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Hochzeitsbilder,
die sich von der Masse unterscheiden, dafür setzt Lisa Feldmann Kreativität, Natürlichkeit und eine ausdrucksstarke Bildsprache ein.
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Algebra mit Spaß lernen

 

Exponential- und Logarithmusfunktionen 6
Rechengesetze für Logarithmen
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)


 
 
log24 = 2
log28 = 3
log2(4 · 8) = 5
log381 = 4
log327 = 3
log3(81 · 27) = 7
log1/24 = -2
log1/28 = -3
log1/2(4 · 8) = -5
 
 

 

 
 

1.      loga(b) + loga(c) = loga(b · c)

 
     
 
log2(4/8) = -1
log243 = 6
3 · log24 = 6
log3(81/27) = 1
log394 = 8
4 · log39 = 8
log1/2(4/8) = 1
log1/2(1/16)2 = 8
3 · log1/2(1/16) = 12
 
     
 

2.      loga(b) - loga(c) = loga(b/c)

 
     
 

3.      loga(b)c = c · loga(b)

 
     
 

Hier hab' ich dich einmal mit ein paar Beispielen überrascht. Hi, erst mal. Du hast inzwischen schon soviel Erfahrung mit Logarithmen, dass du diese Beispiele leicht nachvollziehen kannst. Wie du siehst, stecken drei Gesetze dahinter. Den Beweis kannst du am rechten Rand nachlesen.

Wozu du die Gesetze brauchst? Meine Güte! Dein Nützlichkeitsdenken ist ziemlich ausgeprägt. Wenn du die Gesetze beherrscht und anwenden kannst, lassen sich zusammengesetzte Logarithmen wie z.B. 3 · log36 - 3 · log32 oder logarithmische Gleichungen leicht berechnen. Ich werde dir mal ein paar Beispiele vorführen und danach darfst du deine Künste ausprobieren..

 
     
 

3 · log36 - 3 · log32 =

3 · (log36 - log32) =

3 · log3(6/2) =

3 · log33 = 3 · 1 = 3

 

2 · log38 - 2 · log32 =

2 · (log38 - log32) =

2 · log3(8/2) =

2 · log34 =

log342 =

log316 =

lg16/lg3 = 2,52

1 + log35 =

log33 + log35 =

log3(3 · 5) =

log315 =

lg15/lg3 = 2,46

 
     
 

Aufgabe 1:

Fasse zu einem Logarithmus zusammen und berechne dann seinen Wert.

Mit Mausklick auf die Teilaufgaben blendest du die Lösungen ein.

 
     
 
a)   b)
     
 
 
     
 
c)   d)
     
 
 
     
 
e)   f)
     
 
 
     
 

Aufgabe 2:

Fasse zu einem Logarithmus zusammen.

Mit Mausklick auf die Teilaufgaben blendest du die Lösungen ein.

 
     
 
a)   b)
     
 
 
     
 
c)   d)
     
 
 
     
 
e)   f)
     
 
 
 

So jetzt wollen wir Exponentialgleichungen mithilfe der Logarithmusregeln lösen. Du erinnerst dich? Wir haben einige auf den vorhergehenden Seiten Logarithmusgleichungen in Exponentialgleichungen umgewandelt, um sie dann graphisch zu lösen. So kannst du natürlich nach wie vor arbeiten. Doch jetzt will ich dir zeigen, wie du Exponentialgleichungen rechnerisch lösen kannst. Auch diese Fähigkeit ist vielleicht in der Abschlussprüfung wichtig.

Achtung, wenn du beide Seiten einer Gleichung logarithmierst, muss sichergestellt sein, dass beide Seiten für alle x positiv sind!

 
     
   
     
  Im rechten Rand findet du Aufgabe 3 mit Exponentialgleichungen, die du auf diese Weise lösen sollst. Wenn du ganz fleißig bist und einen graphischen Taschenrechner besitzt, kannst du die Gleichungen ja auch graphisch lösen und deine beiden Lösungen vergleichen, bevor du dir meine Lösung einblendest.  
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 18:55 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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ax · ay = a(x+y)

Dieses Potenzgesetz kennst du hoffentlich? Es sei

ax = b
ay = c

=> b · c = ax · ay = a(x+y)

dann gilt:

x = logab
y = logac

weiter gilt:

(x+y) = logab + logac

für (x+y) gilt aber auch:

(x+y) = loga(b · c)

=> logab+logac=loga(b · c)

Das war's! Den Beweis für das 2.Logarithmengesetz kannst du sicherlich anhand des 2. Potenzgesetzes

ax / ay = a(x-y)

selber führen.

Kennst du noch das Potenzgesetz?

"Eine Potenz wird potenziert, indem man die Hochzahlen multipliziert."

(ax)c = a(x · c)

Das 3.Logarithmengesetz lässt sich davon ableiten. Sei

(ax)c = bc

x = logab

anderseits gilt aber auch:

demnach gilt:

 

 

Aufgabe 3:

Löse mithilfe der Logarithmusregeln die nachfolgenden Exponentialgleichungen.

Mit Mausklick auf die Gleichung blendest du meine Lösung ein.

 
a)
 
 
 
b)
 
 
c)
 
 
d)
 
 
e)