Bevor wir die Aufgabe lösen, lass uns ein wenig mit dem Arbeitsblatt spielen. Du festigst so deine Kenntnisse über Exponentialfunktionen.

In diesem Arbeitsblatt kannst du mit der Maus die 3 Dinge festlegen, die eine Exponentialfunktion ausmachen.

Du kannst mit der Maus den S-Punkt packen und verschieben. Versuche es und beobachte, wie sich das auf die Funktionsgleichung auswirkt. Diesmal war ich zu faul dir die Gleichung so zu gestalten, wie du es gewohnt bist. Ich habe einfach die Form gewählt, die GeoGebra anbietet und damit eine Menge Arbeit gespart.

Das du Potenzen mit diesem Winkelzeichen schreiben kannst, kennst du ja von deinem Taschenrechner. Alles klar?

Du weißt hoffentlich noch, dass der P-Punkt auf der Parallelen zur y-Achse durch den S-Punkt liegt. Dort kannst du ihn mit dem Schieberegler k auf und ab wandern lassen. Probiere es aus und beobachte die Gleichung.

Mit dem Schieberegler a legst du die Basis fest. Also spiele und mach dir viele Gedanken.

Löse graphisch die Gleichung:

Zunächst einmal musst du "-2" auf die andere Seite bringen. Damit steht auf der linken Seite der Gleichung der vollständige Exponent. Ohne dies Äquivalenzumformung kannst du nur schwer den S-Punkt der Exponentialfunktion ablesen.

Die letzte Zeile musst du jetzt in eine Exponentialgleichung übersetzen. Die tiefgestellte 5 ist die Basis und der Term x+2 auf der linken seite ist der Exponent. Und was ist die zahl 3,5? Es ist die y-Koordinate eines Punktes Q auf dem Graphen einer Exponentialfunktion. Die Übersetzung lautet also:

Was hast du eigentlich gemacht? Du hast folgende Exponentialgleichung graphisch gelöst:

Selbstverstädlich kannst du eine solche Exponentialgleichung auch in eine Logarithmus-Gleichung umwandeln:

In ein paar Unterrichtsstunden wirst du genau mit diesen Umformungen Exponentialgleichungen lösen. Bis dahin hast du gelernt, wie du mit deinem Taschenrechner Logarithmen berechnen kannst. Dann bist du nicht mehr auf die graphische Lösungsmethode angewiesen. Doch lass uns die eine oder andere Logarithmus-Gleichung noch graphisch lösen, zumal das natürlich auch mit deinem graphischen Taschenrechner geht.

Wenn du das Arbeitsblatt links richtig einstellst und deine Messlinien richtig platzierst solltest du folgenden Wert ablesen können:

x = -1,24

Aufgabe 3:

Übersetze in eine Exponentialgleichung und bestimme die Lösung graphisch.

Lösungen einblenden...

Unter dem Arbeitsblatt zeige ich dir wie es auch mit dem graphischen Taschenrechner geht.

Bestimme mit dem Arbeitsblatt folgenden Logarithmus:

x = log₇8

Nicht fluchen, tun!

=> 8 = 7^x

=> f: y = 7^x und Q(x_Q/8)

=> x_Q = 3,9

=> log₇8 = 3,9

Aufgabe 2:

Ein Punkt Q(x_Q/4) liegt auf dem Graphen zu f mit
y = 2*3^x-2+3 Zeichne den Graphen von f und bestimme die fehlende Koordinate aus der Zeichnung.

Stelle das Arbeitsblatt entsprechend ein:

S(2/3); k=2; a=3

y-Messlinie: y=4

x-Messlinie auf den Schnittpunkt:

x=1,36

Versuche folgende Aufgabe zunächst in eine Exponentialgleichung und dann in eine Logarithmusbestimmung umzuformulieren.

Ein Punkt Q(x_Q/6,3) liegt auf dem Graphen zu f mit
y = 5^x. Zeichne den Graphen von f und bestimme die fehlende Koordinate aus der Zeichnung.

=> 6,3 = 5^x

=> x = log₅6,3

=>x =3,9

=> x_Q = 3,9

Machen wir das Spielchen noch ein einmal hin und zurück.

f: y = 3,3^x und Q(x_Q/2,7)

=> 2,7 = 3,3^x

=> x = log_3,32,7

=> x = 0,82

=> x_Q = 0,82

Und jetzt geht es zurück!

In Aufgabe 1 hatten wir folgende Expontialfunktion:

y = 1,4^x

Jetzt ist die Basis 2. Damit haben wir die Expontialfunktion:

y = 2^x

Wir hatten nach der x-Koordinate eines Punktes Q gesucht. In Aufgabe 1 hat der Punkt Q die y-Koordinate 5, jetzt hat er die y-Koordinate 7. Damit müsstest du die Aufgabenstellung formulieren können.

x = log₂7 heißt:

Ein Punkt Q(x_Q/7) liegt auf dem Graphen zu f mit y = 2^x. Zeichne den Graphen von f und bestimme die fehlende Koordinate aus der Zeichnung.

Und das machst du jetzt und ich auch. Stelle das Arbeitsblatt entsprechend ein.

Ich lese ab x_Q = 2,8

d.h. aber

log₂7 = 2,8

Wir beide zusammen übersetzen jetzt nachfolgende Schreibweise in eine Aufgabenstellung wie in Aufgabe 1.

Was bedeutet:

x = log₂ 7

Das ist eine Fragestellung. Vergleichen wir es mit vorher. In Aufgabe 1 war die Basis 1,4. An dem log-Symbol steht die Basis immer tiefgestellt.

Übersetzen wir die Logarithmus-Gleichung in eine Expontialgleichung. Ich verrat dir was. Diese Begriffe sind sowas von angeberisch. Sie versuchen dich wegzubeissen. Lass es nicht zu.

In unserer Exponentialgleichung ist die Basis 2 und der Exponent ist x und die linke Seite der Gleichung ist 7. Also heißt das übersetzt:

Womit muss ich 2 potenzieren, damit 7 herauskommt?

7 = 2^x

Versuche dies ähnlich wie Aufgabe 1 zu formulieren.

Du glaubst, du hast die x-Koordinate des Punktes Q graphisch bestimmt? Ja, du hast recht! Aber du hast damit die Gleichung

5 = 1,4^x

graphisch gelöst, d.h. du hast folgende Frage beantwortet:

Womit muss ich die Basis 1,4 potenzieren damit der Wert 5 herauskommt?

Weißt du, wie ein Mathefreak diese Frage formuliert? Nicht erschrecken bitte.

x = log_1,4 5

Du hast einen Logarithmus berechnet. Bitte stell nicht alle Stacheln auf und vor allem lass die Schotten in deinen Ohren offen. Du bist doch kein Seehund? Oder? Die Gleichung oben ist nichts anderes als die Kurzform der Aufgabe 1. Wenn es dir gelingt die Schreibweise mit dem log-Symbol in die Aufgabenstellung umzuformulieren, dann hast du mit dem nachfolgenden Kapitel über Logarithmen überhaupt nie nicht und in keiner Weise irgendwelche Schwierigkeiten. Deswegen üben wir jetzt das Übersetzen. Man, macht es mir Spaß mit dir zu arbeiten.

Jetzt lass uns die Aufgabe lösen. Bei y = 1,4^x liegt der S-Punkt im Ursprung und k=1. Also stelle es ein. Jetzt fehlt nur noch die Basis 1,4. Also stelle den Schieberegler a auf 1,4.

Du kennst die y-Koordinate des Punktes Q. Der Punkt Q liegt einmal auf dem Graphen zu f und zum anderen auf einer Parallelen zur x-Achse mit der Gleichung y=5.

Bei mir packst du mit der Maus die y-Messlinie und stellst sie auf y=5 ein. In deinem Heft musst du mit deinem Geodreieck diese y-Messlinie zeichnen. Die y-Messlinie schneidet den Graphen zu f im Punkt Q.

Jetzt packst du mit der Maus die x-Messlinie und verschiebst sie exakt in den Schnittpunkt der y-Messlinie mit f. Im Heft fällst du von diesem Schnittpunkt das Lot auf die x-Achse und versuchst möglichst genau den x-Wert abzulesen. das war's.

Ich lese den x-Wert x=4,78 ab.

Weißt du eigentlich, was du gerade gemacht hast? Du hast eine Exponentialgleichung graphisch gelöst.