Abschlussprüfung 2006 - Mathematik II

Abschlussprüfung 2006 - Mathematik II
Nachtermin - Bayerische Realschule - Aufgaben P1, P2, P3

Ich begrüße dich zu den Aufgaben vom Nachtermin 2006. Wer die Abschlussprüfung entschuldigt versäumt, bekommt im September einen Nachtermin. Die Lehrkraft hat hier aber nur die Möglichkeit aus den 3 Pflichtaufgaben eine auszuwählen. Im "Wahlteil" hat er keine Wahlmöglichkeit mehr, da es hier nur zwei Aufgaben gibt.

P 1.0

Der Punkt

liegt auf dem Graphen zur Funktion f mit der Gleichung

mit

; k

\{0}

P 1.1

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f die Gleichung hat.

1 P

P 1.2

Ergänzen Sie die Wertetabelle auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. Zeichnen Sie sodann den zugehörigen Graphen zu f in das Koordinatensystem.

-3

-2

-1

0,83

1,25

2,5

n.d.

-2,5

-1,25

-0,83

-0,63

2 P

Werte einblenden hier...

P 1.3

Geben Sie die Gleichung einer Geraden g an, die mit dem Graphen zu f nur den Punkt A gemeinsam hat.

1 P

P 1.4

Welche der drei angegebenen Geraden hat mit dem Graphen zu f keinen Punkt gemeinsam? Kreuzen Sie die richtige Lösung an.

g₁: y = 2x + 2	g₂: y = -2x + 2	g₃: y = -x

Kontrolliere deine Lösungen unten im Arbeitsblatt.

1 P

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P 2.0

Gegeben sind die Eckpunkte A(-3 /1), B(5 / -3) und C(6 / 4) des Dreiecks ABC und sein Umkreis k(M(2 / 1); r = 5 LE).

P 2.1

Zeichnen Sie das Dreieck ABC, den Punkt M und den Umkreis k in das Koordinatensystem ein.

1 P

P 2.2

Berechnen Sie das Maß des Winkels CMA auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Ergebnis:

= 143,13°]

3 P

P 2.3

Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Figur, die von dem Kreisbogen und den Strecken [AB] und [BC] begrenzt wird. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

5 P

Nr. 1

P 2.2

Im Dreieck AMC kennst du die 3 Seitenlängen und du sollst einen Winkel berechnen. Welches Werkzeug schreit sich hier heiser vor lauter Begierde?

Nr. 3

weiter P 2.3

Nr. 2

weiter P 2.2

P 2.3

Die Figur setzt sich aus dem blauen Dreieck und einem Kreissegment zusammen. Den Flächeninhalt des Kreissegments kannst du berechnen, wenn du vom Flächenhalt des zugehörigen Kreissektors den Flächeninhalt des Dreiecks AMC subtrahierst. Alles klar?

Nr. 4

weiter P 2.3

P 3

Nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Figur um ihre Symmetrieachse AM rotiert. Die Mantellinien [AB] und [CD] sind parallel.

Es gilt:

= 26,0 cm; = 11,0 cm und

= 10,6 cm

Berechnen Sie den Oberflächeninhalt A des Rotationskörpers. (Auf eine Stelle nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis: = 25,1 cm] 5 P

Lösung einblenden hier...

P 3

Überlege wie sich die Oberfläche zusammensetzt. Du hast zweimal die Mantelfläche eines Kegels und einen Kreisring. Also besorgst du dir erst einmal aus der Formelsammlung die Formel für den Kegelmantel.

wobei r der Radius der Grundfläche und s die Mantellinie ist.

Für die äußere Mantelfläche gilt:

= 11,0 cm => r = 5,5 cm und s = = 26,0 cm

Für die innere Mantelfläche gilt:

= 10,6 cm => r = 5,3 cm

Was du noch berechnen musst ist die Mantellinie s = .

Dies bewerkstelligst du mit der Ähnlichkeit von Dreiecken:

Ich kann es gar nicht oft genug wiederholen, denn steter Tropfen füllt das Hirn oder so ähnlich, in ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse sich entsprechnder Seiten gleich. Also gilt:

Für den Kreisring gilt:

Natürlich gibt es für den Kreisring auch eine Formel in der Formelsammlung. Aber die will ich nicht benutzen. Es geht nämlich genauso gut mit Kreisinhalt _außen - Kreisinhalt _innen.

Für den Oberflächeninhalt des Rotationskörpers gilt:

Je nachdem an welchen Stellen du gerundet hast, kann deine Lösung etwas von meiner abweichen.

Es gibt natürlich noch andere Modellvorstellungen um den Oberflächeninhalt des Rotationskörpers zu berechnen, z.B. könntest du die Gesamtoberflächen von beiden Kegeln addieren und davon die Grundfläche des inneren Kegels subtrahieren.