Skalarprodukt von Vektoren 4 - Übungen III zu Senkrechte Vektoren

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Skalarprodukt von Vektoren 4
Übungen III zu "Senkrechte Vektoren"
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)

Aufgabe 1

Die Punkte Q_n(x/0) liegen auf der x-Achse. die Punkte P_n(x/y) haben die gleiche Abszisse x wie die Punkte Q_n. Die Strecken [AP_n] und [AQ_n] sollen zueinander orthogonal verlaufen.

Es gilt: A(3/3)

a) Zeichne die Strecken [A P_n] und [AQ_n] für x = 5, x = 7 und x = 2 in ein Koordinatensystem ein.

b) Zeige durch Rechnung, dass für die Punkte P_n(x/y) folgender Zusammenhang zwischen der x-Koordinate und der y-Koordinate besteht:

c) Zeichne den Trägergraphen der Punkte P_n in die Zeichnung zu a) ein.

Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösung am rechten Rand neben dem Arbeitsblatt einzublenden.

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Nr. 1

Den roten Punkt Q_n links kannst du mit der Maus auf der x-Achse verschieben. Schau dir an was passiert.

Abszisse <=> x-Wert

orthogonal <=> senkrecht stehen

Du stellst die beiden orthogonalen Vektoren und in Abhängigkeit von der x-Koordinate des Punktes Q_n auf.

Die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander, demnach gilt für das Skalarprodukt:

Nr. 2

Aufgabe 2

Die Punkte A(-4/1) und B(2/-3.5) sind Eckpunkte eines Rechtecks ABCD mit .

Konstruiere das Rechteck und berechne die Koordinaten der Punkte C und D.

Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösung am rechten Rand neben dem Arbeitsblatt einzublenden.

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Nr. 1

Klicke unten auf "Abspielen" und du kannst dir die Entstehung der Konstruktion ansehen.

Um die Koordinaten des Punktes D(x/y) zu berechnen, stellst du den Vektor auf, dabei gilt:

Der Punkt D liegt auf der Geraden AD. Deren Geradengleichung benötigst du zuerst. Es gilt:

Als Werkzeug kannst du die Steigungsformel oder das Skalarprodukt verwenden. Ich verwende diesmal das Skalarprodukt.

Nr. 3

Nr. 2

Es gilt:

Nr. 4

Die Koordinaten des Punktes C lassen sich jetzt sehr schnell mit einer Vektorkette berechnen.

Dabei gilt:

Aufgabe 3

Die Vektoren und legen Dreiecke
AB_nC_n fest.

Es gilt: A(2/0);

a) Zeichne die Dreiecke AB₁C₁, AB₂C₂ und AB₃C₃ für und in ein Koordinatensystem.

b) Das Dreieck AB₄C₄ ist rechtwinklig mit . Berechne das zugehörige Maß von mit Hilfe des Skalarprodukts.

c) Gibt es weitere rechtwinklige Dreiecke? Zeige durch Rechnung.

Klicke unten auf 1,2 usw. um meine Lösungen am rechten Rand einzublenden. Ist dein Bildschirm nicht groß genug, dann kannst du das Arbeitsblatt am roten Balken mit der Maus packen und nach links schieben.

Nr. 1

zu a)

Um die Dreiecke zu zeichnen trägst du im Fußpunkt A beider Vektoren den Steigungswinkel an. Die Länge der Vektoren liegt fest.

Mit dem roten Schieberegler kannst du beliebige Winkel aus dem Definitionsbereich [0°; 360°] auswählen. Probiere es aus und schaue was passiert.

zu b)

mit

gilt:

Nr. 3

weiter b)

Bei der Gleichung unten ist absolut sauberes Arbeiten erforderlich, sonst machst du Lese- oder Abschreibfehler.

Wenn du richtig ausklammerst, wird sich die Gleichung rasch vereinfachen lassen.

Die eckige Klammer hat den Wert 1. Du erinnerst dich doch hoffentlich noch an die Quadratbeziehung? Damit gilt:

Nr. 2

weiter b)

Entweder rechnest du den Vektor auf halbes Winkelmaß um oder du bringst den Vektor auf doppeltes Winkelmaß. Ich wähle Ersteres. Mit

gilt:

Nr. 4

Da unsere Gleichung nur eine Lösung im Definitionsbereich gehabt hat, gibt es auch nur ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei A. Aber wie ist es mit B_n und C_n? Ist dort ein rechter Winkel möglich?

Wenn es ein weiteres rechtwinkliges Dreieck gibt, dann muß der rechte Winkel an der Ecke B_n zu finden sein. Warum?

Weil im Dreieck der größere Winkel immer der größeren Seite gegenüberliegt.

Wir finden es heraus, wenn wir ein Skalarprodukt ansetzen. Dazu benötigen wir den Vektor . Wir berechnen ihn mit einer Vektorkette.

Du erinnerst dich doch hoffentlich noch, was mit einem Vektor passiert, dessen Pfeilrichtung du umkehrst.

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Nr. 5

weiter c)

Jetzt kannst du das Skalarprodukt ansetzen.

Aus der Formelsammlung: Mit und

sowie
formst du wie folgt um.

Aufgabe 4

Die Vektoren und spannen Parallelogramme OP_nQ_nR_n auf.

Es gilt: O(0/0);

a) Berechne die Koordinaten der Pfeile und für und . Zeichne die zugehörigen Parallelogramme in ein Koordinatensystem ein.

b) Bestimme den Trägergraph der Punkte P_n. Trage ihn in die Zeichnung zu a) ein.

c) Für welche Werte von gibt es Rechtecke OP_nQ_nR_n? Berechne mit Hilfe des Skalarprodukts und trage die Rechtecke in die Zeichnung zu a) ein.

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Nr. 1

zu a)

Die Koordinaten der Vektoren kannst du dem Arbeitsblatt entnehmen.

zu b)

Wenn du den Schieberegler für betätigst, wird dir auch der Trägergraph für die Punkte P_n gezeichnet. Es ist im Definitionsbereich ein Stück einer Parabel. Mit dem Parameterverfahren eleminierst du den Parameter .

Nr. 2

zu c)

Mit dem Schieberegler siehst du, dass es zwei Rechtecke gibt. Dieses spricht für die Lösung einer quadratischen Gleichung. Packen wir es an.

Nr. 3

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