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Algebra mit Spaß lernen
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Exponential- und Logarithmusfunktionen 7
Graphen von Logarithmusfunktionen
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)
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Tun wir Butter bei die Fisch'! Spielen wir Mäuschen und beobachten die Graphen von Logarithmusfunktionen bei ihrem Tanz und versuchen mehr über ihre Eigenschaften zu erfahren. Aber zunächst einmal ein herzliches Grüß Gott. Willkommen auf dieser Seite.
Du hast ja schon einmal Graphen von Logarithmusfunktionen kennengelernt. Vielleicht solltest du noch einmal die Seite 4 wiederholen. Oderrr? Dort hast du die Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion kennengelernt. Hier auf dieser Seite machen wir es umgekehrt. Dein Wissenststand ist gegenüber Seite 4 gewachsen, denn du kennst inzwischen die Logarithmusgesetze.
Wir also zusammen über die Graphen von Logarithmusfunktionen plaudern. Hierzu habe ich unten das Arbeitsblatt für dich gebastelt. Klicke auf 1, 2 usw. um meine Plaudereinen im Rand einzublenden.
Du kannst das Arbeitsblatt mit der Maus am roten Balken packen und es nach links schieben. Das ist ganz nützlich wenn dein Bildschirm zu klein ist. |
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| Nr. 1 |
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Eigentlich sollten wir gleich anfangen, doch ich weiß, dass du die Finger nicht vom Arbeitsblatt lassen kannst. Also spiele damit.
Du kannst an vier Schiebereglern spielen und an einem Schalter. Mit dem blauen Schieberegler wählst du eine Basis für den Logarithmus aus dem Intervall [0,1; 10]. Mit den beiden roten Schiebereglern stellst du einen Verschiebungsvektor ein. Und k, was ist k? Erinnerst du dich an die Exponentialfunktion? Was war der Faktor k dort?
.
. Pause zum Spielen
.
OK! Fangen wir an. Finden wir heraus was k ist. Dazu stellst du die Schieberegler wie folgt ein:
a = 2
k = 1
xs = 0
ys = 0
So jetzt kannst du für k verschiedene Werte wählen. Beobachte die grüne Strecke. Was ist k? Um welche Abbildung handelt es sich? |
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Nr. 5 |
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c) 
zur Lösung hier klicken... |
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Kannst du die Aufgabe jetzt allgemein lösen?
zur Lösung hier klicken... |
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| Kannst du noch aus einer Logarithmusgleichung eine Exponentialgleichung machen? Diese Fähigkeit benötigst du jetzt um die Gleichung der Umkehrfunktion zu einer Logarithmusfunktion zu berechnen. |
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| Nr. 9 |
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Aufgabe 5:
Berechne die Gleichung der Umkehrfunktion.
Gib für Funktion und Umkehrfunktion den S-Punkt, die Definitions- und Wertemenge und die Gleichung der Asymptoten an.
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| Nr. 10 |
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Aufgabe 6:
Der Punkt A liegt auf dem Graphen zu f. Berechne die fehlende Koordinate.
a) A(4,25/y) und f mit
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b) A(x/-0,5) und f mit
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| Nr. 3 |
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Für die Funktion mit der Gleichung
gilt:
Der Punkt P(1/0) liegt auf allen Graphen.
Der Graph steigt für a > 1 und fällt für a < 1.
 und
Die Gerade x = 0 (y-Achse) ist Asymptote an alle Graphen.
Der S-Punkt ist der Ursprung.
Du weißt doch noch, was der S-Punkt ist? Für ihn gilt die Gleichung:
Wie ändern sich Definitionsmenge, Wertemenge, die Gleichung der Asymptoten und der Punkt P, wenn du den Graphen verschiebst? |
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| Nr. 7 |
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Aufgabe 3:
Gib den S-Punkt, die Definitions- und Wertemenge, die Gleichung der Asymptoten und die Koordinaten des Punktes P an. Berechne die Gleichung der Umkehrfunktion.
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| Nr. 8 |
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Aufgabe 4:
Gib den S-Punkt, die Definitions- und Wertemenge, die Gleichung der Asymptoten und die Koordinaten des Punktes P an. Berechne die Gleichung der Umkehrfunktion.
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| Nr. 6 |
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Aufgabe 2:
Gib den S-Punkt, die Definitions- und Wertemenge, die Gleichung der Asymptoten und die Koordinaten des Punktes P an. Berechne die Gleichung der Umkehrfunktion.
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| Nr. 2 |
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Die Funktion f mit y = log2x wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse auf die Funktion f* mit  abgebildet. Der Affinitätsfaktor ist unser Faktor k.
Die Sache wäre geklärt. Du lässt jetzt beide Vektorkoordinaten auf 0 stehen und stellst den Schieberegler k auf k = 1. Wir wollen uns jetzt mit den Eigenschaften der Funktion f mit der Gleichung y = logax beschäftigen.
Betätige den Schieberegler a und beobachte den Graphen und beantworte folgende Fragen schriftlich:
- Was ist mit dem
Punkt P?
- Für welche a steigt der Graph und für welche fällt er?
- Was ist die Definitionsmenge?
- Was ist die Wertemenge?
- Gibt es Asymptoten?
- Wo liegt der S-Punkt?
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| Nr. 4 |
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Um die letzte Frage beantworten zu können löse folgende Aufgabe.
Aufgabe 1:
Zeichne die Graphen der Logarithmusfunktionen in ein Koordinatensystem. Gib jeweils den S-Punkt, die Definitions- und Wertemenge und die Gleichung der Asymptoten an.
a) 
zur Lösung hier klicken... |
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b) 
zur Lösung hier klicken... |
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Aufgabe 6:
Gegeben ist eine Funktion f1 mit der Gleichung  .
a) Zeichne den Graphen zu f1 in ein Koordinatensystem.Gib die Definitions- und Wertemenge sowie die Gleichung der Asymptoten an.
b) Der Graph zu f1 wird durch Parallelverschiebung mit  auf den Graphen zu f2 abgebildet. Ergänze im Koordinatensystem zu a) den Graphen.
c) Berechne die Gleichung von f2. Bestimme die Definitions- und Wertemenge. Gib die Gleichung der Asymptoten an.
d) Die Graphen zu f1 und f2 schneiden sich in einem Punkt P. Berechne seine Koordinaten,
e) Spiegelt man den Graph zu f1 an der Geraden mit y = x, so erhält man den Graphen der Umkehrfunktion f1-1. Ergänze die Zeichnung mit den Graphen und berechne die Gleichung von f1-1.
Klicke auf 1, 2 usw. um im Rand meine Plaudereien einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
Es ist aus Trainingsgründen wichtig, dass du hin wieder auch einen Graphen aus eigener Kraft zu Papier bringst.
Also stelle bitte mit deinem GTR eine Wertetabelle auf und zeichne den Graphen. Na gut, ich zeige es dir noch einmal.
Du gehst ins Menü TABLE
Du musst die Basis auf den Zehnerlogarithmus umrechnen. Das darfst du bei keiner Logarithmusfunktion vergessen.
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| Nr. 6 |
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d)
Schnittpunkte von Funktionsgraphen berechnest du durch Gleichsetzen der Funktionsterme.
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| Nr. 5 |
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Aus der Vektorgleichung machst du jetzt ein Gleichungssystem.
Du löst die erste Gleichung nach x auf.
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| Nr. 4 |
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Methode "Schnell, kurz und bündig"
Du verschiebst den S-Punkt von f1 mit dem Verschiebungsvektor. Die Koordinaten des Bildpunktes S' setzt du dann in die S-Punktform der Logarithmusfunktion ein. Es funktioniert wie die Parallelverschiebung einer Parabel.
Parameterverfahren
Beim Parameterverfahren bildest du einen allgemeinen Punkt P  f1 ab.
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| Nr. 7 |
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weiter d)
e)
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| Nr. 2 |
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Bevor du dir die Wertetabelle anzeigen lässt, musst du natürlich noch den Bereich einstellen. Fange mit dem x-Wert an, der den Definitionsbereich festlegt, die x-Koordinate des S-Punktes.
Im Untemenü von TABLE wählst du RANG (=range engl. Bereich). Du gibst einen Start- und einen End-Wert an, dazu die Schrittweite "pitch". Dann lässt du dir die Wertetabelle anzeigen.
Diese Wertetabelle taugt für den Bereich zwischen 1 und 2 nicht. Hier brauchst du eine 2. Tabelle mit z.B. einem "pitch" von 0,2. Alles klar? |
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| Nr. 3 |
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Zur Bestimmung von Definitions- und Wertemenge sowie der Gleichung der Asymptoten liest du aus der Gleichung den S-Punkt ab.
b) und c)
Gedacht ist hier wohl, dass du den Graphen Punkt um Punkt parallel verschiebst. Ich halte es für besser, du bestimmst die Gleichung von f2, erzeugst dann damit eine Wertetabelle und zeichnest den Graphen.
Ich weiß, die Lehrbücher nennen mit Vorliebe das Parameterverfahren für die Berechnung von Bildgleichungen und viele meiner Kollegen folgen dem unsinnigerweise.
Ich zeige dir eine babyleichte Methode und dann auch das Parameterverfahren. Entscheide selber, was sinnvoller ist. |
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Aufgabe 7:
Die Funktion f ist festgelegt durch  ind er Grundmenge  .
a) Bestimme Definitions- und Wertemenge und zeichne den Graphen zu f in ein Koordinatensystem.
b) Der Graph zu f wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor  auf denGraphen zu f' abgebildet. Ergänze die Zeichnung und zeige rechnerisch, dass gilt: f' mit  .
c) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes T der beiden Graphen. Runde auf auf zwei Stellen nach dem Komma.
d) Die Punkte Pn und Qn liegen auf dem Graphen zu f und f' und besitzen die gleiche y-Koordinate. Für die Länge der Strecken [PnQn] gilt: 
Zeichne zunächst einige Strecken mit Pnf mittels Probiern und konstruiere dann die gesuchten Punkte.
e) Berechne die Koordinaten der Punkte Pn und Qn.
Klicke auf 1, 2 usw. um im Rand meine Plaudereien einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
In Aufgabe 6 habe ich die gezeigt, wie du den Graphen einer Logarithmusfunktion mittels einer Wertetabelle deines GTR zeichnen kannst. Ich wiederhole mich hier nicht.
b)
Du verschiebst den S-Punkt (siehe Aufgabe 6).
c)
Du setzt die Funktionsterme gleich. |
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| Nr. 2 |
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| weiter c)
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| Nr. 3 |
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| d)
Wenn du beide Schieberegler links einschaltest und den roten Punkt mit der Maus ziehst, siehst du die Lösungsidee.
e)
Du verschiebst zunächst den Graphen von f um 2 LE in Richtung der x-Achse. Der Bildgraph hat die Gleichung:
Diesen Bildgraph schneidest du mit f':
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| Den Punkt Q2 schaffst du alleine (nach links schieben!). |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 18:55
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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