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Algebra mit Spaß lernen
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Skalarprodukt von Vektoren 6
Beliebige Vektoren II
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)
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Aufgabe 1
Zeichne die Kreise k1 und k2 mit dem Radius r = 3,5 cm, die die Gerade g mit der Gleichung y = -0,25x + 3 im Punkt P(2/2,5) berühren. Ermittle die Gleichungen der Mittelpunkte M1 und M2.
Klicke unten auf 1, 2 und 3 usw. um meine Lösung im rechten Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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Am unteren Rand des Arbeitsblattes findest du einen Player mit dem du die Konstruktion abspielen kannst. Stelle den Player auf "Anfang" und klicke dann auf Abspielen.
Die Gerade g ist Tangente an beide Kreise. Der Berührradius steht auf der Tangente senkrecht, d.h. die Gerade M1M2 steht auf der Geraden g senkrecht.
Berechnen wir zuerst die Koordinaten vom Mittelpunkt M2(xM2/yM2). Du hast zwei Variable zu berechnen. Dazu brauchst du zwei Gleichungen. Zunächst einmal stellst du den Vektor  auf.
Um das
Skalarprodukt = 0
für senkrecht stehende Vektoren anwenden zu können, brauchst du noch einen Steigungsvektor der Geraden g.
Die zweite Gleichung erhältst du mit
|| = 3,5.
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| Nr. 3 |
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x1 ist der x-Wert von M1 und x2 ist der x-Wert von M2. Falls du daran zweifelst berechne aus P und M2 einen Vektor und bestimme die Koordinaten von M1 mittels einer Vektorkette.
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Aufgabe 2
Die Punkte Cn einer Schar von Dreiecken ABCn liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y = -0,5x + 5.
Es gilt: A(0/1); B(6/-1)
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| a) |
Zeichne das rechtwinklige Dreieck ABC1 mit  = 90°. Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C1. |
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| b) |
Im Dreieck ABC2 beträgt das Maß des Winkels des Winkels BAC2 45°. Berechne die Koordinaten des Punktes C2. |
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| Nr. 1 |
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a)
=90° => Der Wert des Skalarprodukts beträgt 0.
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Aufgabe 3
Die Pfeile  und  legen Dreiecke ABnCn fest.
Es gilt: 
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| a) |
Zeichne die Dreiecke AB1C1 und AB2C2 für  in ein Koordinatensystem. |
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| b) |
Begründe: Die Längen der Seiten [ABn] haben ein konstantes Maß. |
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| c) |
Unter den Dreiecken gibt es zwei gleichschenklige Dreiecke mit [BnCn] als Basis. Berechne  für diese Dreiecke. Runde auf eine Stelle nach dem Komma. |
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| d) |
Zeige mit Hilfe von c), dass es kein gleichseitiges Dreieck ABnCn gibt. |
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| e) |
Unter den Dreiecken ABnCn gibt es rechtwinklige Dreiecke mit  . Berechne für diese Dreiecke auf eine Stelle nach dem Komma. |
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| f) |
Zeige, dass sich der Flächeninhalt A() der Dreiecke ABnCn in Abhängigkeit von folgendermaßen darstellen lässt:
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| g) |
Für welche Belegung von beträgt der Flächeninhalt eines Dreiecks 8 FE? berechne und runde auf eine Stelle nach dem Komma. |
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| h) |
Welche Extremwerte kann der Flächeninhalt annehmen? |
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| Nr. 1 |
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a)
Du kannst dir mit dem Schieberregler 181 verschiedene Dreiecke zeichnen, da die Schrittweite 1° ist.
Lese die Aufgabenstellung zweimal aufmerksam durch und spiele dann mit dem Arbeitsblatt. Du siehst dann wohin der Hase läuft und kannst ihm Pfeffer und Salz auf den Schwanz streuen um ihn zu fangen.
Für deine Zeichnung auf Papier hier die notwendigen Vorarbeiten. |
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b)
Dass die Punkte Bn sich auf einem Kreis bewegen, siehst du. Du bestimmst die Länge des Vektors  . |
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| Nr. 9 |
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weiter g)
Dein Casio-GTR bietet dir für die graphische Darstellung von Funktionen drei verschiedene Koordinatensysteme an. Du kannst im Untermenü des V-Window (Funktionstatste F3) wählen zwischen INIT, TRIG und STD.
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Du gelangst dorthin, wenn du zunächst mit F6 eine Funktion zeichnen lässt und dann F3 wählst. Das Koordinatensystem INIT brauchst du eigentlich nicht. Das Koordinatensystem STD (Standard) verwendest du für Funktionen in Abhängigkeit von x. Für trigonometrische Funktionen musst du aber das Koordinatensystem TRIG wählen. |
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Nr. 8
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weiter g)
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Alles hängt vom Wert der Klammer ab. Der Wert eines Bruches ist dann am kleinsten, wenn der Nenner am größten ist. Der größtmögliche Sinuswert ist 1 für = 90°. Der Wert der Klammer ist dann am kleinsten, nämlich -4.
Mit sin² 90° = 1 ist das Minimum des Gesamtterms 10-4=6.
Ich gebe ja zu, das Ganze wirkt etwas tricky. Es ist aber korrekt argumentiert.
Es gilt demnach:
Und jetzt zeige ich den bayerischen Realschülern wie man mittels des TRIG-Koordinatensystems im Casio-GTR Minima und Maxima von Trig-Graphen ermittelt. |
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| Nr. 7 |
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weiter g)
Den Kniff, den ich dir jetzt zeige, hat mir auch jemand gezeigt. Wenn du von alleine darauf gekommen bist, dann bist du gut, wirklich gut. Schauen wir uns den Term an.
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Wie du siehst, habe ich  aus dem Teilterm ausgeklammert. Zu der Zahl 10 hinten wird entweder etwas addiert oder etwas subtrahiert. Den größtmöglichen Wert, der addiert wird, haben wir schon bestimmt. Es sist 0,9.
Aber was ist der größtmögliche Wert der subtrahiert wird? Das Quadrat vor der Klammer ist immer positiv. Also hängt alles vom Wert der Klammer ab. Zur Zahl
-10 wird immer etwas addiert. Für welchen Winkel wird der kleinste Wert zu -10 addiert? |
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| Nr. 6 |
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weiter g)
- Du versuchst mit einer Wertetabelle das Minimum herauszufinden.
- Du behandelst den Term als trigonometrischen Funktionsterm und bestimmst Minimum und Maximum im GRAPH-Menü deines Casio-GTR.
- Du machst es wie die alten Griechen und löst das Problem durch tiefes Nachdenken.
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| Ohne einen graphischen Taschenrechner, der dir eine Wertetabelle erzeugt ist die Lösung mit Wertetabelle eine sehr mühsames Verfahren. Hast du aber einen graphischen Taschenrechner und darfst ihn auch benutzen, dann ist die Lösung durch Extremwertbestimmung im GRAPH-Menü die schnellste Methode. Den bayerischen Schülern zeige ich das nachher. Den anderen bleibt nur die Methode der alten Griechen: Tiefes, tiefes Nachdenken. |
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| Nr. 5 |
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g)
Der Term für den Flächeninhalt aus f) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitel stellt den Extremwert, ein Maximum, dar. Wenn du links den schieberegler betätigst kannst du schon einmal grob dein Ergebnis abschätzen. |
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| Mit dem Schieberegler kannst du feststellen, dass der Flächeninhalt im Definitionsbereich auch einen kleinsten Wert hat. Mit der normalen Extremwertbestimmung kommst du ihm nicht bei. Du hast drei Möglichkeiten dem Problem Herr zu werden. |
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| Nr. 4 |
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weiter e )
Wenn du eine Gleichung durch einen Term mit einer Variablen dividierst, musst du sicherstellen, dass der Divisor nicht 0 ist. Ich habe also die Gleichung mit  dividiert. Hinterher musst du diesen Fall noch gesondert untersuchen.
Du hättest natürlich auch  ausklammern können. Dann hättest du ein Produkt erhalten, dessen Wert 0 ist. Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
f)
Du sollst eine Dreiecksfläche im Koordinatensystem berechnen, das durch zwei Vektoren aufgespannt wird. Das schreit förmlich nach dem Determinantenverfahren. |
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| Nr. 3 |
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d)
Du berechnest für  bzw.  die Länge der Strecke [BnCn]. Die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks müsste 4 LE betragen. |
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Die gleiche Berechnung machst du jetzt noch einmal für . Ich erspare mir das.
e)
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss gleich 0 sein. |
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Eine 3. Lösung erhältst du für  . |
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| Nr. 2 |
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weiter b ) |
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Du wirst immer wieder erleben, wie nützlich die Quadratbeziehung  ist.
c)
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| Nr. 10 |
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weiter g)
Also du gibst folgende Trig-Funktion ein. Achte auf meine Schreibweise: |
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Mit F6 lässt du dir die Funktion darstellen. Falls das Standard-Koordinatensystem eingestellt ist, siehst du nur Mist. Mit F3 wählst du V-Window und wechselst dort zum Koordinatensystem TRIG.
Du stellst deinen Definitions- und Wertebereich ein und kehrst zurück um mit F5 Min und Max zu bestimmen.
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 26 Juli, 2011 11:48
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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