Bevor du mit dem Arbeitsblatt anfängst zu spielen, lass mich erst erklären, was du alles einstellen kannst.

Voreingestellt ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die mit dem Vektor aus dem Ursprung verschoben worden ist. Diese Parabel hat damit den Scheitel S(0,5 / 5).

Mit dem blauen Schieberegler kannst du den Grad der Parabel verändern. Mit dem grünen Schieberegler änderst du den Öffnungsfaktor der Parabel. Und mit den beiden roten Schiebereglern legst du den Scheitel der Parabel fest.

Außerdem wird dir die Parabelgleichung in Scheitelform angezeigt.

So und jetzt geht's auf "Los!" los.

Schiebe den Scheitel S in den Ursprung. Wähle als Öffnungsfaktor 1. Dann wähle den Grad n der Reihe nach, also n=3, 4, 5, 6 bis 9. Also nur positive n. (Bei negativem n bekommst du Hyperbeln!) Was siehst du? Wie unterscheiden sich die Parabeln bei geradem n und ungeradem n? Wenn bei geradem n der Parabelgrad zunimmt, wie ändert sich die Form der Parabeln? Wie ist das bei ungeradem n?

n ist ungerade und negativ
(Fortsetzung)

Halten wir fest: Asymptoten sind Schmiegegeraden. Der Graph der Hyperbel schmiegt sich an die Asymptoten an. Der Schnittpunkt der Asymptoten ist S.

Was ändert sich, wenn du für n -3, -5 usw. wählst?

Grundsätzlich ändert sich nichts. Der Graph wird etwas "eckiger". Das kommt dir bekannt vor? Ja du hast recht, es ist wie bei der Parabel.

Wie steht es eigentlich mit der Symmetrie?

Der Graph ist punktsymmetrisch zu S.

n ist gerade und negativ

Ich schlage vor, du stellst n auf -2, a=1 und S auf S(0/0).

Was ändert sich?

Beide Hyperläste gehen nach oben, weil a positiv ist. Die Gerade j ist Asymptote (Schmiegegerade) und die Gerade i ist Symmetrieachse.

Ich schlage vor, du spielst jetzt mit dem Arbeitsblatt und zwar bei vollem und wachem Bewußtsein. Mache dir Beispiele bis du es "begriffen" hast.

n ist ungerade und negativ
(Fortsetzung)

Du fragst, warum ich bei negativem n, bei negativer Hochzahl, mit ungeraden n anfange? Du müsstest es eigentlich wissen, deswegen.

Also wenn du Hyperbeln nicht kennst, dann schaue dir den Graphen an. Wie bei den Parabeln gibt es zwei Äste. Wie bei den Parabeln gibt es bei ungeradem n einen Hyperbelast nach unten, und einen nach oben. Who is who, das hängt vom Faktor a ab. Probiere es aus. Verschiebe auch den Punkt S und sinne über der Gleichung.

Do you know at Silvester "Dinner for One"? Do you know the speech "The same procedure as every year"? Believe it! It is the same procedure as at the parabel.

Bei den Hyperbeln haben die beiden Geraden j und i eine besondere Bedeutung. Doch auch bei negativen Hochzahlen n müssen wir zwischen ungeraden und geraden Zahlen n unterscheiden. Bei dir und bei mir gilt immer noch n=1, n ist also ungerade. Und was machen die beiden Geraden j und i? Sie schmiegen sich an den Graphen an, liebkosen ihn. Sie sind wahrliche Schmiegegeraden. Mathematiker nennen Schmiegegeraden "Asymptoten".

n ist ungerade und positiv
(Fortsetzung)

Ich darf dich beruhigen. grundsätzlich müsstest du jedwede (ich liebe alte Worte) S-Punktform einer Potenzfunktion in die Normalform umwandeln können. Doch schon bei der S-Punktform einer geraden Parabel 6. Grades wäre der Rechenaufwand enorm. Kein mensch verlangt es von dir. Und schon gar nicht die Rückverwandlung in die S-Punktform.

Obwohl mit dem graphischen Taschenrechner wäre die Bestimmung des Punktes S sehr leicht und damit könntest du auch die S-Punktform aufstellen. Den Öffnungsfaktor k liest bei der höchsten Potenz von x ab. Alles klar? Leider verlangt niemand das von dir, ich darf es nicht.

Wechseln wir zu negativen Hochzahlen n und landen damit bei den Hyperbeln.

n ist ungerade und negativ

Stelle S auf den Ursprung, n=-1 und k=1. Damit erhältst du die Hyperbel-Gleichung

Den Graphen dieser Hyperbel solltest du schon kennen.

n ist ungerade und positiv
(Fortsetzung)

Wir müssen uns noch über die Symmetrie unterhalten. Bei ungeradem n gibt es keine Achsensymmetrie. Gibt es überhaupt eine Symmetrie?

Ja, es gibt eine Punktsymmetrie zum Punkt S.

Wenn der Grad der ungeraden Parabel steigt, dann wird auch sie "eckiger". In ihrem Wendebereich schmiegt sie sich immer mehr der Geraden j an. Ach, was rede ich probiere es aus.

Bevor ich zu den Hyperbeln komme, lass mich noch etwas waffeln. Bei den Potenzfunktionen, die wir hier besprechen, gibt es für dich nur die S-Punktform der zugehörigen Gleichung. Diese lässt sich zwar in eine Normalform umwandeln, aber nicht umgekehrt, jedenfalls für dich nicht. Lass mich ein kleines Beispiel geben.

Mittels der 2. Binomischen Formel solltest du den Term ausrechnen können. Hier das Ergebnis:

n ist ungerade und positiv
(Fortsetzung)

Weißt du was, wir beide haben jetzt ein sprachliches Problem. Bei ungeradem n (positivem n) wandelt sich der Scheitelpunkt S zu einem Wendepunkt S. An der Gleichung der Parabel ändert sich aber grundsätzlich nichts. Sie schaut aus wie eine Scheitelpunktsform, nur die Hochzahl ist ungerade. Wir brauchen einen neuen Begriff für die Scheitelpunktsform. Den Begriff "Wendepunktsform" gibt es nicht.

Bei negativem n ändert sich an der "Scheitelpunktsform" der Potenzfunktion (wäre hier eine Hyperbel) auch nichts. Nur die Hochzahl wäre negativ.

Ich schlage vor, wir beide schließen ein sprachliches Abkommen. Wir sprechen in Zukunft von der S-Punktsform der Potenzfunktion und erinnern uns, dass dies bei Parabeln geraden Grades die Scheitelpunktsform meint.

Ich muss gestehen, im Lehrplan für dich gibt es den Begriff S-Punktform für die Gleichung einer Potenzfunktion nicht. Da gibt es überhaupt keinen Begriff. Zum Begreifen braucht man aber Begriffe, also lassen wir es bei S-Punktform.

Mit diesem Begriff kannst du zukünftig jedwede Potenzfunktion parallel verschieben, wie letztes Jahr.

n ist ungerade und positiv

Weißt du was das Schöne bei ungeradem n ist? Du brachst dir keinen Gedanken mehr über die Wertemenge machen. Ein Parabelast geht nach unten und einer geht nach oben. Es kommen alle y-Werte vor, d.h. bei ungeradem n (positivem n) ist = .

Vom Öffnungsfaktor a kann mir hier eigentlich nicht mehr reden, aber ich mache es trotzdem, weil du weißt was ich meine.

Ist der Öffnungsfaktor a positiv, dann geht der linke Parabelast nach unten und der rechte nach oben. Im anderen Fall ist es umgekehrt, wie immer im Leben. Da du einen graphischen Taschrechner dein Eigen nennst, musst du dir das nicht einmal merken. Du kannst es immer nachschauen.

Von einem Scheitelpunkt S kann man hier eigentlich auch nicht mehr sprechen. Im Punkt S scheitelt sich Nichts, hier wendet sich was und zwar die Kurve. Mathematisch gesprochen ändert sich hier die Krümmung des Graphen. Keine Panik.

Dein "Öffnungsfaktor" a sei positiv. Du sitzt unten auf dem linken Parabelast in deinem Auto. Du fährst nach oben. Vor dem Wendepunkt S musst du eine Rechtskurve fahren, hinter S eine Linkskurve.

n ist gerade und positiv

Beide Parabeläste zeigen entweder nach oben, oder beide nach unten. Es hängt vom Öffnungsfaktor a ab. Steigt der Grad der Parabel an, dann wird die Parabel "trogförmiger". Die Rundung schmiegt sich mehr an die Gerade j an. Man könnt auch sagen sie wird "eckiger".

Achte auf die beiden blau gestrichelten Geraden, die parallel zu den Achsen durch den Scheitelpunkt S gehen. Sie spielen bei allen Potenzfunktionen eine große Rolle.

Ist n gerade und der Öffnungsfaktor a positiv, dann findest du die Wertemenge oberhalb der Geraden j. Ist n gerade und der Öffnungsfaktor k negativ, findest du die Wertemenge unterhalb der Geraden j.

Ist n gerade, dann ist die Gerade i Symmetrieachse der Parabel.

Fassen wir zusammen:

Die Parabeln z.B. oder
unterscheiden sich grundsätzlich nicht von den Parabeln oder .

Aufgabe 1

Zeichne mit dem Arbeitsblatt die Graphen zu den Funktionen mit den folgenden Gleichungen. Gib jeweils Definitions- und Wertemenge sowie gegebenfalls die Gleichungen der Asymptoten an.

a)

Lösung hier klicken...

Falls du mit dem Arbeitsblatt gespielt hast, musst den voreingestellten Zustand wieder herstellen. Klicke oben rechts auf die beiden ineinander gedrehten blauen Pfeile.

Auch hier spielt der S-Punkt die entscheidende Rolle und die beiden Parallelen durch den S-Punkt zu den Achsen. Betrachten wir meine voreingestellte Funktion

Was siehst du? Du siehst eine halbe Parabel, doch sie ist um 90° nach rechts gekippt. Der Parabelast liegt oberhalb der Geraden j und rechts von der Geraden i. Damit lassen sich die Definitionsmenge und die Wertemenge bestimmen.

Mit S(0.5/1) gilt:

= und

=

Ändert sich grundsätzlich etwas, wenn du den blauen Schieberegler k auf 0,5, 06, ..., 0,9 stellst? Probiere es aus.

Was passiert wenn dein k>1 ist z.B. k= 1,4?

Der Parabelast richtet sich auf, aber an Definitionsmenge und Wertemenge ändert sich nichts.

Also jetzt nerv nicht. Ich muss es einfach noch einmal zusammenfassen. Steter Tropfen füllt das Fass. Das habe ich falsch zitiert? Ja, er höhlt auch den Stein. Wenn dein Hirn ein Stein ist, nimm diesen Spruch. Ich halte es für ein großes Fass, das ich füllen muss und kann.

Zusammenfassung:

Ist die Hochzahl positiv, erhältst du als Graphen Parabeläste. Ob sie oberhalb oder unterhalb der Geraden j liegen hängt vom Öffnungsfaktor k ab. Wie? Nee, erinnere dich! Falls die Hochzahl positiv und kleiner 1 ist, dann ist der Parabelast nach rechts gekippt.

Nun rate mal, was passiert, wenn die Hochzahl negativ ist. Nein, nein, Ausprobieren gilt nicht. Erst nachdenken und eine Meinung abgeben und dann ausprobieren. Du erinnerst dich noch, dass wir hier die ganzzahligen Hochzahlen ausnehmen?

Zeichne mit dem Arbeitsblatt folgende Potenzfunktion:

Na gut, du hast recht, es war aber auch nicht allzu schwer, du erhältst einen Hyperbelast. Die Geraden i und j sind Asymptoten. Bestimme Definitions- und Wertemenge.

Also wie war das jetzt?

Wir schließen jetzt einmal ganze Hochzahlen aus. Die haben wir nämlich schon oben besprochen. Du kannst es dir natürlich trotzdem links anschauen.

Ist die Hochzahl positiv erhältst du einen Parabelast. Bei positiven Hochzahlen k<1 ist der Parabelast nach rechts gekippt. Bei Hochzahlen k>1 ist der halbe Parabelast nach oben geöffnet.

Jetzt meine Preisfrage: Unter welchen Bedingungen erhältst du einen Parabelast, der unterhalb der Geraden j liegt? Jetzt musst du spielen!

Hast du es herausgefunden? Zeichne mit dem Arbeitsblatt den Graphen folgender Potenzfunktion:

Da k<1 ist, ist der Parabelast immer noch nach rechts gekippt, aber er liegt jetzt unterhalb von der Geraden j. Für die Definitionsmenge und die Wertemenge gelten:

= und

=

Der Graph liegt rechts von der Asymptoten i und oberhalb der Asymptoten j. Asymptote heißt Schmiegegerade. Der Graph schmiegt sich an.

=

=

Welche Bedingung muss gelten, wenn in der Wertemenge das Kleiner-Zeichen gilt? OK, war auch nicht schwer. Wissen muss man es trotzdem. Wie bei den Parabelästen hängt es vom Öffnungsfaktor a ab.

Du erinnerst dich, bei den Parabelästen gab es welche, die nach rechts gekippt waren. Das war immer dann der Fall, wenn die Hochzahl k<1 war.

Was ändert sich bei den Hyperbelästen, wenn der
|k| <1 oder der |k|>1 ist? Probiere es aus. Siehst du es?

Es ist das Schmiegeverhalten! Wenn gilt |k|<1, dann schmiegt sich der Graph viel "schneller" an die Gerade i an. Und wenn gilt |k|>1, dann "liebt" der Graph die Gerade j viel mehr. Beobachte es!

Ok, jetzt weißt du eigentlich alles über Potenzfunktionen. Auf der nächsten Seite musst du dein Wissen zur Lösung von Aufgaben einsetzen. Glaube mir, du kannst es.