|
Algebra mit Spaß lernen
|
|
| |
Exponential- und Logarithmusfunktionen 4
Die Umkehrung von Exponentialfunktionen
und die Frage nach dem Logarithmus
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)
|
|
| |
Hast du alles noch im Gedächtnis, was du auf Seite 2 gelernt hast? Vieles davon brauchst du hier. Doch erst einmal entbiete ich dir ein herzliches "Grüß Gott". Zunächst wollen wir eine einfache Exponentialfunktion umkehren, hierzu folgende Aufgabe.
Aufgabe 1:
Gegeben ist eine Funktion f mit y = 4x.
a) Zeichne den Graphen zu f und gib Definitions- und Wertemenge an.
b) Der Graph zu f wird an der Geraden y = x gespiegelt. Du erinnerst dich? Damit erhältst du den Graphen der Umkehrung f-1. Ergänze die Zeichnung.
c) Warum ist die Umkehrung wieder eine Funktion? Gib die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion f-1 an.
d) Wie lautet die Gleichung der Umkehrfunktion?
Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien im Rand einzublenden. |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| Nr. 1 |
| |
a)
Du solltest wirklich mal wieder selber einen Graphen zeichnen, sonst kannst du es in der Abschlussprüfung nicht. Dazu musst du dir im TABLE-Menü deines Casio-GTR eine Wertetabelle erzeugen. Also wenn du Zeit hast, mache es mal wieder.
 = 
 = +
Du weißt hoffentlich noch, warum es nur positive y-Werte geben kann? Es liegt an der Basis a. Sie ist immer positiv, muss immer positiv sein. Erinnere dich an die Potenzfunktionen! Wenn du negative Basen zulässt führt es zu Gehirnverknotungen und ziemlich viel Mist.
Der Graph hat auch eine Asymptote (Schmiegegerade). Wie lautet die Gleichung?
Es ist die Gleichung für die x-Achse.
b)
Deine Wertetabelle für f reicht völlig aus. Du musst für die Umkehrung nur die x- und y-Werte vertauschen. |
| |
|
| Nr. 4 |
| |
weiter d)
Du verstehst den Logarithmus absolut, wenn du die Gleichung
x = log420
sowohl in eine Frage als auch in eine Exponentialgleichung übersetzen kannst. Dann hast du den Code begriffen.
Frage:
Womit muss ich die Basis 4 potenzieren, damit 20 herauskommt?
Exponentialgleichung:
20 = 4x
Die Frage, vergiss die Frage nicht!
Kehren wir zurück zu unser Umkehrfunktion
x = 4y
Wenn du diese Gleichung nach y auflösen willst, musst du die Gleichung logarithmieren, d.h. dieselbe Umformung wie oben anwenden.
y = log4x
|
| |
|
| Nr. 3 |
| |
Lass mich dein Gedächtnis auffrischen. Ich bin jetzt 30 Jahre Lehrer und mache mir über dein Gedächtnis keine Illusionen mehr.
Du hast folgende Exponentialgleichung:
20 = 4x
Wenn du diese Gleichung rechnerisch lösen willst, musst du beide Seiten der Gleichung logarithmieren, d.h. in eine Logarithmusgleichung umwandeln.
Umgekehrt, wenn du eine Logarithmusgleichung wie auf Seite 2 graphisch lösen willst, musst du sie in eine Exponentialgleichung umformen.
Es geht hier nicht um das Lösen von Gleichungen sondern um diesen Umformungsprozess.
Die Logarithmusgleichung zu obiger Exponentialgleichung ist:
x = log420
Ein Logarithmus ist ein Exponent, der mit einem Code beschrieben wird!
|
| |
|
| Nr. 2 |
| |
Ach, ich hatte vergessen zu erwähnen, dass du mit dem Arbeitsblatt spielen kannst, aber nur ein wenig. Du kannst mit dem Schieberegler a die Basis der Exponentialfunktion verändern.
c)
Es gibt im Graphen der Umkehrung keine Punkte, die übereinander liegen. Etwas mathematischer formuliert, heißt dies: Jeder Punkt des Graphen hat seinen eigenen x-Wert. Kein x-Wert kommt zweimal vor. Alles klar!
= +
=
Auch der Graph der Umkehrfunktion hat eine Asymptote. Wie lautet die Gleichung. Schäm dich, wenn du es nicht weißt. Du musst ja nur x und y vertauschen.
d)
Jetzt brauche ich dein Wissen von Seite 2. Dort haben wir Exponentialgleichungen graphisch gelöst. Und ich habe dir auch gezeigt, wie du eine Exponentialgleichung in eine Logarithmusgleichung umwandelst und umgekehrt. |
| |
|
| Nr. 5 |
| |
weiter d)
y = log4x
Wie lautet hier die Frage, und die Antwort?
Frage:
Womit muss ich 4 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort:
mit y
Die Zusammenfassung, die Quintessenz zur Umkehrfunktion von Exponentialgleichungen findest du unter dem Arbeitsblatt. Dort habe ich auch noch eine Frage an dich.
(Quintessenz = das Wesentliche)
Für mich aber, und auch für dich, ist das Wesentlichste beim Logarithmus, dass du den Logarithmus-Code in eine Frage umformulieren kannst.
Vergiss die Frage nicht!
Unter dem Arbeitsblatt geht es weiter.
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
| |
Logarithmusfunktion
Die Umkehrfunktion f-1 einer Exponentialfunktion f mit y = ax ist eine Logarithmusfunktion mit der Gleichung y = logax. Es gilt:
= +
=
Lies: Logarithmus von x zur Basis a
Weißt du, was die Definitionsmenge bedeutet? Den Logarithmus von einer negativen Zahl gibt es nicht. Wenn du unter dem Logarithmuszeichen, unter dem Logarithmuscode, einen Term mit x hast, musst du die gedanken über die Definitionsmenge machen. Schau dir einmal folgende Logarithmusfunktion an und überlege dir die Definitionsmenge.
y = log2(x-5)
=> = {x| x > 5}
Ich verrate dir mal was, auch bei Logarithmusfunktionen gibt es einen S-Punkt. Leider ist das nicht mehr im Lehrplan. Die Herren in München, die den Lehrplan machen, halten dich für zu blöde dafür. Ich halte dich nicht für zu blöde dafür. Schließlich ist der Umgang mit dem S-Punkt bei allen Funktionen gleich.
|
|
| |
|
|
| |
Aufgabe 2:
Bestimme den Logarithmus. Formuliere dazu zur Aufgabe die zugehörige Frage und Exponentialgleichung.
|
|
| |
|
|
| |
| a) x = log232 |
b) x = log0,50,25 |
c) x = log981 |
| |
|
|
| d) x = log25625 |
e) x = log1010000 |
f) x = log8512 |
|
|
| |
|
|
| |
Klicke auf die Aufgabenstellung um die Lösung unten einzublenden. |
|
| |
|
|
| |
Frage: Womit muss ich 2 potenzieren, damit 32 herauskommt?
Exponentialgleichung: 32 = 2x => x = 5 |
Frage: Womit muss ich 10 potenzieren, damit 10000 herauskommt?
Exponentialgleichung: 10000 = 10x => x = 4 |
Frage: Womit muss ich 25 potenzieren, damit 625 herauskommt?
Exponentialgleichung: 625 = 25x => x = 2 |
Frage: Womit muss ich 9 potenzieren, damit 81 herauskommt?
Exponentialgleichung: 81 = 9x => x = 2 |
Frage: Womit muss ich 0,5 potenzieren, damit 0,25 herauskommt?
Exponentialgleichung: 0,25 = 0,5x => x = 2 |
Frage: Womit muss ich 8 potenzieren, damit 512 herauskommt?
Exponentialgleichung: 512 = 8x => x = 3 |
|
|
| |
Aufgabe 3:
Forme in eine Exponentialgleichung um und berechne x.
Klicke auf die Aufgabenstellung um die Lösung unten einzublenden. Hilfreich wird sein auch hier die Frage zu formulieren und die Antwort zu geben. |
|
| |
|
|
| |
| a) log2x = 4 |
b) log2x = 3 |
c) log10x = 2 |
| |
|
|
| d) log5x =1 |
e) log6x = 2 |
f) log7x = 4 |
| |
|
|
| g) log12x = 2 |
h) log2x = -2 |
i) log3x = 4 |
|
|
| |
|
|
| |
Frage: Womit muss ich 2 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort: mit 4
Exponentialgleichung: 24 = x => x = 16 |
Frage: Womit muss ich 2 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort: mit 3
Exponentialgleichung: 23 = x => x = 8 |
Frage: Womit muss ich 10 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort: mit 2
Exponentialgleichung: 102 = x => x = 100 |
Frage: Womit muss ich 5 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort: mit 1
Exponentialgleichung: 51 = x => x = 5 |
Frage: Womit muss ich 6 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort: mit 2
Exponentialgleichung: 62 = x => x = 36
|
Frage: Womit muss ich 7 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort: mit 4
Exponentialgleichung: 74 = x => x = 2401 |
Frage: Womit muss ich 12 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort: mit 2
Exponentialgleichung: 122 = x => x = 144 |
Frage: Womit muss ich 2 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort: mit -2
Exponentialgleichung: 2-2 = x => x = 0,25 |
Frage: Womit muss ich 3 potenzieren, damit x herauskommt?
Antwort: mit 4
Exponentialgleichung: 34 = x => x = 81 |
|
|
| |
Siehst du ein, wie wesentlich die Frage ist, um den Logarithmuscode zu übersetzen?
Auch in der nächsten Aufgabe wird dir diese Frage helfen.
Aufgabe 4:
Berechne die Basis x.
|
|
| |
|
|
| |
| a) logx9 = 2 |
b) logx125 |
c) logx0,25 = -2 |
|
|
| |
|
|
| |
Frage: Womit muss ich x potenzieren, damit 9 herauskommt?
Antwort: mit 2 => x2 = 9 => x = 3 |
Frage: Womit muss ich x potenzieren, damit 125 herauskommt?
Antwort: mit 3 => x3 = 125 => x = 5 |
Frage: Womit muss ich x potenzieren, damit 0,25 herauskommt?
Antwort: mit -2 => x-2 = 0,25 => x = 2 |
|
|
| |
|
|
| |
Weißt du was? Seit Seite 2 verkaufe ich dir den Logarithmus wie Sauerbier. Jetzt hoffe ich, dass du die Schreibweise wirklich begriffen hast. Jetzt sollte eine allgemeine Festlegung dieser Schreibweise dir keine Schwierigkeiten mehr machen. Wat mut, dat mut! Meine Frau ist Nordfriesin.
Für die Gleichung ax = c gilt:
x ist der Exponent zur Basis a mit dem Potenzwert c.
x ist der Logarithmus von c zur Basis a.
Man schreibt: x = logac
mit c +
und a + \ {1}
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 18:55
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
|
|
|
|
|
|
