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Algebra mit Spaß lernen
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Skalarprodukt von Vektoren 3
Übungen II zu "Senkrechte Vektoren"
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)
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Aufgabe 1
Berechne den Abstand des Punktes P(5/1) von der Geraden g mit der
Gleichung
y = 2x +1.
Es ist wie immer. Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Lösung schrittweise im rechten Rand einzublenden. |
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| Nr.1 |
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Bevor ich auf die Aufgabe eingehe möchte ich dir erklären, was du alles mit dem Arbeitsblatt links anfangen kannst.
Du kannst die Gerade g mit der Maus packen (anklicken und Maustaste gedrückt halten) und sie als Ganzes verschieben. Die Steigung ändert sich dabei nicht.
Du kannst aber auch die beiden kleinen blauen Punkte auf der Geraden g mit der Maus packen und verschieben. Damit änderst du sowohl die Steigung und den y-Achsenabschnitt.
Und du kannst natürlich den Punkt P mit der Maus versetzen.
Den ursprünglichen Zustand des Arbeitsblattes stellst du wieder her, wenn du im rechten oberen Eck auf die blauen Pfeile klickst. Alles klar?
Kommen wir zur Lösung:
Der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g hat die Koordinaten Q(x/2x+1). Berechne den Vektor  .
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| Nr.2 |
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Für den Vektor gilt:
Um das Skalarprodukt ansetzen zu können, brauchst du noch einen Steigungsvektor  von der Geraden g. Erinnere dich, wie du aus einem Steigungsvektor die Steigung m berechnest.
mit 
Du wählst also für deinen Steigungsvektor immer die x-Koordinate x=1 und die y-Koordinate y=m.
Die beiden Vektoren und stehen aufeinander senkrecht. Setze das Skalarprodukt an. |
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| Nr.3 |
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Damit gilt für den Vektor und seine Länge:
Erstens kannst du dir mit dem Arbeitsblatt unendlich viele eigene Aufgaben stellen und zweitens habe ich für dich in der nächsten Einblendung die nächste Aufgabe. |
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| Nr.4 |
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Aufgabe 2
Berechne den Abstand des Punktes P von der
Geraden g.
a) P(3/4); g: y = 0,5x - 1
b) P(-2/3); g: y =-x - 1
c) P(-1/-2,5);
g: y = 0,25x+2
d) P(3/1); g: y =-0,5x -1
e) P(4/4); g: y = -1,5x +2
f) P(5/3); g: y = -2x - 4
g) P(3/-4); g: y = 3x + 1
h) P(-4/-6);
g: y = -0,6x + 2
Kontrolliere deine Ergebnisse mit Hilfe des Arbeitsblattes.
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Aufgabe 3
Der Punkt A ist Eckpunkt eines Quadrats ABCD, dessen Eckpunkte C und D auf der Geraden g liegen.
Es gilt: A(1,5/0,5); g mit y = -0,2x + 6
Konstruiere das Quadrat, berechne seinen Flächeninhalt und die Koordinaten der Punkte B, C und D.
Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Lösung schrittweise im rechten Rand einzublenden. |
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| Nr. 3 |
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Mit C(x/-0.2x+6) gilt:
Das x in diesem Vektor ist die x-Koordinate des Punktes C. Jetzt stellst du die Länge des Vektors  in Abhängigkeit von diesem x dar.
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Damit kannst du jetzt folgende Gleichung aufstellen:
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| Eine solche Gleichung löst du, indem du beide Seiten quadrierst. Aber hierbei Vorsicht! Warum! |
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| Nr. 5 |
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| Jetzt musst du noch begründen warum x2=-2,5 keine Lösung ist. Setzt du es in den Wurzelterm ein, ist der Termwert unter der Wurzel "26", also nicht negativ. Dennoch ist es keine Lösung. Warum? Die algebraische Begründung hilft dir hier nicht weiter. Du musst es geometrisch begründen! Für diese Lösung ist der Umlaufsinn des Quadrats falsch. |
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| Nr. 4 |
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Du hast links einen Wurzelterm und rechts auch. Wenn du beide Seiten quadrierst erhältst du eine quadratische Gleichung. Diese hat möglicherweise zwei Lösungen. Aus deiner Konstruktion weißt du, dass es aber nur einen Punkt C gibt. Was sagt dir das?
Das Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung!
Du fügst möglicherweise durch das Quadrieren einer Wurzelgleichung eine Lösung hinzu, die nicht Lösung der ursprünglichen Wurzelgleichung ist.
Du weißt doch noch, der Term unter der Wurzel darf für keine Belegung von x einen negativen Wert annehmen.
Du musst also die Lösungen der quadratischen Gleichung in die ursprüngliche Wurzelgleichung einsetzen und auf ihre Tauglichkeit überprüfen. |
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| Nr. 1 |
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Klicke im Arbeitsblatt unten auf den Button Abspielen, dann kannst du die Entstehung der Konstruktion beobachten.
Von A aus fällst du das Lot auf die Gerade g. Jetzt gilt es zunächst einmal die Koordinaten des Punktes D zu berechnen. Als Werkzeug kannst du das Skalarprodukt oder die Steigungsformel benutzen.
Mit D(x/-0,2x + 6) gilt:
Um das Skalarprodukt ansetzen zu können, brauchst du noch einen Steigungsvektor der Geraden g.
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| Nr. 2 |
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Es gilt:
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Der Vektor hat dieselbe Länge! |
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Aufgabe 4
Die Punkte A(-4/-2) und B(4/0) sind Eckpunkte einer Schar von Dreiecken ABCn.
Die Eckpunkte Cn liegen auf einer Geraden g mit der Gleichung
y = 0,5x + 2,25.
Unter den Dreiecken ABCn gibt es vier rechtwinklige Dreiecke. Berechne die Koordinaten der zugehörigen Eckpunkte Cn mit Hilfe des Skalarprodukts geeigneter Vektoren.
Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Lösung schrittweise im rechten Rand einzublenden. |
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| Nr.1 |
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Links kannst du dir die Lösungen ansehen. Es darf aber immer nur ein Schalter eingeschaltet sein.
Lösung 1 und 2
Mit C(x/0,5x+2,25) gilt:
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| Nr.4 |
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Als werkzeug hättest du auch die Steigungsformel oder sogar den Pythagoras benutzen können. Mit dem Pythagoras wäre der echnerische Aufwand groß gewesen und damit auch die Gefahr groß gewesen rechenfehler zu machen. Probiere es ruhig einmal. |
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Aufgabe 5
Die Punkte B und C sind Eckpunkte eines Dreiecks ABC. F ist der Fußpunkt der Höhe ha.
Es gilt: B(4/0); C(-2/4); F(-0,5/3): ha = 3,6 LE
Zeichne das Dreieck ABC in ein Koordinatensystem und berechne die Koordinaten des Punktes A.
Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Lösung schrittweise im rechten Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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Klicke auf Abspielen und schaue dir die Entstehung der Konstruktion an.
Zunächst musst du die Gleichung der Geraden AF bestimmen. Die Steigung von AF berechnest du mittels der Steigungsformel aus der Steigung von BC.
Damit gilt für AF:
Um den y-Achsenabschnitt t zu berechnen setzt du den Punkt F in diese Gleichung ein.
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| Nr. 4 |
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Meine Schüler dürfen quadratische Gleichungen, überhaupt Gleichungen, mit ihrem CASIO-GTR lösen. Entweder machen sie es mit Nullstellenbestimmung im GRAPH-Menü oder sie benutzen den Gleichungslöser im EQUA-Menü. Der Lösungsweg im GTR muss natürlich dokumentiert werden.
Bei Nullstellenbestimmung wäre die Dokumentation:
GRAPH-F6-F5-F1
und beim Gleichungslöser:
EQUA-F2-F1-F1
Du fragst, wo das Skalarprodukt geblieben ist. Wir haben es nicht benutzt. Man hätte es aber benutzen können um die Geradengleichung von AF aufzustellen. Wie das geht, will ich dir noch zeigen.
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| Nr. 3 |
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Mit ha = 3.6 LE gilt:
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| Nr. 2 |
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Du hättest natürlich auch die Punktsteigungsform der Geradengleichung verwenden können.
Jetzt berechnest du die Länge dieses Vektors in Abhängigkeit von x.
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| Nr. 5 |
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Mit A(x/y) gilt:
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Diese Seite wurde zuletzt am
Sonntag 20 September, 2009 1:11
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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