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die sich von der Masse unterscheiden, dafür setzt Lisa Feldmann Kreativität, Natürlichkeit und eine ausdrucksstarke Bildsprache ein.
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Algebra mit Spaß lernen

 

Exponential- und Logarithmusfunktionen 3
Wachstums- und Abklingprozesse
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)


 
 

Ich will dir mal erzählen, wann ich diese Seite angefangen habe zu basteln. Heute ist der 22.12.2008, der 4. Advent. Eigentlich müsste ich dir also "Frohe Weihnachten" wünschen. Vermutlich ist die Seite aber erst zu Silvester fertig. Also wäre vielleicht ein "Prosit Neujahr" angebracht. Wahrscheinlicher ist aber, dass du sie erst im nächsten Jahr liest oder in einem der folgenden Jahre. Drum muss ein schlichtes "Grüß Gott" genügen und sei mir herzlich willkommen.

Was ist ein Wachstumsprozess? Die Weltbevölkerung wächst, das ist ein Wachstumsprozess. Wenn du 10 000 € auf dein Sparbuch legst und z.B. 10 Jahre lange nicht anrührst, dann addieren sich jedes Jahr die Zinsen zu deinem Kapital. Es wächst immer schneller durch den Zinseszinseffekt. In beiden Fällen handelt es sich um exponentielles Wachstum. Solches Wachstum lässt sich durch eine Exponentialfunktion beschreiben. Auch das Pflanzenwachstum erfolgt exponentiell.

Was ist ein Abklingprozess? Heiße Flüßigkeiten wie Badewasser, Tee, Kaffee kühlen sich mit der Zeit ab. Radioaktive Elemente zerfallen mit einer bestimmten Halbwertszeit. Wenn du ein Darlehen zurück zahlst, machst du dies mit einer festen Tilgungsrate. Deine Schulden sinken am Anfang nur sehr langsam, weil der Zinsanteil an deiner Tilgungsrate noch sehr hoch ist. Aber keine Angst deine Schulden nehmen gegen Ende der Ausleihzeit doch sehr schnell ab. In allen diesen Fällen handelt sich um eine exponentielle Abnahme.

Aufgabe 1:

Julia und Johannes legen jeweils zu ihrem 14. Geburtstag 1200 € bzw. 1400 € bei einer Bank an. Bestimme jeweils die Höhe ihres Guthabens, das ihnen mit 18 Jahren ausgezahlt wird, wenn die Beträge mit 2 % angelegt werden.

Packe unten das Arbeitsblatt mit Maus am roten Balken und schiebe es nach links damit du im Rand meine Plaudereien einblenden kannst. Das geschieht durch Mausklick auf 1, 2 usw.

 
 

 

 
 
1
2
3
 
     
 
   
Nr. 1
 

Das Werkzeug für so eine Aufgabe hast du schon auf der Seite 2 kennengelernt. Lege eine kleine Tabelle für die ersten 2 oder 3 Jahre an. Aus dieser kannst du dann leicht die Exponentialfunktion herleiten.

1. Jahr

2. Jahr

n. Jahr

Der Wachstumsfaktor (die Basis) heißt in der Zinsrechnung Zinsfaktor q.

 
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Aufgabe 3:

Während in vielen Ländern die Bevölkerungszahlen ansteigen, kommte es z.B. in Deutschland zu einem jährlichen Bevölkerungsrückgang um 0,1 %.

a) Bestimme die Einwohnerzahlen in den folgenden 8 Jahren bei einer Einwohnerzahl am 31.12.2005 von 82,4 Millionen.

b) Berechne die voraussichtliche Einwohnerzahl für das Jahr 2040, falls der Wachstumsfaktor sich nicht ändert.

c) Ermittle den jährlichen Bevölkerungsrückgang in %, vorausgesetzt die Einwohnerzahl ist nach 20 Jahren auf 79,96 Millionen gesunken.

d) Erstelle eine Prognose für das Jahr 2040 bei einer jährlichen Abnahme von 0,2 %.

Packe unten das Arbeitsblatt mit Maus am roten Balken und schiebe es nach links damit du im Rand meine Plaudereien einblenden kannst. Das geschieht durch Mausklick auf 1, 2 usw.

 
     
 
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Aufgabe 4:

Heiße Flüssigkeiten (Wasser, Tee, Kaffee...) kühlen sich mit der Zeit ab. Die temperatur y °C hängt dabei von der Zeit x Minuten ab und wird durch eine Gleichung der Form beschrieben. Dabei steht Tu für die Temperatur der Umgebung und Ta für die Ausgangstemperatur der Flüssigkeit.

In einer Messreihe wurden bei Tu = 22 °C und Ta = 60 °C die folgenden Werte ermittelt.

 
 

 

 
 
x min
5
10
15
20
25
y °C
56,4
53,1
50,1
47,5
45,0
 
     
 

a) Stelle den Zusammenhang grafisch dar.

b) Zeige durch Rechnung, dass man für a den Wert 0,02 erhält.

c) Welche Temperatur hat die Flüssigkeit nach 8 min (10 min; 20 min; 60 min)?

Vergleiche mit der Tabelle und erkläre.

d) Nach welcher Zeit ist die Flüssigkeit auf 40 °C (35 °C) abgekühlt? Runde sinnvoll.

 
     
 
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2
3
4
5
 
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 18:54 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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