Wie du eine Drehung um ein beliebiges Drehzentrum Z zeicherisch durchführen musst, das weißt du hoffentlich. Aber wie läuft das Ganze rechnerisch?

Wenn du ein wenig mit dem Arbeitsblatt links spielst, dann wette ich, dass du von selbst drauf kommst.

Mit dem grünen Schieberegler kannst du einen Drehwinkel zwischen 1° und 100° festlegen. Hätte ich mehr zugelassen, wäre mein Arbeitsblatt zu groß geworden.

Und du kannst das Drehzentrum Z und den Urpunkt P mit der Maus versetzen.

Wie berechnest du die Koordinaten des Bildpunktes P' bei einer Drehung um Z mit dem Drehwinkel ?

1. Schritt:

Du berechnest die Koordinaten des Vektors. Diese Vektorkoordinaten gibst du dem Punkt Q.

Mittlerweile gibt es bei Casio ein Nachfolgemodell, den

CASIO fx-9750GII

Der Unterschied zum Vorgänger liegt im veränderten Hauptmenü. Es gibt keinen Extra-Menüpunkt MAT mehr. RUN und MAT wurden zusammengelegt.

Das RUN-Display schaut so aus:

Mit der Funktionstatste F1 kommst du in das Display wo du die Dimension deiner Matrix festlegst und sie dann eingibst. Mit EXIT steigst du im Menübaum wieder nach oben. Mittels der Taste Optionen OPTN kannst du jetzt die Matrizenmultiplikation durchführen wie oben beschrieben. Mit Shift Mat (unten Taste 2) geht es etwas schneller.

Mit der Funktionstaste F1 wählst du wiederum MAT.

Oben Im Display erscheint Mat. Jetzt gibst du mittels der Alpha-Taste die Drehmatrix A ein und multplizierst sie mit dem Vektor B.

Mit EXE erhältst du das Ergebnis. Dokumentation:

RUN-OPTN-F2-F1-EXE

Den Urpunkt, den du um den Ursprung drehen willst stellst du als Ortsvektor dar und zwar als Spaltenvektor. Ein Pfeil der vom Ursprung zu einem Punkt hinführt hat dieselben Koordinaten wie der Punkt.

Du gibst ihn als 2x1 Matrix ein. Mit Exit speicherst du den Vektor unter B, falls du B als Speicherplatz gewählt hast.

Um mit deinen Matrizen zu rechnen, musst du im Hauptmenü RUN wählen. Neben der SHIFT-Taste links oben findest du bei deinem CASIO-GTR die Taste OPTN (=Optionen), Die drückst du.

Im Display erscheint ein Untermenü. Mit der Funktionstaste F2 wählst du MAT. Du steigst damit eine Menüstufe tiefer. Dein Display sollte dann wie unten ausschauen.

Die erste Zahl bei der Dimension gibt die Anzahl der Zeilen an und die zweite Zahl die Anzahl der Spalten. Bei uns an der Realschule ist das wurscht, sagen wir fast wurscht. Die Drehmatrix ist quadratisch und hat die Dimension 2x2. Der Spaltenvektor jedoch, so schreiben wir unsere Vektoren, hat als Matrix die Dimension 2x1. Würden wir ihn als Zeilenvektor schreiben, hätte er die Dimension 1x2 und wir könnten ihn niemals mit einer Drehmatrix multiplizieren.

Dir den mathematischen Hintergrund, d.h. dir Matrizenalgebra zusammen mit der Linearen Algebra (Vektoralgebra) zu erklären erfordert ein Hochschulstudium.

Nimm es so einfach, wie es ist. Du gibst bei der Drehmatrix die Dimension 2x2 an, hackst auf EXE, und gibst sie ein.

Dabei musst du die Winkelfunktionen nicht berechnen. Du gibst z.B. einfach ein cos 30° und bestätigst mit EXE. Der GTR berechnet es auch im MAT-Menü. Mit EXIT speicherst du die Matrix unter dem Namen A.

Ich schreibe dies im Dezember 2009. Meine beiden Abschlussklassen verwenden als GTR den

Casio CFX-9850GC PLUS.

Die Matrizenmultiplikation ist nur interessant für die Wahlfachgruppe I (Bayerische Realschule).

Du musst in deinen GTR sowohl die Matrix als auch den Vektor eingeben.

Du wählst im Hauptmenü den Menüpunkt MAT.

Unter MAT A gibst du die Dimension der Drehmatrix ein. Was ist die Dimension?

Wenn dein Drehzentrum Z ungleich dem Ursprung ist, dann führst du eine Drehung um den Ursprung aus, nur so funktioniert die Drehmatrix, und dann verschiebst du dein Ergebnis durch Parallelverschiebung mit dem Vektor .

Ich denke, du brauchst noch ein oder zwei Aufgaben als Beispiel, um zu sehen wie es funktioniert. Diese Beispiele folgen unten unter dem Arbeitsblatt.

Hier im Rand will ich dir aber noch zeigen, wie du deinen GTR, deinen graphischen Taschenrechner, einsetzen kannst. Der beherrscht nämlich die Linksmultiplikation eines Vektors mit einer Matrix. Du erinnerst dich? Bei der Matrizenalgebra musst du die Linksmultiplikation von der Rechtsmultiplikation unterscheiden. Denn immer gilt Zeilenvektor * Spaltenvektor, oder genauer Zeile * Spalte = Skalarprodukt.

Ich zeige es dir mit den beiden Casio-GTR, die an meiner Schule verwendet werden.

Mache es dir noch einmal klar, was passiert, wenn dein Drehzentrum Z nicht im Ursprung liegt.

Du tust so, als würde dein Drehzentrum im Ursprung liegen. Du hast Z sozusagen in den Ursprung verschoben und mit dem Drehzentrum Z auch deinen Urpunkt P verschoben. Damit du ihn nicht verwechselst hast du den verschobenen Urpunkt P jetzt Q genannt. Du drehst, wie du es gelernt hast mit der Drehmatrix und bekommst Q'. Jetzt verschiebst du das Drehzentrum mit dem Vektor an seinen ursprünglichen Punkt. Mit dem Drehzentrum verschiebst du Q und Q' auf P und P'. Es ist eine Kombination von Abbildungen!

Der Punkt Q hat also dieselben Koordinaten wie der Vektor , das bedeutet, dass die Pfeile und den gleichen Vektor darstellen. Sie sind Repräsentanten desselben Vektors.

Wenn du mit meinem Arbeitsblatt gespielt hast, klicke oben rechts auf die blauen Pfeile um des Ausgangszustand wieder herzustellen. Ich habe folgende Aufgabe dargestellt:

Der Pfeil wird um den Punkt Z mit dem Winkelmaß gedreht. Es gilt:

Z(5/1); P(8/3); =30°

2. Schritt

Du drehst den Punkt Q, oder du kannst auch sagen, du drehst den Pfeil um den Ursprung O mit dem Drehwinkel 30°.