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Algebra mit Spaß lernen

 

Exponential- und Logarithmusfunktionen 4
Die Umkehrung von Exponentialfunktionen
und die Frage nach dem Logarithmus

(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)


 
 

Hast du alles noch im Gedächtnis, was du auf Seite 2 gelernt hast? Vieles davon brauchst du hier. Doch erst einmal entbiete ich dir ein herzliches "Grüß Gott". Zunächst wollen wir eine einfache Exponentialfunktion umkehren, hierzu folgende Aufgabe.

Aufgabe 1:

Gegeben ist eine Funktion f mit y = 4x.

a) Zeichne den Graphen zu f und gib Definitions- und Wertemenge an.

b) Der Graph zu f wird an der Geraden y = x gespiegelt. Du erinnerst dich? Damit erhältst du den Graphen der Umkehrung f-1. Ergänze die Zeichnung.

c) Warum ist die Umkehrung wieder eine Funktion? Gib die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion f-1 an.

d) Wie lautet die Gleichung der Umkehrfunktion?

Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien im Rand einzublenden.

 
 

 

 
 
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Ach, ich hatte vergessen zu erwähnen, dass du mit dem Arbeitsblatt spielen kannst, aber nur ein wenig. Du kannst mit dem Schieberegler a die Basis der Exponentialfunktion verändern.

c)

Es gibt im Graphen der Umkehrung keine Punkte, die übereinander liegen. Etwas mathematischer formuliert, heißt dies: Jeder Punkt des Graphen hat seinen eigenen x-Wert. Kein x-Wert kommt zweimal vor. Alles klar!

= +

=

Auch der Graph der Umkehrfunktion hat eine Asymptote. Wie lautet die Gleichung. Schäm dich, wenn du es nicht weißt. Du musst ja nur x und y vertauschen.

d)

Jetzt brauche ich dein Wissen von Seite 2. Dort haben wir Exponentialgleichungen graphisch gelöst. Und ich habe dir auch gezeigt, wie du eine Exponentialgleichung in eine Logarithmusgleichung umwandelst und umgekehrt.

 
 
     
 

Logarithmusfunktion

Die Umkehrfunktion f-1 einer Exponentialfunktion f mit y = ax ist eine Logarithmusfunktion mit der Gleichung y = logax. Es gilt:

= +

=

Lies: Logarithmus von x zur Basis a

 

Weißt du, was die Definitionsmenge bedeutet? Den Logarithmus von einer negativen Zahl gibt es nicht. Wenn du unter dem Logarithmuszeichen, unter dem Logarithmuscode, einen Term mit x hast, musst du die gedanken über die Definitionsmenge machen. Schau dir einmal folgende Logarithmusfunktion an und überlege dir die Definitionsmenge.

y = log2(x-5)

=> = {x| x > 5}

Ich verrate dir mal was, auch bei Logarithmusfunktionen gibt es einen S-Punkt. Leider ist das nicht mehr im Lehrplan. Die Herren in München, die den Lehrplan machen, halten dich für zu blöde dafür. Ich halte dich nicht für zu blöde dafür. Schließlich ist der Umgang mit dem S-Punkt bei allen Funktionen gleich.

 
     
 

Aufgabe 2:

Bestimme den Logarithmus. Formuliere dazu zur Aufgabe die zugehörige Frage und Exponentialgleichung.

 
     
 
a) x = log232 b) x = log0,50,25 c) x = log981
     
d) x = log25625 e) x = log1010000 f) x = log8512
 
     
  Klicke auf die Aufgabenstellung um die Lösung unten einzublenden.  
     
   
 

Aufgabe 3:

Forme in eine Exponentialgleichung um und berechne x.

Klicke auf die Aufgabenstellung um die Lösung unten einzublenden. Hilfreich wird sein auch hier die Frage zu formulieren und die Antwort zu geben.

 
 

 

 
 
a) log2x = 4 b) log2x = 3 c) log10x = 2
     
d) log5x =1 e) log6x = 2 f) log7x = 4
     
g) log12x = 2 h) log2x = -2 i) log3x = 4
 
     
 

Frage: Womit muss ich 2 potenzieren, damit x herauskommt?

Antwort: mit -2

Exponentialgleichung: 2-2 = x => x = 0,25

 

 
 

Siehst du ein, wie wesentlich die Frage ist, um den Logarithmuscode zu übersetzen?

Auch in der nächsten Aufgabe wird dir diese Frage helfen.

Aufgabe 4:

Berechne die Basis x.

 
     
 
a) logx9 = 2 b) logx125 c) logx0,25 = -2
 
     
   
     
 

Weißt du was? Seit Seite 2 verkaufe ich dir den Logarithmus wie Sauerbier. Jetzt hoffe ich, dass du die Schreibweise wirklich begriffen hast. Jetzt sollte eine allgemeine Festlegung dieser Schreibweise dir keine Schwierigkeiten mehr machen. Wat mut, dat mut! Meine Frau ist Nordfriesin.

 

Für die Gleichung ax = c gilt:

x ist der Exponent zur Basis a mit dem Potenzwert c.

x ist der Logarithmus von c zur Basis a.

Man schreibt: x = logac

mit c+

und a + \ {1}

 
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 18:55 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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