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Algebra mit Spaß lernen
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Abbildungen II - Seite 9
Vermischte Übungen III
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)
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Aufgabe 1
Gegeben sind die Trapeze AnBnCnDn mit den parallelen Grundseiten [AnDn] und [BnCn].
Die Trapeze sind symmetrisch zur Geraden s mit y = 2x. Die Punkte An(x/y) liegen auf der Geraden g mit y = -x - 1.
Für die Pfeile  gilt: 
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| a) |
Zeichne zwei Trapeze A1B1C1D1 und A2B2C2D2 für x = 2 und x = 4. |
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| b) |
Die Punkte An lassen sich auf die Punkte Bn abbilden. Stelle die Koordinaten der Punkte Bn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An dar.
Berechne die Gleichung des Trägergraphen hB der Punkte Bn.
[Ergebnis: Bn(x-1/-x+3); hB: y = -x +2] |
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| c) |
Aus welchem Intervall kann man x wählen, so dass Trapeze AnBnCnDn existieren? |
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| d) |
Die Punkte Bn können auf die Punkte Cn abgebildet werden. Zeige, dass sich die Koordinaten der Punkte Cn wie folgt in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An darstellen lassen: Cn(-1,4x + 3/0,2x + 1) |
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| e) |
Berechne die Gleichung des Trägergraphen hC der Punkte Cn. |
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| f) |
Berechne das Maß  des Winkels B1A1D1.
Begründe anschließend: in allen Trapezen sind die Winkelmaße  gleich. |
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| g) |
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes A1B1C1D1. |
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| Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien am Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
Du kannst den roten Punkt A mit der Maus auf der geraden g bewegen.
b)
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| Nr. 5 |
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weiter e)
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f)
Du berechnest den Winkel zwischen den Geraden AD und BC mittels der Steigungen.
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| Nr. 4 |
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weiter d)
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e)
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| Nr. 3 |
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weiter c)
d)
Es handelt sich um eine Achsenspiegelung an der Ursprungsgeraden s.
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| Nr. 2 |
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c)
Wenn du den Punkt A mit der Maus ziehst, kannst du links beobachten welche Werte A annehmen kann, so dass noch Trapeze AnBnCnDn existieren.
Aber wie kannst du den Grenzwert für x berechnen?
Wozu glaubst du hat dich der Aufgabenbastler gerade den Trägergraphen der Punkte Bn berechnen lassen?
Wenn der Punkt B auf der Symmetrieachse liegt, dann wird aus dem Trapez ein Dreieck und darüber hinaus wechselt der Umlaufsinn.
Du musst also den Schnittpunkt der Symmetrieachse s mit dem Trägergraphen hB berechnen. Mit dessen Hilfe kannst du dann den Grenzwert von x berechnen, da der x-Wert von A um 1 LE weiter rechts liegt.
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| Nr. 6 |
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weiter f)
Die Begründung ist die Rechnung. Ich habe keinerlei Punktkoordinaten benutzt. Wenn du natürlich auf die Idee kommst den Winkel mittels des Skalarprodukts oder gar mit dem Kosinussatz zu berechnen, dann brauchst du erstens Punktkoordinaten und hast zweitens eine Riesenrechnerei und drittens brauchst du dann noch eine Begründung.
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g)
Die Koordinaten von A1, B1 und C1 kannst du mittels den angegebenen Lösungen leicht berechnen.
D1 bestimmst du indem du A1 an der Symmetrieachse spiegelst. Du zerlegst das Trapez in zwei Dreiecke und berechnest ihre Flächeninhalte mit der Determinantenmethode. Ergebniskontrolle mit dem Arbeitsblatt.
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Aufgabe 2
Der Punkt A(0/0) ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten ABnCnDn, die durch die Diagonalen [BnDn] in gleichseitige Dreiecke zerlegt werden. Die Eckpunkte Bn liegen auf der Geraden g mit y = 3.
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| a) |
Zeichne die Rauten AB1C1D1 und AB2C2D2 für x = 3 und x = -1. |
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| b) |
Berechne die Koordinaten der Eckpunkte Cnund Dn in Abhängigkeit von der x-Koordinate der Punkte Bn. |
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| c) |
Berechne die Gleichungen der Trägergraphen der Punkte Cn und Dn. |
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| d) |
Berechne den Flächeninhalt der Rauten ABnCnDn in Abhängigkeit von der x-Koordinate der Punkte Bn. |
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| e) |
Berechne die Belegung von x, für die der Flächeninhalt der Rauten ABCD minimal wird und gib diesen Flächeninhalt an. |
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| Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien am Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
Eigentlich erklären meine Konstruktionslinien die Konstruktion, doch ich will dir trotzdem eine Konstruktionsbeschreibung in mathematischer Kurzform geben. Die solltest du eigentlich verstehen.
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b)
Du berechnest zuerst D mit einer Drehung um den Ursprung mit 60° und dann C mit einer Vektorkette. |
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| Nr. 3 |
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weiter c)
d) und e)
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Aufgabe 3
Die Punkte Bn(x/y) von Dreiecken ABnCn liegen auf der Geraden g mit y = x - 3. Die Winkel BnACn haben stets das Maß 30° und die Winkel CnBnA das Maß120°.
Es gilt: A(0/0)
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| a) |
Zeige, dass sich die Koordinaten der Punkte Cn wie folgt in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn darstellen lassen: Cn(0,64x + 2,60/2,37x - 4,52) |
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| b) |
Berechne die Gleichung des Trägergraphen der Punkte Cn. |
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| c) |
Die Strecke [AC1] verläuft parallel zur Geraden g. Berechne die Belegung von x. |
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| d) |
Berechne die Belegung von x, für die das Dreieck AB0C0 minimalen Flächeninhalt hat- |
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| Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien am Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
Um die Koordinaten der Punkte Cn zu berechnen musst du zwei Abbildungen durchführen: Eine Drehung um den Ursprung A mit einem Drehwinkel von 30° und eine zentrische Streckung von A aus. Was du hierzu noch brauchst ist der Streckungsfaktor k
Die Dreiecke ABnCn sind ähnlich, da sie in zwei Winkelmaßen übereinstimmen. Somit ist auch das Verhältnis der Streckenlängen  konstant. Mit dem Sinussatz im Dreieck ABnCn folgt:
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| Nr. 3 |
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c)
Die Steigung der Geraden g ist gleich der Steigung des Vektors  :
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d)
Wenn du den roten Punkt Bn mit der maus auf der geraden g ziehst, kommst du sicherlich auf eine Lösungsidee. Oderrrr! Für den Flächeninhalt gilt:
Klingelt es? |
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| Nr. 4 |
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weiter d )
Wenn die Strecke [ABn] senkrecht auf der Geraden g steht ist ihr Länge minimal und damit auch der Flächeninhalt des Dreiecks ABnCn.
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 26 Juli, 2011 13:02
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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