Abschlussprüfung 2006 - Mathematik II

Abschlussprüfung 2006 - Mathematik II
Wahlteil - Bayerische Realschule - Aufgaben A1, A2

Servus du! Nur nicht müde werden. Nach der Abschlussprüfung hast du genug Zeit um dich auszuruhen.

A 1.0

Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung

und die Gerade g mit der Gleichung

mit

A 1.1

Erstellen Sie für die Parabel p eine Wertetabelle für

in Schritten von

und zeichnen Sie sodann die Parabel p und die Gerade g in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

;

4 P

A 1.2

Punkte auf der Parabel p und Punkte auf der Geraden g haben jeweils dieselbe Abszisse x und sind mit Punkten C_n und D_n Eckpunkte von Parallelogrammen
A_nB_nC_nD_n.

Es gilt: und .

Zeichnen Sie die Parallelogramme A₁B₁C₁D₁ für x = –1 und A₂B₂C₂D₂ für x = 5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

A 1.3

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Länge der Seiten in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n wie folgt darstellen lässt: .

Bestimmen Sie sodann, für welchen Wert von x die Strecke

maximal ist.

2 P

A 1.4

Stellen Sie den Flächeninhalt A der Parallelogramme A_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n dar.

[Ergebnis:

]

2 P

A 1.5

Zeigen Sie durch Rechnung, dass es unter den Parallelogrammen A_nB_nC_nD_n kein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von 35 FE gibt.

3 P

A 1.6

Unter den Parallelogrammen A_nB_nC_nD_n gibt es zwei Rauten A₃B₃C₃D₃und A₄B₄C₄D₄.

Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte A₃ und A₄.

4 P

Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden.

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Nr. 1

A 1.1

Die Wertetabelle erzeugst Du mit Deinem Casio-GTR.

TABLE F5 (RANG); F6

Mit den Pfeiltasten kannst Du in der Wertetabelle nach unten scrollen.

Falls in Deinem Eingabefenster oben nicht y = steht, dann ist der falsche Typ eingestellt. Du kannst das unten mit "TYPE" ändern.

Nr. 7

weiter A 1.5

0 = - 0.75x² + 4,5x - 10,75

a =-0,75; b =4,5; c =-10,75

D = b² - 4ac

D =4,5²- 4•(-0,75)•(-10,75)

D = - 12

=> Es gibt kein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 35 FE.

2. Lösungsmöglichkeit

Du kannst natürlich auch den maximalen Flächeninhalt der Parallelogramme mittells Scheitelbestimmung berechnen und zeigen, dass der maximale Flächeninhalt kleiner ist als 35 FE.

A 1.6

Hier brauchst du die Eigenschaften der Raute. Da fällt dir sicherlich zuerst sein, dass alle 4 Seiten gleich lang sind. Und das ist auch der richtige Einfall.

Es gilt:

Nr. 6

weiter A 1.4

Du hast den Vektor
abgezählt: 5 LE nach rechts und 2 LE nach oben.

=> Für alle Parallelogramme ist die Höhe h = x-Koordinate von = 5 LE

A(x)=(- 0,15x²+0,9x+4,85)•5

=(- 0.75x² + 4,5x + 24,25) FE

A 1.5

1. Lösungsmöglichkeit

Du setzt die 35 FE in die Lösung von A 1.4 ein. Falls deine Lösung von der angegebenen Lösung abweicht, bitte, bitte benutze die angegebene Lösung. Wann ist eine quadratische Gleichung nicht lösbar? Richtig, wenn der Term unter der Wurzel in der Lösungsformel negativ ist, d.h. wenn die Diskrimante negativ ist.

35 = - 0.75x² + 4,5x + 24,25

=> 0 = - 0.75x² + 4,5x - 10,75

Nr. 5

A 1.4

Du sollst eine Fläche im Koordinatensystem berechnen, da ist es naheliegend die Determinantenformel für das Parallelogramm zu verwenden. Es funktioniert auch, ist aber hier nicht die schnellste Lösung.

Ich habe dir schon einmal verklickert, dass du manchmal auch die normalen Flächenformeln im Koordinatensystem verwenden kannst, um Abhängigkeitsaufgaben zu lösen. Dazu müssen die Strecken aber parallel zu den Achsen sein. Das ist hier der Fall.

Die Flächenformel für das Parallelogramm ist: A = g • h

Die Grundseite hast Du schon berechnet bzw. Du kannst sie der Angabe aus A 1.3 entnehmen:

=(-0,15x²+0,9x+4,85)LE

Die Höhe h ist das Lot von C_n auf die Strecke [A _nB_n]. Betätige den Schieberegler und überlege, wie lang wohl dieses Lot ist. Das Lot ist parallel zur x-Achse! Wie hast Du C_n gefunden?

Nr. 4

weiter A 1.3

Da die Punkte A und B übereinander liegen, kennst du die x-Koordinate des Vektors schon. Sie ist gleich 0. Den Betrag der y-Koordinate des Vektors bekommst du, wenn du von der y-Koordinate des Punktes A₁ die y-Koordinate des Punktes B₁ subtrahierst.

Es gilt: y_oben - y_unten

Extremwertbestimmung mittels Scheitelbestimmung. Du brauchst aber nur den x-Wert des Scheitels der Parabel

y = - 0.15x²+0.9x+4.85

wird maximal für x = 3

Nr. 3

A 1.2

"dieselbe Abszisse x" heißt, die Punkte A_n und B_n liegen übereinander. Sie haben den gleichen x-Wert. Um die Parallelogramme zu zeichnen ist, es eigentlich nicht notwendig die Koordinaten der Eckpunkte zu berechnen. Das kostet dich nur Zeit. Du markierst auf der Parabel p den Punkt A₁ mit dem x-Wert x = -1. Auf der Geraden g markierst Du den Punkt B₁ ebenfalls mit dem x-Wert x = -1.

Den Vektor zählst Du jeweils von den Punkten A₁ und B₁ ab. 5 LE nach rechts und 2 LE nach oben. Du erhältst die Punkte A₁ und D₁.

Das 2. Parallelogramm zeichnest du genauso. Mit den entsprechenden Einstellungen am Schieberegler kannst du dir die beiden Parallelogramme links im Applet anschauen.

A 1.3

Du bist es gewöhnt die Länge einer Strecke über den zugehörigen Vektor zu bestimmen. Natürlich geht das hier auch, kostet aber unnötig Zeit.

Nr. 2

x	y
-2	5,65
-1	6,4
0	6,65
1	7
2	6,65
3	6,4
4	5,65
5	4,6
6	3,25
7	1,6
8	-0,35
9	-2,6
10	-5,15

Um die Gerade zeichnen zu können, brauchst Du 2 Punkte, einmal den y-Achsenabschnitt (0 / 2) und dann musst Du noch irgendeinen Wert in die Geradengleichung einsetzen z.B. x = 5 =>

=> (5 / -1)

Nr. 8

weiter A 1.6

Die Länge in Abhängigkeit von x hast du in A 1.3 schon ausgerechnet oder du nimmst die dort angegebene Lösung. Und die Länge kannst du aus dem Vektor berechnen.

- 0,15x² + 0,9x - 0,54 = 0

a = - 0,15; b = 0,9; c = - 0,54

x₁ = 0,68 und x₂ = 5,32

A 2.0

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche eine Raute mit den Diagonalenlängen

= 13 cm und

= 10 cm ist. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M der Grundfläche mit

= 6 cm.

A 2.1

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll.

Für die Zeichnung gilt:

2 P

A 2.2

Berechnen Sie das Maß des Winkels SCA, die Länge der Strecke [CS] und das Volumen V der Pyramide ABCDS auf eine Stelle nach dem Komma gerundet.

[Ergebnisse:

= 42,7°;

= 8,8 cm; V = 130 cm³]

3 P

A 2.3

Verlängert man die Kante [CS] über S hinaus um 2x cm, so erhält man Punkte P_n. Verkürzt man gleichzeitig die Diagonale [BD] der Grundfläche von beiden Eckpunkten aus jeweils um x cm, so erhält man Punkte Q_n und R_n, wobei gilt:

= x cm mit x < 5 und x ⁺.

Die Punkte A, Q_n, C und R_n sind die Eckpunkte der Grundflächen von Pyramiden AQ_nCR_nP_n mit den Spitzen P_n.

Zeichnen Sie die Pyramide AQ₁CR₁P₁ für x = 2 und die zugehörige Höhe [F₁P₁] mit dem Höhenfußpunkt F₁ auf der Diagonalen [AC] in das Schrägbild zu 2.1 ein.

2 P

A 2.4

Zeigen Sie, dass sich das Volumen V der Pyramiden AQ_nCR_nP_n in Abhängigkeit von x wie folgt darstellen lässt:

[Teilergebnis: (x) = (1,4x + 6,0) cm]

3 P

A 2.5

Begründen Sie durch Rechnung, dass es unter den Pyramiden AQ_nCR_nP_n keine Pyramide gibt, deren Volumen um 10% größer als das Volumen der Pyramide ABCDS ist.

3 P

A 2.6

Der Winkel AP₂C an der Spitze der Pyramide AQ₂CR₂P₂ hat das Maß
=60°. Berechnen Sie die Länge der Strecke [CP₂] und den zugehörigen Wert für x.

4 P

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Nr. 1

A 2.1

Falls du mit Schrägbildern Probleme hast, dann wiederhole meine Lerneinheit Raumspaziergang - Grundlagen der Raumgeometrie. Deine Schwierigkeiten kann ich nicht mit einer Einblendung im Rand beheben. Wenn du an Zauberei glaubst, dann suche dir einen Zauberer. Ich glaube an ehrliche Arbeit.

A 2.2

Blende das notwendige Stützdreieck MCS ein. Im rechtwinkligen Dreieck MCS gilt:

mit 3 Lösungsmöglichkeiten

Nr. 6

weiter A 2.5

V_max = 130,76 cm³

V_ABCDS = 130 cm³

+10% = 143 cm³

=> Es gibt keine Pyramide, deren Volumen um 10% größer ist als das Volumen der Pyramide ABCDS.

Ein anderer Lösungsweg wäre, wenn du in die Volumenformel von 2.4 die 143 cm³ einsetzen würdest.

Du musst zeigen, dass diese quadratische Gleichung keine Lösung hat. Die Bedinung dafür ist, dass die Diskriminante b² - 4ac negativ ist.

a = -6.1; b = 4.3; c = -13

Nr. 7

A 2.6

Auch hier gibt dir der Aufgabensteller einen ganz klaren Hinweis auf den Rechenweg. Erfordert dich als erstes auf die Länge der Strecke [CP₂] zu bestimmen.

Im Dreieck ACP_n kennst du damit:

= 13 cm

= 60°

CAP₂= 180°- (+)

CAP₂= 180°- 102,7°

CAP₂= 77.3°

Hörst du den Sinussatz rufen? "Nimm mich!"

Nr. 5

weiter A 2.4

A 2.5

Du musst das maximale Volumen der Pyramiden AQ_nCR_nP_n berechen.

Den Extremwert des Terms bestimmst du hoffentlich nicht mehr mit Quadratischer Ergänzung.

Entweder berechnest du den Scheitel der Parabel oder du bestimmst den Extremwert mit deinem Casio-GTR.

a = -6.1; b = 4.3; c = 130

Nr. 4

weiter A 2.4

Was meine ich mit " Vertraue deinem Ergebnis!"? Je nachdem an welcher Stelle der Berechnung du rundest, kann dein Ergebnis von der angegeben Lösung etwas abweichen. Keine Lehrkraft wird dir dafür Punkte abziehen. Es wäre völlig unangemessen. Sie würde dafür in der Hölle schmoren. Du überprüfst deinen Rechenweg und deine Berechnung. Wenn du keinen fehler findest, lasse es so stehen.

Versuche nicht zu tricksen und schreibe die angegebene Lösung hin. Das würde mit Sicherheit zu einem Punktabzug führen.

Aber!!!! Rechne bitte immer mit der angebenen Lösung weiter.

Machen wir weiter. Die Höhe der Pyramide in Abhängigkeit von x hast du jetzt. Was fehlt ist die Grundfläche in Abhängigkeit von x. Es gilt.

e = 13 cm und f = (10 - 2x) cm

Nr. 3

A 2.4

Das angebene Teilergebnis ist ein Lösungshinweis für dich. Er besagt: " Bitte berechne zuerst in Abhängigkeit von x.

Zwei Parallelen in einem Dreieck sollten dich immer an 2 Werkzeuge für die Abschlussprüfung erinnern. Sie sind gleichwertig. Entweder verwendest du den Vierstreckensatz (=Strahlensatz) oder du arbeitest mit Seitenverhältnissen in ähnlichen Dreiecken.

Die Dreiecke MCS und F_nCP_n sind ähnlich. Deshalb gilt:

Vertraue deinem Ergebnis!

Nr. 2

weiter A 2.2

A 2.3

Hier gilt es den Aufgabentext zu verstehen und in eine Zeichnung umzusetzen. Hier gibt es keine Tipps und Tricks, die ich dir vermitteln kann. Nur einen Wunsch habe ich: Bleibe cool! Lese den Text geduldig und vergleiche deine Zeichnung mit dem Text.

Bevor du meine Zeichnung einschaltest, versuche es doch bitte wirklich selber. Es wäre unsäglich dumm, dich selbst zu bescheißen.

Wenn du meine Pyramiden AQ_nCR_nP_n eingeschaltet hast, dann ziehe den roten Punkt Rn mit der Maus auf der Strecke [MD] hin und her und schaue dir die Veränderungen der Pyramide an.

Nr. 8

weiter A 2.6