergebnis:  ] |
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Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Sandkastens. |
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Klicke unten auf 1, 2, usw. um die Lösungen einzublenden. |
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| Nr. 3 |
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weiter P2.2
Dies ist der einzige Fall, wo Du den Kosinussatz für die Berechnung einer Streckenlänge benutzen solltest.
Den Rest erledigt der Sinussatz.
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| Nr. 6 |
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weiter P2.3
Was meinst Du? Du kennst  und den Winkel  nicht? Der Winkel ist überhaupt kein Problem. Denk nach! Du kennst dann letzlich alle 3 Winkel im Dreieck BCD. Somit lässt sich die Streckenlänge mit dem Sinussatz berechnen.
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| Nr. 5 |
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P2.3
Der Sandkasten ist mathematisch gesehen ein unregelmäßiges Viereck. Dafür gibt es keine Flächen-Formel. Du musst ihn in zwei Dreiecke zerlegen, d.h. das hast Du ja schon getan. Welche Formeln zur Dreiecksflächen-Berechnung kennst Du? Die Determinantenformel scheidet aus, da wir uns nicht im Koordinatensystem befinden.
Dir bleibt die normale Flächenformel oder die Zwischenwinkel-Formel. Da du hier bisher nur Seitenlängen und Winkel kennst und nichts von Höhen in Sicht ist, bleibt nur die Zwischenwinkel-Formel für die Dreiecksfläche.
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| Nr. 4 |
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weiter P2.2
Bei der Lösung der Teilaufgabe bin ich wortlos über ein Problem hinweg gestiefelt, das vielen Schülern große Probleme bereitet. Weißt Du was ich meine?
So eine Gleichung wie oben sin  = 0,8733 hat im Definitionsbereich
 =]0°; 180°[ zwei Lösungen. Weißt Du wie eine solche Gleichung heißt? Das ist eine goniometrische Gleichung. Nein, das ist keine Geschlechtskrankheit. Du hast recht, den Namen musst du nicht wissen, aber dass sie 2 Lösungen hat. Bei Kosinus und Tangens gilt dasselbe. Oft gilt ja =]0°; 360 °[. Wäre es nicht schön, nie wieder mühsame Betrachtungen am Einheitskreis oder an den Kurven machen zu müssen, um die 2. Lösung zu bestimmen? Nie wieder negative Winkel umrechnen zu müssen? Wie das möglich ist verrate ich dir rechts im Rand. |
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| Nr. 7 |
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weiter P2.3
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| Nr. 1 |
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P2.1
"Zeichne" heißt hier, du brauchst nicht zu konstruieren. Dein Geodreieck reicht völlig aus. Du musst nur wissen, was der Maßstab 1 : 100 bedeutet. Weißt du es?
1 cm in der Zeichnung entspricht 1 m in Wirklichkeit. Jetzt musst du über die Winkelsumme nur noch den stumpfen Winkel berechnen:
P2.2
Du sollst einen Winkel berechnen. Dazu musst du zumindest einzeichnen. Damit wird das Viereck in zwei Dreiecke zerlegt. Damit hast du deine Dreiecke in denen du dann rechnen musst.
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| Nr. 2 |
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weiter P2.2
Wenn als Teilergebnis gegeben ist, heißt dies, du brauchst die Streckenlänge zur Winkelberechnung. du siehst, der Aufgabensteller gibt dir Hinweise.
Blende dir links im Applet mit dem Schalter die Zerlegung des Vierecks ein. Du solltest wie ich, die gegebenen Maße an die Zeichnung schreiben. Aber bitte die Originalmaße und nicht im Maßstab 1 : 100, also in Zentimeter. Dies ist ein häufiger Fehler. Dem gesuchten Winkel gibst du einen einfachen Namen. Dadurch wird deine Schreibweise übersichtlicher.
Was weißt du vom Dreieck ABD? Du kennst zwei Seiten und den Zwischenwinkel und es ist kein rechtwinkliges Dreieck. Welches Werkzeug ist ideal für 2 Seiten und den Zwischenwinkel? |
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Ludwig ist am 26.06.1988 geboren. Seine in den USA lebende Oma schloss an diesem Tag für ihren Enkel einen Sparvertrag mit 20-jähriger Laufzeit und einer jährlichen Verzinsung von 6,5% ab. Als Anfangskapital zahlte sie 2000,00 $ ein.
Sein Guthaben von y $ nach x Jahren kann durch die Funktion
 mit  dargestellt werden. |
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Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet. Zeichnen Sie sodann den zugehörigen Graphen in das Koordinatensystem. (siehe Applet unten) |
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Berechnen Sie das Guthaben, das Ludwig heute, an seinem 18. Geburtstag, auf dem Sparkonto hat. |
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Entnehmen Sie dem Graphen, wie viele Jahre nach Abschluss des Sparvertrags Ludwigs Guthaben 4500,00 $ betrug. |
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Mit Mausklick auf die x-Werte blendest du die y-Werte ein. |
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Die grünen Messlinien unten, sie lassen sich an den grünen Punkten mit der Maus packen und ziehen, helfen dir die Teilaufgaben P 3.2 und P 3.3 graphisch zu lösen. In der Abschlussprüfung musst du diese Messlinien einzeichnen. |
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P 3.1
Solche Pflichtaufgaben aus dem Bereich Funktionen sind immer "eingekleidete" Aufgaben. Diese hier kommt als Zinzeszinsrechnung daher. Lass Dich von der "Einkleidung" nicht irre machen. Entkleide die Aufgabe und es bleibt eine schlichte Exponentialfunktion für einen Wachstumsprozess übrig, mit einer ebenso schlichten Aufgabenstellung.
Entweder erstellst du mit deinem GTR eine Wertetabelle oder du berechnest die 5 Werte einzeln. Mich dünkt es fast, es wäre schneller, wenn du es einzeln machen würdest.
P 3.2
Du machst hier dasselbe, was du gerade bei der Berechnung der Wertetabelle gemacht hast. Kontrollieren kannst du deine Berechnung mit den Messlinien oben im Arbeitsblatt. Ist aber nicht so ungenau. Aber Achtung hier kannst du nicht auf Dollar runden, sondern du musst auf Cent runden.
y=2000•1,065^18 = 6213,31
Ludwig hat an seinem 18. Geburtstag 6213,31 $ auf dem Sparkonto.
Vergiss den Antwortsatz nicht!
P 3.3
Was Du im Arbeuitsblatt mit den Messlinien machst, musst du in der Abschlussrüfung mit deinem Geodreieck machen. Du musst die Messlinien für die Lösung hier einzeichnen. Es reicht, wenn du auf volle Jahre abliest.
Aus dem Graphen entnimmst du 12,8 Jahre.
Ludwig hat nach ca. 13 Jahren (im Rahmen der Zeichengenauigkeit) 4500,00 $ auf seinem Sparkonto.
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 18:48
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Aufbau einer Abschlussprüfung |
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Ab dem Jahr 2009 ist alles neu. Es wird keinen Wahl- und Pflichtteil mehr geben. Uns kleinen Lehrerlein haben die Münchner Abschlussprüfungs-Bastler damit die letzte Möglichkeit genommen ein wenig auf die Stärken und Schwächen unserer SchülerInnen Rücksicht zu nehmen.
Was sich nicht ändert, das ist die Anzahl der Aufgaben. Du musst zwei umfangreichere Aufgaben lösen und zwar aus den Bereichen Raumgeometrie, ebene Geometrie oder eine Aufgabe zu den Funktionen. Diese zwei Aufgaben davon haben Punktzahlen zwischen 17 und 19 Punkten.
Dann musst du noch drei Kurzaufgaben lösen je eine aus den oben genannten Bereichen. Alle drei zusammen haben auch etwa 17-19 Punkte. Du hast 150 Minuten Zeit, d.h. heißt für die langen Aufgaben darfst du eine volle Stunde brauchen und für die kurzen Aufgaben nur 30 Minuten. Alles klar? |
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Nie wieder! |
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Nie wieder Schwierigkeiten z.B. mit der Gleichung
sin  = -0,789! |
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Gleichungen der Form
sin = -0,789, cos = 0,657 oder tan  = 2,345 haben in der Grundmenge
 =[0°; 360°] meistens 2 Lösungen. Eine erste Lösung liefert dir dein Taschenrechner. Die 2 Lösung musst du mit Betrachtungen am Einheitskreis, oder durch Formeln über Supplement- bzw. Komplementwinkel und negative Winkel, oder Betrachtungen an den Funktionsgraphen mühsam lösen. Zumindest hat es vieler Übungen bedurft, dieses sicher zu beherrschen. Das ist nicht länger notwendig, wenn du deinen graphischen Taschenrechner richtig einsetzt.
Wie war es bisher? Du löst ein letztes Mal die Gleichung
sin = -0,789 im RUN-Menü deines Casio-GTR. |
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Der nächste Schritt wäre den negativen Winkel in einen positiven Winkel umzurechnen. Dann musst du die 2. Lösung suchen. Dazu musst du überlegen in welchem Quadranten der Sinus negativ ist. Selbst, wenn du weißt, in welchem Quadranten die 2. Lösung zu suchen ist, hast du sie noch nicht berechnet. Weißt du was, wir vergessen das Run-Menü und lösen die Gleichung im GRAPH-Menü.
Um die Gleichung im GRAPH-Menü zu lösen, musst du sie zunächst etwas umformen.
sin = -0,789 | + 0,789
sin + 0,789 = 0
Jetzt machen wir daraus die Nullstellenbestimmung der Funktion
y = sin + 0,789
Das funktioniert übrigens mit Gleichungen jeder Art. Du formst solange äquivalent um, bis eine Seite gleich Null ist. Dann lässt du von deinem graphischen Taschenrechner die Nullstellen der entsprechenden Funktion berechnen.
Du gibst im GRAPH-Menü die Funktion y = sin x + 0,789 ein. Du siehst Du musst für die Variable = x setzen. Mit F6 lässt Du die Funktion zeichnen.
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| Schei....benkleister!! Was ist das? Wenn du so ein Bild hast, dann hast du das falsche Koordinatensystem eingestellt. Bei trigonometrischen Funktionen kannst du das Standard-Koordinatensystem STD nicht nehmen, sondern du brauchst das Koordinatensystem TRIG. du gehst mit F3 in das V-Window (View-Window) und wählst dort das Koordinatensystem TRIG. |
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Hier ist der Standard- Definitionsbereich
- 540° < x < 540° eingestellt. Du änderst ihn auf
0° < x < 360° (jeweils mit EXE bestätigen). Die anderen Einstellungen lässt du wie sie sind, d.h. du kommst sowieso zurück, wenn du max: 360 mit EXE bestätigst. Jetzt ist alles in Ordnung. |
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Du siehst, es gibt zwei Lösungen im 3. und 4. Quadranten. Mit F5 gehst Du in das Menü G-Solv. Im Englischen heißt Nullstelle "root". Du wählst also mit F1 den Menüpunkt ROOT.
Du musst ein wenig warten, während dein GTR rödelt. Dann endlich siehst du das kleine rote Kreuz von links her auf dem Funktionsgraphen entlang hatschen. Zunächst wird die linke Nullstelle angezeigt. Zur rechten Nullstelle kommst du, wenn du einmal die Pfeiltaste nach rechts betätigst. |
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Damit hat die Gleichung:
sin = -0,789
die Lösungen 1 = 232,09° und 2 = 307,91° |
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cos = 0,657 | -0,657
cos - 0,657 = 0
=> y = cos - 0,657
GRAPH-F6-F5-F1
1= 48,93° und
2= 311,07°
tan = 2,345 | - 2,345
tan - 2,345 = 0
=> y = tan - 2,345 GRAPH-F6-F5-F1
1= 66,90° und
2= 246,90° |
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