Ich nehme mal an, du kannst es wieder mal nicht lassen, gleich mit dem Arbeitsblatt zu spielen. Also spiele mit den Schiebereglern. Wir werden dann auch damit spielen, aber systematisch. Wenn du die Nase voll hast, klicke oben rechts auf die ineinander gedrehten blauen Pfeile. Du stellst damit den Ausgangszustand wieder her.

Wie du siehst, gibt es auch bei der Exponentialfunktion so etwas wie die S-Punktsform der Funktionsgleichung.

Du erinnerst an die Bedeutung des S-Punktes bei den Potenzfunktionen? Bei den geraden Parabeln ist der S-Punkt der Scheitel. Du erinnerst dich an die Scheitelpunktsform der Parabeln? Bei ungeraden Parabeln ist der S-Punkt der Wendepunkt. Und bei Hyperbeln ist der S-Punkt der Schnittpunkt der Asymptoten (=Schmiegegeraden).

Und hier, bei den Exponentialfunktionen, welche Bedeutung hat er hier?

Stelle bitte den Schieberegler k auf 1, den Schieberegler a auf 2 und den S-Punkt schiebst du mit den roten Schiebereglern in den Ursprung.

Du erhältst die Gleichung der Exponentialfunktion

y = 2^x

Bei der Spiegelung an der y-Achse bleibt der y-Wert aller Punkte gleich, die x-Werte tauschen das Vorzeichen.

Es gilt also, oder?:

f': y = 2^-x

Probieren wir es aus. Für x = 2 berechnet sich der Urpunkt P:

y = 2² = 4 =>P(2/4)

Der Bildpunkt müsste also die Koordinaten (-2/4) haben.

Ich nehme mal an, wenn du so etwas raus bringst, sagst du Scheiße. Hier sind die Gedanken irgendwo verknotet. Natürlich habe ich hier einen Standard-Denkfehler eingebaut. Aber wo liegt er?

Ich habe bei der ursprünglichen Aufgabe ein Minuszeichen vor den y-Wert gesetzt und hier vor den x-Wert. Nur habe ich den falschen x-Wert eingesetzt. Ich hätte x=-2 einsetzen müssen, dann wäre y=4 herausgekommen. Pass auf.

Hier reicht allerdings der Platz nicht mehr aus. In der nächsten Plauderei geht es weiter.

Aufgabe 1:

Bilde den Graphen zu f mit

y = 2^x

durch Achsenspiegelung an der x-Achse auf den Graphen zu f' ab. Wie lautet die Gleichung des Bildgraphen?

Was machst du mit jedem Punkt des Graphen von f, wenn du an der x-Achse spiegelst?

Urpunkt und Bildpunkt haben die gleiche x-Koordinate und bei der y-Koordinate vertauscht du die Vorzeichen. Also hat der Bildgraph f' die Gleichung:

y = - 2^x

Probiere es aus. Verschiebe den S-Punkt in den Ursprung und stelle den Schieberegler a auf 2. Vergleiche die Graphen zu k=1 und k=-1.

Übrigens dies gilt für alle Funktionen, die du an der x-Achse spiegelst.

Hier tut sich natürlich die Frage auf, wie spiegelst du an der y-Achse. Das es zeichnerisch geht, sieht ein Blinder mit Krückstock. Aber wie geht dies rechnerisch. Dazu mehr in der nächsten Plauderei.

Welche Funktionsgleichungen haben oben die Graphen, die die Gewinnsituationen in der Quizsendung darstellen?

Variante 1 => Lineares Wachstum:

Es handelt sich um eine Ursprungsgerade. Um die Steigung zu berechnen, brauchen wir zwei Punkte z.B. P₁(1/100) und P₂(2/200). Es gilt:

Variante 2 => Exponentielles Wachstum:

Von Schritt zu Schritt wurde der vorherige Wert verdoppelt. Angefangen hat es mit 20 €. Es gilt:

Bei Wachstumsprozessen ist der Faktor k der Startwert z.B. das Anfangskapital bei Verzinsungsrechnungen.

Lasse uns jetzt mit Arbeitsblatt ein paar Aufgaben lösen.

Mit k=1 haben der Punkt P und der S-Punkt die selbe x-Koordinate. Sie liegen übereinander und es gilt:

Was passiert wohl mit dem Punkt P, wenn wir k vergrößern oder verkleinern? Probiere es aus!

Für gilt:

Wenn du schon dabei bist, probiere aus was passiert, wenn k negativ ist.

Der Graph nähert sich jetzt von unten der Asymptoten. Nachwievor gilt für den Punkt P obige Vektorgleichung. P liegt jetzt allerdings unterhalb vom S-Punkt. Wieder hängt es von der Wahl von a ab, ob die Graphen steigen oder fallen.

Weißt du, womit du den Punkt P vergleichen kannst? Es ist so eine Art Büschelpunkt für Exponentialgraphen. Du kennst doch Geradenbüschel? Sie gehen alle durch den selben Punkt. Wenn du k nicht änderst gehen für alle a die Exponentialgraphen durch den Punkt P.

Ich hoffe dein Schieberegler k steht noch immer auf k=1. Seine Bedeutung probieren wir später aus. Auch die roten Schieberegler für den S-Punkt sollten wieder auf 0 stehen.

Warum darfst du für die Basis a der Exponentialfunktionen nur postive Zahlen verwenden? Erinnerst du dich, was ich bei den Potenzfunktionen dazu gesagt habe?

Betätige den Schieberegler für a. Wie ändert sich der Graph und vor allem was ändert sich nicht?

Für a >1 gilt:

Der Graph steigt und dies umso stärker und schneller je größer a ist. Solche Graphen beschreiben Wachstumsprozesse z.B. Pflanzenwachstum, das Wachstum der Menschheit, oder das Wachstum eines Vermögens durch Zinseszins.

Für 0 < a < 1 gilt:

Der Graph fällt. Solche Graphen beschreiben Abklingprozesse z.B. das Abklingen von Radioaktivität, oder das Erkalten von Badewasser oder Tee.

Ganz gleich welchen Wert a hat alle Graphen haben den Punkt P(0/1) gemeinsam. Verschiebe den Graphen beliebig. Was passiert mit dem Punkt P?

Welche Eigenschaften hat der Graph von

y = 2^x

Da es für den Exponenten x keinerlei Einschränkungen gibt, gilt für alle Exponentialfunktionen der Form wie im Arbeitsblatt beschrieben für die Definitionsmenge:

=

Die x-Achse ist Asymptote (Schmiegegerade) für den Graphen. Dies bedeutet für die Wertemenge:

= {y| y> 0}

Die Gleichung der Asymptoten lautet:

y = 0

Verschiebe einmal den S-Punkt in Richtung der y-Achse um 3 LE. Was bedeutet dies für die Asymptote und damit für die Wertemenge?

y = 3 => = {y| y> 3}

Die Parallele zur x-Achse durch den S-Punkt ist Asymptote der Exponentialfunktion und bestimmt die Wertemenge:

= {y| y> y_S}

wenn k > 0

Wenn du diese Funktionsgleichung ausprobierst, wirst du feststellen, dass es das Spiegelbild ist.

Weißt du, das war jetzt "just for fun". Du musst eine Exponentialfunktion nicht an der y-Achse Spiegeln können. Aber jetzt kannst du es. Macht doch Spaß, oder?

Wenigstens schult es das Denken. Unter dem Arbeitsblatt geht es mit weiteren Aufgaben weiter. Benutze das Arbeitsblatt um sie zu lösen.