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Algebra mit Spaß lernen

 

Exponential- und Logarithmusfunktionen 5
Berechnen von Logarithmen mit dem Taschenrechner
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)


 
 

Ich grüße dich. Heute wollen wir mit dem Taschenrechner Logarithmen berechnen. Aber vergiss die Frage nicht. Ich meine die Frage, die auf der letzten Seite die entscheidende Rolle gespielt hat. Du brauchst sie auch hier. Sonst ist es mir unmöglich dir die Rechengesetze für Logarithmen zu erklären.

Mit deinem Taschenrechner kannst du nur Logarithmen mit der Basis 10 berechnen.

Das reicht völlig aus, weil du alle anderen Basen auf die Basis 10 umrechnen kannst.

Aufgabe 1:

Mithilfe der Taste log des Taschenrechners kann man Logarithmen zur Basis 10 (dekadische Logarithmen) direkt berechnen. Formuliere zu den folgenden Teilaufgaben die Frage und die zugehörige Exponentialgleichung. Überprüfe deine Ergebnisse mit dem Taschenrechner.

a) log1010 = x

Frage: Womit muss ich 10 potenzieren damit 10 herauskommt?

Exponentialgleichung: 10 = 10x => x = 1

Tippe in deinen Taschenrechner log10!

 

b) log10100 = x

Frage: Womit muss ich 10 potenzieren damit 100 herauskommt?

Exponentialgleichung: 100 = 10x => x = 2

Tippe in deinen Taschenrechner log100!

 

c) log101000 = x

Frage: Womit muss ich 10 potenzieren damit 1000 herauskommt?

Expoentialgleichung: 1000 = 10x => x = 3

Tippe in deinen Taschenrechner log1000!

 

OK! Ich denke du hast es begriffen. Bevor du selbst richtig loslegen kannst, Muss ich dir noch die Schreibweise für 10er-Logarithmen in deinem Lehrbuch erklären.

Für Logarithmen mit der Basis 10 schreibt man: log10x =lg x

Es gibt noch zwei andere Basen für die es spezielle Schreibweisen gibt. Falls du einen wissenschaftlichen Super-Taschenrechner hast, findest du dort auch entsprechende Tasten.

Für Logarithmen mit der Basis 2 schreibt man: log2x = ld x (Logarithmus dualis)

Für Logarithmen mit der Basis e (e = 2,71... ist die Eulersche Zahl, siehe im Rand rechts) schreibt man: logex = ln x (Logarithmus naturalis)

Na gut, diese beiden Schreibweisen gibt es an der bayerischen Realschule eigentlich nicht, aber vielleicht begegnen sie dir auf deinem Taschenrechner. Wir brauchen diese Logarithmen auch nicht. Wir rechnen alle möglichen Basen in den 10er-Logarithmus um. Nach der nächsten Aufgabe zeige ich dir wie du es machen musst.

Übrigens nebenbei bemerkt, die Sprache der Mathematik war bis gegen Ende des 19. Jahrhunderts Latein. Nur damit du dich über die Begriffe oben nicht allzusehr wunderst.

 
 

 

 
 

Aufgabe 2:

Berechne mit dem Taschenrechner. Mit Mausklick auf die Aufgabe blendest du die Lösung ein.

 
     
 
lg 0,5
lg 43
lg 0,01
 
     
 

So und jetzt zeige ich dir, wie du einen Logarithmus mit beliebiger Basis mit der log-Taste deines Taschenrechners berechnen kannst.

x = log217

Frage: Womit muss ich 2 potenzieren damit 17 herauskommt?

Exponentialgleichung: 17 = 2x

y = lg 2

Frage: Womit muss ich 10 potenzieren damit 2 herauskommt?

Exponentialgleichung: 2 = 10y

z =lg 17

Frage: Womit muss ich 10 potenzieren damit 17 herauskommt?

Exponentialgleichung: 17 = 10z

Du erinnerst dich, wir wollen x mit der log-Taste deines Taschenrechners berechnen. Dazu setzt du unsere Ergebnisse in die erste Exponentialgleichung, also 17 = 2x ein.

Kannst du schon eine Regel formulieren? Noch nicht? Na gut, ich wende jetzt mal die Regel an, die du noch nicht formulieren kannst. Danach kannst du es bestimmt.

 
     
 
 

 

 
     
 
 
     
 

Du weißt hoffentlich noch, dass unter dem Logarithmuszeichen nur positive Zahlen stehen dürfen. Auch die Null ist ausgeschlossen.

So jetzt lass uns noch ein paar Exponentialgleichungen mit den neu erworbenen Fähigkeiten lösen, also nicht mehr graphisch.

Aufgabe 3:

Löse die Gleichungen.

 
     
 

a)

zur Lösung hier klicken...

b)

zur Lösung hier klicken...

   

c)

zur Lösung hier klicken...

d)

zur Lösung hier klicken...

   
 
  Ziemlich leicht, nicht wahr? Aber wie hat man dies früher ohne Taschenrechner gemacht? Man hat dazu eine Logarithmentafel verwendet. Was das ist? Es ist ein Buch mit Logarithmen in Tabellen. Diese Logarithmen zu berechnen war ziemlich mühsam. Lies dazu im Rand den Beitrag zu Napier und Bürgi. Wenn du das Rechnen mit einer Logarithmentafel lernen willst, dann kannst du es auf meiner Mathe-Site. Folge diesem Link hier. Bedenke, das ist historische Mathematik. Es wäre aber ein schönes Thema für ein freiwilliges Referat.  
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 18:55 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Leonard Euler
(1707-1783)
Mathematiker
 

Ich hab' dir versprochen zu erklären was die Eulersche Zahl ist und warum man sie zur Basis für einen oft gebrauchten Logarithmus gemacht hat.

Bevor ich weiter rede, machst du erst mal hier das Applet bei mathe-online dazu auf.

Was siehst du? Du siehst eine Gerade mit der Gleichung
y = x + 1, die Steigung ist 1 und der y-Achsenabschnitt ist 1.

Weiter siehst du den Graphen der Exponentialfunktion

y = ax

Den Wert für a kannst du mit dem Schieberegler ändern. Schieb' ihn hin und her ! Wie du feststellst, geht der Graph von y = ax immer durch den Punkt (0/1) und für alle Werte von a, die dir hier zur Verfügung stehen, aber das kennst du ja schon von Seite 1. Es gibt nur einen Wert für a, bei dem die Gerade eine Tangente an den Graphen der Exponentialfunktion ist.

Dieser Wert für a ist die Eulersche Zahl e. Es ist eine irrationale Zahl, wie z.B. die Zahl auch.

Wie man sie berechnet? Ich fürchte, dies wäre hier ein wenig zu viel Mathe. Da kann ich dir nur empfehlen nach deiner Mittleren Reife weiter zu machen und letztendlich einen technischen Ingenieurberuf zu ergreifen z.B. Chemiker zu werden. Du wirst es dann lernen und verstehen müssen.

Wozu ist die Zahl e so wichtig?

Die Exponentialfunktion y=ex beschreibt besonders gut natürliche Wachstumsprozesse. Hast du die Seite 3 durchgearbeitet, in der ich dir über Wachstum und Exponentialfunktionen erzählt habe ?

Wenn du hier als Basis für das Logarithmieren die Zahl e wählst, hast du es besonders leicht.

Verstanden ? Nein ? Forget it!

 

 
 
Jobst Bürgi 1552 - 1632
 
Die Entdeckung des Seewegs nach Indien ist eng verflochten mit der Blütezeit der Astronomie, der Navigation und der Trigonometrie. Die Logarithmen lagen damals "in der Luft". Vorarbeiten dazu gab es in Dänemark. Die Hauptarbeit wurde jedoch in England und in der Schweiz geleistet.

Lord John Napier of Merchiston (1550-1617, ein schottischer Mathematiker, auch Neper genannt) veröffentlichte im Jahre 1614 seine Logarithmen unter dem Titel "Mirifici logarithmorum canonis descriptio".

Die Entdeckung Napiers erregte das Interesse von Henry Briggs. Dieser suchte Napier auf und schlug ihm vor, die Basis 10 zu verwenden. Napier begann mit den Berechnungen für diese neuen Logarithmentafeln. Nach seinem Tod stellte Briggs die Tafeln fertig und publizierte 1624 unter dem Namen "Arithmetica logarithmica" die 14-stelligen Logarithmen der Zahlen 1 bis 20000 und 90000 bis 100000. Die fehlenden Logarithmen berechneten später Ezechiel de Decker und Adrian Vlacq. Im Jahre 1627 erschien ihre erste vollständige Logarithmentafel. .

Das Wort "Logarithmus" stammt von Napier. Es bedeutet soviel wie Verhältniszahl (ursprünglich hatte er den Namen "künstliche Zahl" verwendet).

Die Logarithmen fanden rasche Verbreitung und waren zunächst vor allem bei den Astronomen sehr beliebt. So bemerkte Laplace: "Durch die Arbeitserleichterung infolge der Verwendung von Logarithmen wird das Leben der Astronomen verdoppelt".

Unsere heutige Exponentendefinition des Logarithmus findet sich erstmalig in einer nicht publizierten Schrift Eulers aus dem Jahre 1728. Dort verwendet Euler e als Basis für die Logarithmen. Erstmalig wurden die Logarithmen 1742 in der heute üblichen Weise eingeführt und systematisch behandelt durch William Jones in seiner Einleitung zu den Logarithmentafeln William Gardiners.

Die Idee des "Rechenschiebers", also des logarithmischen Rechenstabs, hatte zuerst Edmund Gunter 1624. Um 1650 waren bereits Rechenstäbe in unserem heutigen Sinn (also mit beweglicher Zunge) im Umlauf. Durch die Einführung des Taschenrechners wurde der Rechenschieber, der bis dahin vor allem vom Ingenieur häufig verwendet wurde, nahezu vollständig verdrängt.

Unabhängig davon entwickelte Jobst Bürgi (1552 - 1632), ein Schweizer Uhrmacher, aus den Arbeiten zur Zinseszinsberechnung von Simon Stevin (1548 - 1620) angenähert natürliche Logarithmen, die als "Arithmetische und geometrische Prozeßtabuln" 1620 in Prag veröffentlicht wurden. Diese Logarithmen wurden in Tabellen aufgereiht und als Logarithmentafeln herausgegeben.

"Aus diesem Fundament hat mein lieber Schwager und Praeceptor Jobst Bürgi (vor zwanzig und mehr Jahren) eine schöne progresstabul mit ihren Differenzen von 10 zu 10 in 9 Ziffern calculirt, auch zu Prag ohne bericht in Anno 1620 drucken lassen. Und ist also die Invention der Logarith. nicht deß Neperi, sondern von gedachtem Bürgi (wie solches vielen wissend - und ihm auch Herr Keplerns Zeugniß gibt), lange zuvor erfunden."

Bürgi hat seine Tafeln also erst 1620 unter dem Titel "Arithmetische und Geometrische Progreß-Tabulen, sambt gründlichem unterricht, wie solche nützlich in allerley Rechnungen zu gebrauchen und verstanden werden sol" veröffentlicht.

Wie die alten Knaben ihre Logarithmentafeln berechnet haben ? Wenn ich Zeit finde, mache ich darüber in Mathe-Geschichte einmal eine Story und auch über den Rechenschieber.

Die Logarithmen wurden entwickelt, weil das Potenzieren und das Wurzelziehen mit "krummen" Zahlen mit den damals vorhandenen Mitteln nicht möglich war.

Mit den Logarithmen wird die Rechenstufe um 1 herabgesetzt:

  • Multiplikationen werden durch Additionen,
  • Divisionen durch Subtraktionen,
  • Potenzen durch Multiplikationen und
  • Wurzeln durch Divisionen

berechnet.