Figurine12
 
 
Hochzeitsbilder,
die sich von der Masse unterscheiden, dafür setzt Lisa Feldmann Kreativität, Natürlichkeit und eine ausdrucksstarke Bildsprache ein.
www.just-married-foto.de
 

Besuchen Sie auch meine anderen Projekte:

Meine Gedichte
www.oqqa.de

Genealogie
www.qoqa.de

Postgeschichte
www.bayernsammler.de

 
 
 
 
 
 
 
Algebra mit Spaß lernen

 

Abbildungen II - Seite 1
Drehung
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)


 
 

Du hast es bald geschafft. Grüß Gott! Das Schuljahr hat mit Abbildungen angefangen und es endet mit Abbildungen. Genau gesagt ging es am Anfang des Schuljahres um Abbildungsgleichungen und am Ende des Schuljahres geht es wiederum um Abbildungsgleichungen. Du hast im September/Oktober letzten Jahres neu gelernt bzw. wiederholt, wie man bei der Parallelverschiebung, der Zentrischen Streckung und der Orthogonalen Affinität aus den Koordinaten der Urpunkte mit Hilfe von Abbildungsgleichungen die Koordinaten der Bildpunkte berechnet, und natürlich auch umgekehrt. Jetzt kommen die Drehung und die Achsenspiegelung dazu.

Warum man das erst am Ende des Schuljahres macht? Du brauchst für die Abbildungsgleichungen bei Drehung und Achsenspiegelung die Trigonometrie. Erinnerst du dich noch an die Abbildungsgleichungen bei der Parallelverschiebung, der Zentrischen Streckung und der Orthogonalen Affinität? Lass sie uns erst noch einmal wiederholen.

Unten ist ein Auswahlmenü zum Klicken.

 
     
 
Parallelverschiebung
Zentrische Streckung
Orthogonale Affinität
mit x-Achse als Affinitätsachse
 
 

 

 
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)  

Du kannst mit der Maus den blauen Urpunkt P versetzen und du kannst mit den roten Schiebereglern den Verschiebungsvektor ändern.

Grundsätzlich gibt es bei der Parallelverschiebung drei Formen der Abbildungsgleichung:

  1. Die Vektorform
  2. Die Koordinatenform
  3. Die Matrixform

Was eine Matrixform ist erkläre ich dir später. Sie wäre aber hier "mit verknoteten Armen von hinten durch die Brust geschossen". Für die Parallelverschiebung brauchst du sie nicht. Außer ein Alien-Mathe-Lehrer verlangt sie von dir.

Die Koordinatenform brauchst du. Deswegen sei sie hier gezeigt:

Koordinatenform:

Bei der Parallelverschiebung geht es immmer um 3 Objekte: Urpunkt, Bildpunkt und Verschiebungsvektor. Zwei davon kennst, das 3. Objekt sollst du berechnen. Aus der Vektorform der Abbildungsgleichung musst du dabei des Öfteren die Koordinatenform entwickeln.

 
     
 

So jetzt will ich dir endlich erklären was eine Matrix ist. Wenn ich die lange Version wähle, müsste ich hier ein Lehrbuch über Matrizenalgebra schreiben. Die Kurzversion deines Lehrbuches ist nicht einmal ein Kochrezept, sondern nur eine Tütensuppe, die du nur noch mit Wasser zum Kochen bringen musst. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema (es kann auch quadratisch sein), wie z.B. die folgenden Matrizen:


 
 
       
                 
3x3-Matrix
2x3-Matrix
2x1-Matrix
1x4-Matrix
2x2-Matrix
 
     
 

Genau wie bei den Vektoren gibt es bei den Matrizen eine Addition. Und sie funktioniert genau wie bei den Vektoren:

Die Addition gibt es allerdings nur, wenn die Matrizen vom gleichen Typ sind. Du kannst also eine 2x2-Matrix nur zu einer 2x2-Matrix addieren. Eine 2x3-Matrix lässt sich nicht zu einer 2x1-Matrix addieren.

Und es gibt eine Matrizenmultiplikation, und die gibt es bei Vektoren nicht. Sonst könnte man ja einen Vektor glatt für eine Matrix halten. OK, Vektoren sind den Matrizen seelenverwandt, aber nicht dasselbe. Doch wenn du einen Vektor mit einer Matrix multiplizierst, tut er wirklich so als wäre er eine Matrix. Er steht auf Matrizen.

Ich zeige dir jetzt, wie man eine 3x3-Matrix mit einer 3x1-Matrix multipliziert. Wenn du meine Multiplikation betrachtest, dann überlege dir warum die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Also warum kannst du die Faktoren nicht vertauschen?

Du kombinierst die erste Zeile der linken Matrix mit der ersten Spalte der rechten Matrix. Na gut, da hast du nur eine Spalte. Dann kombinierst du die zweite Zeile der linken Matrix mit der ersten Spalte der rechten Matrix. Na gut, du hast nur eine Spalte. Letztlich kombinierst du die dritte Zeile der linken Matrix mit der ersten Spalte der rechten Matrix. Na gut, ich gebe ja schon Ruhe. Aber wenn die rechte Matrix 2, 3 oder "wer weiß was ich" für viele Spalten hat, dann müsstest du die Multiplikation Spalte für Spalte durchführen.

Hier habe ich eine 3x3-Matrix von rechts mit einer 3x1-Matrix multipliziert, und das Ergebnis ist eine 3x1-Matrix. Wenn du eine 3x3-Matrix von rechts mit einer 3x5-Matrix multiplizierst, bekommst du als Ergebnis eine 3x5-Matrix.

Erinnert dich das nicht an irgend etwas? Kommt dir das nicht bekannt vor?

Wir schreiben bei uns an der Realschule unsere Vektoren als Spaltenvektoren. Man könnte sie aber auch als Zeilenvektoren schreiben. Stell dir einmal vor, dass die linke Matrix aus Zeilenvektoren besteht und die rechte Matrix aus Spaltenvektoren. Was machst du dann eigentlich bei der Matrizenmultiplikation? Also was machst du?

Du bildest das Skalarprodukt zwischen den linken Zeilenvektoren und den rechten Spaltenvektoren. Kannst du jetzt die Frage beantworten, warum es bei der Matrizenmultplikation kein Kommutativgesetz gibt?

Die linke Matrix muss so viele Spalten haben, wie die rechte Matrix Zeilen hat. Die Matrizen müssen aneinander passen wie Dominosteine. Selbst bei der Multiplikation von quadratischen Matrizen, also z.B. 2x2-Matrizen ist das Ergebnis unterschiedlich, wenn du die Faktoren vertauschst.

Bei unseren Abbildungen gibt es nur quadratische 2x2-Matrizen und die stehen immer links vor dem Vektor. Und unsere Vektoren sind immer 2X1-Vektoren (oder auch 2x1-Matrizen). Und ich verrate dir jetzt sofort ein tiefes Geheimnis, selbst wenn du mein Geschmarri über die Matrizenmultiplikation nicht verstanden hast, wirst du das Nachfolgende begreifen. Für dich ist dann eine Matrix, z.B. eine Drehmatrix, nur eine Maschine, die einen Vektor verhackstückt, sozusagen ein Vektorfleischwolf. Du weißt nicht was ein Fleischwolf ist? OOOhhhuuuuuuh! Beschäftige dich unten mit dem Arbeitsblatt. Dort zeige ich die Drehmatrix als Verhackstückmaschine.

Mit Mausklick auf 1,2, 3 usw. unten blendest du im Rand meine Plaudereien ein.

 
     
 
1
2
3
4
5
6
 
     
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)  
 
 

 

 
 

Aufgabe 2

Die Punkte Pn(x/y) auf der Geraden g mit y = 0,5x + 2,5 werden durch Drehung um O(0/0) mit dem Winkelmaß =53,13° auf die Punkte Pn'(x'/y') abgebildet.

a) Stelle die Punkte Pn'(x'/y')in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Pn dar.

[Ergebnis: P'(0,2x-2/1,1x + 1,5)]

b) Zeige, dass der Trägergraph der Punkte Pn' und damit die Gerade g' folgende Gleichung hat:

g': y = 5,5x + 12,5

Eine Zeichnung ist hier nicht erforderlich. Aber du könntest natürlich eine machen. Eigentlich handelt es sich aber nur um die Drehung eines allgemeinen Punktes Pn(x/0,5x + 2,5) um den Ursprung.

Lösung mit Mausklick einblenden hier...

 
     
   
     
 
 
 
     
 
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 26 Juli, 2011 11:58 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

Free counter and web stats