Wie spielst du mit dem Arbeitsblatt? Den roten S-Punkt kannst du mit der Maus ziehen. Mit dem grünen Schieberegler kannst du den Öffnungsfaktor der Parabeln bzw. Hyperbeln ändern.

Mit dem blauen Schieberegler erzeugst du ganzahlige, gerade Hochzahlen, d.h. du kannst hier die Hochzahlen -4, -2, 2 und 4 erzeugen. Das reicht völlig aus um einige grundlegende Aussagen über ganzahlige, gerade Potenzfunktionen und ihre Umkehrungen zu machen.

Ich habe die Potenzfunktion

f: y = (x - 0,5)² +1

voreingestellt. Lass uns ein wenig über die Parabel 2. Grades plaudern.

Sie ist nach oben geöffnet. Der Öffnungsfaktor ist a = 1.

Für den S-Punkt gilt:
S(0,5 / 1)

Die Symmetrieachse hat die Gleichung x = 0,5.

Für Definitions- und Wertemenge gilt:

= und =

Spiegeln wir diese Parabel an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten

Kehren wir doch einmal die allgemeine Form einer Potenzfunktion um.

Mit n gilt:

Wir haben ja schon vor langer Zeit vereinbart, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf. Mathematisch gesehen ist diese Vereinbarung unnötig, denn z.B. dein Taschenrechner kann durchaus aus negativen Zahlen Wurzeln ziehen. Mit diesen imaginären Zahlen, so nennt man sie, haben sich die RealschülerInnen früher durchaus beschäftigen müssen. Doch dann hat man sich gesagt: Machen wir es für die SchülerInnen etwas einfacher. Sie verknoten sich ja immer das Gehirn bei diesen Zahlen. So ist diese Vereinbarung zustande gekommen. Welche Folgen hat das für die Umkehrung von Potenzfunktionen?

Es bedeutet, dass dein Taschenrechner mehr kann als du. Wenn du mit deinem Taschenrechner Wurzeln ziehst und in deinem Ergebnis taucht ein i auf, dann existiert für dich diese Wurzel nicht.

Weil du aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen kannst, haben wir auf der letzten Seite festgelegt, dass die Basis bei nicht ganzzahligen Potenzfunktionen, also bei Wurzelfunktionen, immer positiv sein muss.

Die Umkehrung von Parabeln oder Hyperbeln sind aber Wurzelfunktionen. Welche Folgen hat das?

Ich muss noch einmal daran erinnern, dass der Begriff der Umkehrung doppeldeutig ist. Umkehrung bedeutet, ob du nun eine Relation oder eine Funktion hast, dass du die x-Werte und y-Werte vertauscht. Das kannst du immer machen. Also müsstest du die Frage ob eine Funktion umkehrbar ist oder nicht, immer mit ja beantworten können. Dem ist aber nicht so. Denn die Frage: Ist diese Funktion umkehrbar? bedeutet eigentlich, wenn du diese Funktion umkehrst, erhältst du dann wieder eine Funktion?

'tschuldigung, ich bin nicht Schuld an dieser Sprachverwirrung. Aber hätte ich geschwiegen, wärst du nicht verwirrt. Wait a moment, please!

Bist du verwirrt? Genau das wollte ich erreichen.

Als ich 1978 als Lehrer angefangen haben, musste ein bayerischer Realschüler der Wahlfachgruppe I alle diese Überlegungen, die wir hier angestellt haben, selbstständig anstellen können. Und sie haben es gekonnt.

Womit haben wir uns beschäftigt? Mit Potenzfunktionen, deren Hochzahl gerade und positiv ist, und der Öffnungsfaktor ist positiv.

Lassen wir den Öffnungsfaktor positiv und beschäftigen uns mit Potenzfunktionen, deren Hochzahl ebenfalls gerade aber negativ ist, also mit Hyperbeln. Probiere es aus. Auch diese Hyperbeln werden nach rechts gekippt.

Was passiert, wenn du den Öffnungsfaktor k negativ machst?

Weißt du noch, was ich dir auf der letzten Seite zu den den Potenzfunktionen erzählt habe, die nicht ganze Hochzahlen haben?

Nicht ganze Hochzahlen sind gleichbedeutend mit einer Wurzel. Eine Wurzel aus negativen Zahlen kannst du nicht ziehen. Jedenfalls nicht an einer Realschule. Dein Taschenrechner kann es. Er faselt dann aber immer etwas von i. Was das bedeutet?

y = (x - 0,5)² +1

schaut aus wie die Gleichung einer Parabel. Es ist aber nur die Gleichung einer halben Parabel. Woran das liegt.

Wenn du die Umkehrung einer Potenzfunktion bildest, vertauscht du auch Definitions- und Wertemenge.

Welche Definitions- und Wertemenge hat die Potenzfunktion

= und

=

Demnach hat die Umkehrung

y = (x - 0,5)² +1

die Definitions- und Wertemenge:

= und

=

Die Definitionsmenge für die Umkehrung sei aber =.

Nein, die Gleichung schaut nur so aus. Die nächste Plauderei bringt die Aufklärung.

Übrigens so nebenbei, vielleicht weil du nicht mehr weißt, wie man f ^-1 liest: Man liest es f oben -1.

Also nicht f hoch -1!!!!!

Die Umkehrung lässt sich also nicht mit einer Gleichung darstellen, sondern du brauchst zwei Gleichungen.

Du verstehst noch nicht, was ich dir sagen will? Später! Folge einfach meinen Gedankengängen weiter. ich verspreche ich werde alles auflösen. Alles wird gut!

Betrachten wir doch f₂^-1 als ursprüngliche Potenzfunktion und bilden wir ihre "Umkehrung" . Wir erhalten wieder unsere Ausgangsgleichung

y = (x - 0,5)² +1

Das Spiegelbild, die "Umkehrung" ist eine nach rechts geöffnete, nach rechts gekippte Parabel. Und ein Blinder mit Krückstock sieht, dass die orangene Parabel jede menge Punkte hat, die übereinander liegen. Ein Punktepaar würde schon ausreichen um zu sagen, diese Parbel ist nicht der Graph einer Funktion, sondern nur der Graph einer Relation.

So und jetzt kommt die babylonische Sprachverwirrung. Man sagt eine Funktion ist umkehrbar, wenn die Umkehrung wieder eine Funktion ist. Also ist unsere Funktion f nicht umkehrbar, obwohl wir sie nach den Regeln der Jahrgangsstufe 8 regelgerecht "umgekehrt" haben. Wo ist der gedankliche Knackpunkt?

Umkehrung heißt ja die x- und y-Werte vertauschen. Die Gleichung einer Umkehrfunktion sollten wir demnach erhalten, wenn wir in der Funktionsgleichung x und y vertauschen.

Schauen wir uns einmal an, was passiert, wenn wir dies mit unserer Funktionsgleichung machen:

f: y = (x - 0,5)² +1

f ^-1: x = (y - 0,5)² +1

Versuche einmal die "Umkehrgleichung" nach y aufzulösen.

Wenn du eine Potenzfunktion umkehren musst, ob ganzzahlig oder nicht, muss sichergestellt sein, dass die Basis positiv ist. Außerdem gilt in diesem Fall für a: a >0.

Wenn du mit meinem Geschmarri zu den Umkehrungen nicht ganz klar gekommen bist, mach dir nichts draus. Bei den Aufgabenstellungen ist sichergestellt, dass du dir dein Gehirn nicht verknoten musst.

Lass uns Aufgaben lösen. Der Durchblick kommt dann schon.