Abbildungen I - Vermischte Übungen

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Abbildungen I - Vermischte Übungen

Servus du! Machen wir noch ein paar Übungen zusammen. Danach hast du erst einmal Ruhe mit der Algebraisierung der Abbildungen. Doch im zweiten Halbjahr geht es noch einmal ordentlich zur Sache.

Aufgabe 1:

Die Eckpunkte A_n der Dreiecke A_nBC liegen auf der Parabel p mit y = -2x²+2.

Es gilt weiterhin: B(4/-2); C(3/3)

a) Zeichne die Parabel p und das Dreieck A₁BC für x = 1 in ein Koordinatensystem.

b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks A₁BC.

c) Stelle den Flächeninhalt der Dreiecke A_nBC in Abhängigkeit von x dar.

[Ergebnis: A(x) = (x²-2,5x + 8) FE]

d) Bestimme den Wert für x, für den man ein Dreieck A₂BC mit minimaler Fläche erhält, bestimme das Minimum, und zeichne das Dreieck A₂BC in das Koordinatensystem ein.

e) Die Dreiecke A_nBC werden durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsfaktor k = -1,5 auf die Dreiecke A'_nB'C' abgebildet. Berechne die Koordinaten des Bilddreiecks.

f) Ermittle die Gleichung des Trägergraphen der Punkte A'_n.

g) Überprüfe rechnerisch, ob das Dreieck A'₂B'C'für den gleichen Wert von x wie in Aufgabe d) das Dreieck mit minimaler Fläche ist. Zeige an diesem Beispiel die Gültigkeit der Formel A' = |k|*A.

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Nr. 1

Du kannst den roten Punkt A_n auf der Parabel mit der Maus ziehen.

Zur Berechnung von A₁ setzt du x = 1 in die Parabelgleichung ein.

y = -2x² + 2 | x=1 eingesetzt

y = -2 + 2 = 0 => A₁(1/0)

Das Dreieck A₁BC wird von den Vektoren aufgespannt.

Warum ausgerechnet diese beiden Seiten ausgewählt habe? Diese Aufgabe sollst du lösen, weil sie auch ein Lösungsmodell für die nächste Teilaufgabe ist. Dort sollst du ja den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x darstellen. Wenn du nun zwei Seiten (Vektoren) auswählst, die beide von x abhängig sind, machst du es dir sehr schwer.

Nr. 6

Zunächst musst erst einmal den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x darstellen.
Welcher Vektor bildet diesmal die erste Spalte der Determinante?

Nr. 5

weiter e)

=>
p': y = 3x² - 3

Nr. 4

weiter d)

mit Scheitelbestimmung:

mit Casi0-GTR.

GRAPH-F6-F5-F3

Abbildungsgleichungen:

x' = x

y' = k*y

Nr. 3

weiter c)

Hier stehen dir 3 Lösungswege zur Verfügung. Entweder bestimmst du den Scheitel des quadratischen Terms, oder du arbeitest mit quadratischer Ergänzung, oder du nimmst deinen Casio-GTR.

Nr. 2

weiter b)

Den Lösungsweg kennst du ja jetzt schon.

Nr. 7

weiter g)

Ich bestimme den Extremwert wieder durch eine Scheitelberechnung, d.h. den Extremwert selbst brauchst du hier nicht auszurechnen, sondern nur den zugehörigen x-Wert.

Der Extremwert liegt auch hier bei x = 1,25.

Als letztes sollst du zeigen, dass bei der orthogonalen Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse anscheinend auch die Formel A' = |k|*A gilt.

Damit hast du es gezeigt.

Aufgabe 2:

Die Gerade g mit der Gleichung y = - x ist die Winkelhalbierende des Winkels ACB des Dreiecks ABC.

Es gilt: A(-3/1); B(3/2)

a) Zeichne die Punkte A und B sowie die Winkelhalbierende in ein Koordinatensystem und ermittle den Punkt C zeichnerisch.

b) Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C.

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Nr. 1

Alle Punkte der Strecke [AC] werden an der Winkelhalbierenden g auf die Strecke [BC] gespiegelt, auch der Punkt A.

Klicke im Arbeitsblatt auf "Abspielen" und schaue dir die zeichnerische Ermittlung des Punktes C an.

Die zeichnerische Lösung gibt wie nahezu immer den rechnerischen Lösungsweg vor. Du hast den Punkt C als Schnittpunkt der Geraden g mit der Geraden A'B gefunden. Du musst demnach die Geradengleichnung von A'B aufstellen. Dazu brauchst du die Koordinaten von A'.

Abbildungsgleichungen:

x' = - y

y' = - x

A(-3/1) => A'(-1/3)

Nr. 2

weiter b)

Aufgabe 3:

Das Rechteck ABCD wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsfaktor k so abgebildet, dass die Bildfigur A'B'C'D' ein Quadrat wird.

Es gilt: A(-3/0); B(2/0); C(2/4); D(-3/4); k > 0

a) Zeichne das Rechteck ABCD und ermittlere zeichnerisch die Bildfigur.

b) Berechne den Affinitätsfaktor k und die Koordinaten der Bildpunkte.

Das Rechteck ABCD hat die Seitenlängen 5 LE und 4 LE. Das Quadrat hat die Seitenlänge 5 LE. Dies lässt sich aus den Koordinaten berechnen. Du musst die Strecken [BC] und [AD] durch orthogonale Affinität abbilden, wobei die Punkte A und B Fixpunkte sind. Beide Strecken stehen auf der x-Achse senkrecht.

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Abbildungen II folgt am Ende des Schuljahrs!