Abschlussprüfung 2006 - Mathematik II

Abschlussprüfung 2006 - Mathematik II
Wahlteil - Bayerische Realschule - Aufgaben B1, B2

Grüß dich Gott! Und weiter geht's!

B 1.0

Die Parabel p hat eine Gleichung y = ax² + bx +1,5 mit

,
a

\{0} und b

; Die Parabel p verläuft durch die Punkte
A(-5 / 6)und B(5 / 2).

B 1.1

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und b, dass die Parabel p die Gleichung y = 0,1x² - 0,4x + 1,5 hat.

Erstellen Sie für die Parabel p eine Wertetabelle für x[-5; 5] in Schritten von = 1 und zeichnen Sie sodann die Parabel p in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

4 P

B 1.2

Die Gerade g verläuft durch den Punkt T(-2 / 1). Die x-Achse schließt mit der Geraden g den Winkel mit dem Maß = 143,13° ein.

Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden g und zeichnen Sie die Gerade g in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis: g: y = -0,75x - 0,50]

3 P

B 1.3

Punkte Q_n(x / -0,75x - 0,50) auf der Geraden g und
Punkte R_n(x / 0,1x - 0,4x + 1,5) auf der Parabel p haben dieselbe Abszisse x. Sie sind zusammen mit Punkten P_n auf der Geraden g Eckpunkte von Dreiecken P_nQ_nR_n mit x_P < x_Q. Es gilt: = 2,5 LE.

Zeichnen Sie die Dreiecke P₁Q₁R₁ für x = –3 und P₂Q₂R₂ für x = 1,5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

B 1.4

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Länge der Seiten [Q_nR_n] in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Q_n wie folgt darstellen lässt:

1 P

B 1.5

Unter den Dreiecken P_nQ_nR_n gibt es zwei gleichschenklige Dreiecke P₃Q₃R₃ und P₄Q₄R₄ mit der Basis [P₃R₃] bzw. [P₄R₄].

Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die
x-Koordinaten der Punkte Q₃ und Q₄.

3 P

B 1.6	Berechnen Sie den kleinstmöglichen Flächeninhalt A_min der Dreiecke P_nQ_nR_n.	4 P

	Klicke unten auf 1,2, usw. um die Lösungen einzublenden.

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Nr. 1

B 1.1

y = ax² + bx +1,5

Du setzt die Punkte A und B in die Parabelgleichung ein und erhältst ein lineares Gleichungssystem.

Du kannst das lineare Gleichungssystem aber auch mit deinem Casio-GTR lösen.

Nr. 6

B 1.5

Lösung mit Casio-GTR:

EQUA-F2-F1-F1

Nr. 5

B 1.4

Normalerweise bestimmst du Streckenlängen im Koordinatensystem indem du den Vektor zwischen den beiden Punkten berechnest und daraus mit dem Pythagoras die Streckenlänge. Bei Strecken, die parallel zu den Koordinatenachsen liegen geht es aber einfacher.

Punkte haben gleiche Abszisse => sie liegen übereinander

=> y_oben - y_unten

Punkte haben gleiche Ordinate => sie liegen nebeneinander

=> x_rechts - x_links

Nr. 4

weiter B 1.1

x	y
- 5	6
- 4	4,7
-3	3,6
-2	2,7
-1	2
0	1,5
1	1,2
2	1,1
3	1,2
4	1,5
5	2

B 1.2

B 1.3

"dieselbe Abszisse" heißt, dass sie denselben x-Wert haben. Sie liegen übereinander. Du kannst den roten Punkt Q_n mit der Maus ziehen.

Nr. 3

weiter B 1.1

25a - 5b = 4,5
25a + 5b= 0,5

a	b	c
25	-5	4,5
25	5	0,5

Du bestätigst jede Eingabe mit EXE. Mit DEL kannst du alles löschen. Um das Gleichungssystem zu lösen wählst du F1 SOLV.

Lösungsweg (muss!):
EQUA-F1-F1-F1

a = 0,1 und b = - 0,4

Nr. 2

weiter B 1.1

Du gehst ins EQUA-Menü und wählst dort mit F1 den Menüpunkt Simultaneous.

Im nächsten Display wirst du nach der Zahl der Variablen gefragt. Mit F1 gibst du die Zahl 2 an. Damit bist du im Eingabefenster.

Die erste Zeile zeigt dir, welche Form deine Gleichungen haben müssen.

6 = 25a-5b+1,5 | -1.5
2 = 25a+5b+1,5 |-1,5

25a - 5b = 4,5
25a + 5b= 0,5

Nr. 7

B 1.6

Zunächst musst du den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x bestimmen. Wenn du die Flächenformeln abklopfst, ob sie geeignet sind, dann bleibt nur die Sinus-Flächenformel.

R_nQ_nP_n = 143,13° - 90°

R_nQ_nP_n = 53,13°

oder GRAPH-F6-F5-F2

B 2.0

B 2.1

B 2.2

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCS, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Dreieckshöhe ist. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Punkt A der Grundfläche mit . Der Winkel ASM hat das Maß j .

Zeigen Sie durch Rechnung, dass gilt: und .
2 P

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der Schrägbildachse liegen soll. 2 P

Für die Zeichnung gilt:

;

B 2.3

Auf der Strecke liegt der Punkt Q mit . Punkte P_n liegen auf der Seitenkante und bilden zusammen mit den Punkten Q und S Dreiecke P_nQS.

Unter den Dreiecken P_nQS gibt es ein rechtwinkliges Dreieck P₁QS mit der Hypotenuse .

Zeichnen Sie das Dreieck P₁QS in das Schrägbild zu 2.2 ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis:

]

4 P

B 2.4

Das Dreieck P₂QS ist gleichschenklig mit der Seite [QS] als Basis.

Zeichnen Sie das Dreieck P₂QS in das Schrägbild zu 2.2 ein und berechnen Sie sodann auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die Länge des Schenkels

3 P

B 2.5

Für den Punkt P₃ hat der Winkel P₃MA das Maß 20°.

Zeichnen Sie das Dreieck BCP₃ in das Schrägbild zu 2.2 ein und zeigen Sie sodann dass der Flächeninhalt 29,48 cm² beträgt. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

3 P

B 2.6

Das Dreieck BCP₃ ist die Grundfläche der Pyramide BCP₃Q mit der Spitze Q.

Zeichnen Sie die Pyramide BCP₃Q und die zugehörige Höhe [FQ] mit dem Höhenfußpunkt F auf der Strecke [P₃M] in das Schrägbild zu 2.2 ein.

Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide BCP₃Q

3 P

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Nr. 1

Wenn du diese Aufgabe auf Papier löst, musst du besonders sorgfältig zeichnen und beschriften, sonst kennst du dich spätestens nach Teilaufgabe 2.4 nur noch schwer in deiner Zeichnung aus.

B 2.1

In deiner Formelsammlung findest du eine Formel für die Höhe im gleichseitigen Dreieck.

Du kannst natürlich auch im rechtwinkligen Dreieck ABM den Pythagoras ansetzen.

Nr. 6

weiter B 2.5

B 2.6

B 2.6 kannst du nur einschalten, wenn auch B 2.5 eingeschaltet ist.

Ich nehme mal an, dass dir das Einzeichnen der Pyramide BCP₃Q keine Schwierigkeiten macht. Auch das Einzeichnen der Höhe [FQ] ist einfach. Die Volumenformel für die Pyramide findest du in der Formelsammlung. Die Grundfläche hast du gerade ausgerechnet oder du kannst sie der Aufgabenstellung von B 2.5 entnehmen. Wo liegt hier die Schwierigkeit? Du musst berechnen.

Also mach dich auf die Suche nach einem geeignetem Dreieck.

Wie immer suchst du zuerst nach einem rechtwinkligen Dreieck. Und richtig suchen musst du eigentlich gar nicht. Das Dreieck FMQ springt dir direkt ins Gesicht.

Nr. 7

weiter B 2.6

Mit = 6 cm kennst du die Hypotenuse in diesem rechtwinkligen Dreieck. Das ist doch sehr vielversprechend. Jetzt brauchst du nur noch einen Winkel. Das ist die eigentliche Schwierigkeit in dieser Aufgabe. Doch es ist nur eine klitzekleine Schwierigkeit, die darin liegt, dass du den Wald vor lauter Bäumen nicht siehst.

Du kannst den Winkel
QMP₃berechnen:

Nr. 4

weiter B 2.3

In ähnlichen Dreiecken gilt: Die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten sind gleich.

Demnach gilt:

B 2.4

Blende die Zeichnung zur vorherigen Teilaufgabe aus und zu dieser Teilaufgabe ein.

Im gleichschenkligen Dreieck P₂QS schneidet die Mittelsenkrechte der Strecke [QS] die Strecke [AS] im Punkt P₂.

Auch hier gibt es natürlich mehrere Lösungsmöglichkeiten. Ich zeige dir die Lösung, die dir am einsichtigsten ist.

Nr. 3

B 2.3

Schalte bitte das Dreieck P₁QS ein (Schalter für diese Teilaufgabe).

Um den Punkt P₁ zu finden, fällst du das Lot vom Punkt Q auf die Strecke [AS]. Damit ist die Strecke [QP₁] parallel zu Strecke [AM].

Um diese Teilaufgabe zu lösen fallen mir auf Anhieb 2 verschiedene Lösungsansätze ein:

Vierstreckensatz
Ähnlichkeit von Dreiecken

Ich zeige dir davon die Möglichkeit

mit der Ähnlichkeit von Dreiecken:

=12,17 - 6 = 6,17 cm

Nr. 2

weiter B 2.1

Schalte bitte das Stützdreieck zur Berechnung von ein.

Schalte das Stützdreieck bitte wieder aus bevor du weiter arbeitest.

B 2.2

Die Punkte A und M liegen auf der Schrägbildachse und sind daher Fixpunkte. d.h. sie verändern ihre Lage nicht. Die Strecke [BC] steht senkrecht zur Schrägbildachse und wird daher unter dem Verzerrungswinkel w = 45° abgebildet. Die Streckenlänge verkürzt sich um das Verkürzungsverhältnis q = 0,5. Die Pyramidenhöhe [AS] steht auf der Zeichenebene senkrecht und wird daher in wahrer Größe dargestellt.

Wenn du Schwierigkeiten beim Zeichnen des Schrägbildes hast, wiederhole bitte meine Lerneinheit Raumspaziergang - Einführung in die Raumgeometrie.

Nr. 5

weiter B 2.4

Mit kannst du im rechtwinkligen Dreieck SP₂M₁ den Kosinus ansetzen:

B 2.5

Aus- und einblenden bitte!

Du trägst im Punkt M an die Strecke [AM] den Winkel 20° an. Der freie Schenkel schneidet [AS] im Punkt P₃.

Um den Flächeninhalt des roten Dreiecks BCP₃ zu berechnen, brauchst du die Höhe . Du berechnest mit der Winkelfunktion Kosinus im rechtwinkligen Dreieck AMP₃: