Abbildungen II - Seite 7 - Fixpunkte

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Abbildungen II - Seite 7
Fixpunkte - Fixgeraden
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)

Ja, ich weiß, Mathe ist manchmal mühsam. Aber immer ist es so schöööööön! Hallo du! Machen wir weiter. Hier und heute gehst es um Fixpunkte und Fixgeraden. Zunächst beschäftigen wir uns mit Fixpunkten. Meisten geht es darum zu prüfen, ob ein Punkt ein Fixpunkt ist oder nicht. Ein Punkt ist ein Fixpunkt, wenn Urpunkt und Fixpunkt die gleichen Koordinaten haben, d.h. du bildest den Punkt einfach ab und als Ergebnis musst du wieder die Koordinaten des Punktes bekommen.

Etwas leichter tust du dir, wenn du schon an der Abbildungsmatrix erkennst, ob es sich um eine Drehmatrix oder Spiegelmatrix handelt. Probieren wir aus, was du drauf hast. Entscheide bei jeder Matrix im Rand rechts, ob es sich um eine Dreh- oder eine Spiegelmatrix handelt. Wenn du die Matrix anklickst, kannst du deine Entscheidung überprüfen.

Du meinst ich war gemein und hinterhältig? Nein, nein! Ich mag nur nicht, wenn du vergisst dein Hirn einzuschalten, nur weil du glaubst, es müsse immer so weitergehen. Auf "Los" fangen wir zu rechnen an. Los!

Aufgabe 1

Welche Abbildung wird durch die Matrixform beschrieben? Überprüfe, ob die gegebenen Punkte Fixpunkte der Abbildung sind.

Klicke unten auf a oder b um die Lösung einzublenden.

a)

Die Matrix bechreibt eine Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden, d.h. alle Fixpunkte dieser Abbildung liegen auf der Spiegelachse. Du hast demnach zwei Möglichkeiten um zu überprüfen, ob die gegebenen Punkte Fixpunkte sind. Entweder bildest du sie mit der Matrix ab, oder du stellst die Gleichung der Spiegelachse auf und setzt die Punkte dort ein.

1. Lösungsmöglichkeit

2.Lösungsmöglichkeit

b)

Wenn du erkennst, dass es sich hier um eine Drehung um den Ursprung handelt und zwar mit einem Drehwinkel von 270°, dann bist du eigentlich schon fertig. Du musst es nur noch für deinen Lehrer zu Papier bringen z.B. etwa so:

Es ist eine Drehung um den Ursprung mit dem Drehwinkel =270°. Bei einer Drehung ist der einzige Fixpunkt das Drehzentrum, außer es handelt sich um eine Drehung um 360°.

=> A, B sind keine Fixpunkte, der Punkt C ist ein Fixpunkt.

Wenn du die Abbildung nicht erkennst, dann bleibt dir nichts anderes übrig als die Abbildung für alle drei Punkte zu berechnen. Du siehst "Wissen ist Macht" und spart viel Zeit.

Aufgabe 2

Überprüfe zunächst, ob die gegebene Abbildung Fixpunkte hat. Um welche Abbildung handelt es sich?

Klicke unten auf a, b usw. um die Lösung einzublenden.

a)

Für einen Fixpunkt muss gelten x' = x und y' = y. Demnach kannst du folgenden Ansatz machen:

=> Der Punkt P(4/-8) ist Fixpunkt.

Bei der Abbildung handelt es sich um eine zentrische Streckung.

c)

Es handelt sich um eine Drehung um den Ursprung mit einem Drehwinkel von 30°. Der einzige Fixpunkt dieser Abbildung ist das Drehzentrum, also der Ursprung (0/0).

b)

Für einen Fixpunkt muss gelten x' = x und y' = y. Demnach kannst du folgenden Ansatz machen:

Mit ein wenig Hirnschschmalz kannst du dir die ganze Rechnerei sparen. Du schreibtst als Antwort:

Es handelt sich um eine Drehung um den Ursprung mit einem Drehwinkel von 45°. Der einzige Fixpunkt dieser Abbildung ist das Drehzentrum, also der Ursprung (0/0).

Zwei Zeilen statt langer Rechnerei. Wie schon gesagt "Wissen ist Macht".

d)

Lass uns noch einmal rechnen, obwohl es auch kurz geht.

=> Es gibt keine Fixpunkte.

Oder du antwortest ohne Rechnung: Es handelt sich um eine Parallelverschiebung und bei einer Parallelverschiebung gibt es keine Fixpunkte.

Aufgabe 3

Die Gerade g wird auf die Gerade g' abgebildet. Überprüfe durch Rechnung, ob die Gerade g Fixgerade der jeweiligen Abbildung ist.

Klicke unten auf a, b usw. um die Lösung einzublenden.

a)

Du könntest natürlich stur die Gerade g mittels der Abbildungsgleichungen abbilden und überprüfen ob die Bildgerade dieselbe Gleichung besitzt. Keine schlechte Idee aber sehr rechenaufwendig. Du solltest inzwischen gemerkt haben, dass mit Hirnschmalz und guten Kenntnissen über die Eigenschaften der verschieden Abbildungen es oftmals sehr viel leichter und schneller geht.

Wenn g eine Fixgerade ist, dann muss sie auf der Spiegelachse senkrecht stehen oder selbst die Spiegelachse sein. Das Letztere ist hier nicht der Fall. Überprüfen wir das Senkrechtstehen:

Es handelt sich um eine Zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum. Alle Geraden durch das streckungszentrum sind Fixgeraden. Die gerade g ist eine Ursprungsgerade, d.h. sie ist eine Fixgerade.

Es handelt sich um eine orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse. Bei dieser Abbildung sind nur die Affinitätsachse (x-Achse) und Parallelen zur y-Achse Fixgeraden, d.h. g ist keine Fixgerade.

Es handelt sich um eine Drehung um den Ursprung mit 45°. Die Gerade g ist keine Ursprungsgerade. g wäre nur bei einer Drehung um 360° eine Fixgerade. Wäre g eine Ursprungsgerade, wäre g auch bei einer Drehung um 180° eine Fixgerade.

Hier heißt es: g ist keine Fixgerade.

Es handelt sich um eine Parallelverschiebung. Die Gerade ist dann eine Fixgerade, wenn die Steigung des Verschiebungsvektor gleich der Steigung der Geraden g ist.

Es handelt sich um eine Achsenspiegelung an einer Parallelen zur x-Achse. Nur die Spiegelachse selbst und senkrechte zu ihr, also Parallelen zur y-Achse sind Fixgeraden. Die Gerade g ist nicht die Spiegelachse und auch nicht parallel zur y-Achse, d.h. sie ist keine Fixgerade.

Aufgabe 4

Die Gerade g wird durch zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum Z(3/-1) und dem Streckungsfaktor k = 2 abgebildet. Zeige, dass g mit Fixgerade ist.

Lösung einblenden hier...

Auch hier ist es natürlich völlig überflüssig die Gerade g wirklich abzubilden um zu entscheiden, ob sie eine Fixgerade ist. Es reicht aus nachzuweisen , dass das Streckungszentrum Z ein Element von g ist. Bei einer Zentrischen Streckung sind nur Geraden durch das Streckungszentrum Fixgeraden. Du solltest wirklich noch einmal bei allen Abbildungen darüber nachdenken, ob und welche Fixgeraden und auch Fixpunkte es gibt.