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Algebra mit Spaß lernen
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Abbildungen II - Seite 10
Vermischte Übungen IV
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)
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Aufgabe 1
Gegeben sind die Drachenvierecke ABnCnDn, deren Diagonalen [ACn] auf der Symmetrieachse liegen. Die Punkte Bn(x/y) liegen auf der Geraden g mit
y = 0,5x - 2. Die Winkel BnADn haben stets das Maß 73,74° und die Winkel CnBnA das Maß 123,69°.
Es gilt: A(0/0)
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| a) |
Zeichne die Drachenvierecke AB1C1D1 und AB2C2D2 für x = 4 und x = 6. |
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| b) |
Stelle die Koordinaten der Punkte Dn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn dar.
[Ergebnis: Dn(-0,2x + 1,92/1,1x - 0.56] |
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| c) |
Die Punkte Bn lassen sich auf die Punkte Cn abbilden. Stelle die Koordinaten der Punkte Cn in Abhängikeit von der Abszisse x der Punkte Bn dar.
[Ergebnis: Cn(1,25x + 3/2,5x - 4)] |
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| d) |
Berechne die Belegung von x, für die die Diagonale [B3D3] auf der Geraden g verläuft. |
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| e) |
Berechne die belegung für x, für die das Drachenviereck AB4C4D4 einen Flächeninhalt von 37,9 FE hat. |
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| f) |
Berechne die Belegung von x, für das Drachenviereck AB0C0D0 minimalen Flächeninhalt hat. |
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| g) |
Berechne die Belegung von x (x > 2,5), für die die Strecke [B5C5] mit der Geraden g einen Winkel mit dem Maß 20° bildet. |
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| Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien am Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
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b)
Du drehst Bn um A mit dem Drehwinkel  . |
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| Nr. 6 |
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weiter f)
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g)
Für den Steigungswinkel der Geraden g gilt:
Für den Steigungswinkel des Vektors  gilt:
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| Nr. 5 |
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weiter e)
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In Bayern lösen wir das mit einem Graphischen Taschenrechner durch Nullstellenbestimmung. Hier die notwendige Dokumentation für den Casio-GTR:
Graph-F6-F5-F1
Beim Casio-GTR wäre auch eine Lösung im EQUA-Menü möglich:
Equa-F2-F1-F1
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f)
Den Extremwert bestimmst du durch Scheitelbestimmung, entweder mit der Scheitelformel oder mit deinem GTR.
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| Nr. 4 |
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weiter d)
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e)
Das Dreieck ABnCn wird von den Vektoren  aufgespannt.
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| Nr. 3 |
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weiter c)
Die Dreiecke ABnCn sind demnach ähnlich. Somit ist auch das Verhältnis der Streckenlängen  konstant. Mit dem Sinussatz im Dreieck ABnCn gilt:
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d)
Die Steigung des Vektors  muss gleich der Steigung der Geraden g sein.
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| Nr. 2 |
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c)
Hier handelt es sich um das Hintereinanderausführen von zwei Abbildungen:
1. Du drehst B um das Drehzentrum A mit dem Drehwinkel  auf B'.
2. Du streckst B' zentrisch von A aus mit dem Streckungsfaktor k, den du allerdings nicht kennst. Er lässt sich aber berechnen. Doch lass uns zuerst die Drehung machen.
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| Alle Drachen stimmen in den Winkeln überein. Sie sind zueinander ähnlich, auch die Teildreiecke. |
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Aufgabe 2
Die Punkte Bn(x/y) auf der Geraden g mit y = 0,5x -2 bilden zusammen mit den Punkten A(-2/1) und Cn Dreiecke ABnCn. Die Winkel BnACn haben stets das Maß 36,87° und die Strecken [ACn] sind halb so lang wie die Strecken [ABn].
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| a) |
Zeichne die Dreiecke AB1C1 und AB2C2 für x = 2 und x = 8. |
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| b) |
Die Punkte Bn lassen sich auf die Punkte Cn abbilden. Stelle die Koordinaten der Punkte Cn in Abhängikeit von der Abszisse x der Punkte Bn dar. Berechne anschließend die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte Cn.
[Erbenis: Cn(0,25x -0,3 / 0,5x + 0,4); h: y = 2x +1] |
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| c) |
Die Strecke [AC3] verläuft parallel zur x-Achse. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte B3 und C2. |
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| d) |
Die Strecke [B4C4] liegt auf der geraden g. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte B4 und C4. |
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| e) |
Berechne die Belegung von x, für die der Flächeninhalt des Dreiecks AB0C0 minimal ist. |
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| Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien am Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
Du kannst den roten Punkt B mit der Maus ziehen.
b)
Es handelt sich zunächst um eine Drehung um A mit 36,87°, und dann um eine Zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum A mit k=0,5.
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| Nr. 5 |
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weiter e)
Zur Extremwertbestimmung berechnest du den Scheitel der Funktion
mit der Scheitelformel oder, falls du ein bayerischer Realschüler bist, benutzt du dazu deinen GTR.
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Der Lösungsweg mit dem Casio-GTR ist:
Graph-F6-F5-F3
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Aufgabe 3
Gegeben sind gleichschenklige Trapeze ABCnDn mit der gemeinsamen Grundseite [AB] mit A(-6/3) und B(-3/-6).
Für die Schenkel [BCn]
gilt:  |
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| a) |
Zeichne die Trapeze ABC1D1 und ABC2D2 für = 0° und = 50°. |
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| b) |
Berechne die Gleichung des Trägergraphen der Punkte Cn und zeichne diesen in die Zeichnung von a) ein. [Ergebnis: p mit y = -0,2x² - 1] |
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| c) |
Aus welchem Intervall kann man wählen, so dass Trapeze ABCnDn existieren? |
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| d) |
Berechne die Koordinaten der Punkte Dn in Abhängikeit von .
[Ergebnis: Dn(3 sin²+ 4 cos-3,6 / -4 sin²+ 3 cos+ 4,8)] |
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| e) |
Berechne mit dem GTR die Belegung von , für die im Trapeze ABC3D3 der Punkt D3 die x-Koordinate - 3.6 hat.
[Ergebnis: =122,4°] |
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| f) |
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes in Aufgabe e). |
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| g) |
Berechne die Belegung von , für die Diagonalen [AC4] und [AC5] mit der Grundseite [AB] Winkel mit dem Maß 40° einschließen. |
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| h) |
Eines der Trapeze ist ein Rechteck. Berechne das Winkelmaß . |
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| Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien am Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
Mit dem roten Schieberegler für den Winkel kannst du Winkelwerte zwischen 0° und 360° wählen. Für die zeichnung auf Papier musst du erst zwei Vektoren berechnen:
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| Die Punkte D1 und D2 findest du durch Achsenspiegelung an der Symmetrieachse s. |
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| Nr. 9 |
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g)
Wenn du zum Steigungswinkel der Geraden AB 40° addierst, bekommst du den Steigungswinkel von der Geraden AC4 bzw. AC5.
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| Nr. 8 |
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weiter f)
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Bedenke, mein Schieberegler ermöglicht dir nur auf das Grad genau zu anzuzeigen und es rundet dabei auf eine Kommastelle.
g)
Schalte den Schieberegler für diese Teilaufgabe ein und du siehst die Lösungsidee, hoffe ich doch. Wenn du mit dem Schieberegler für spielst, wird dir sicherlich auffallen warum es zwei Lösungen gibt. |
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| Nr. 7 |
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f)
Du berechnest mit der Determinantenmethode die Flächeninhalte der Teildreiecke ABC3 und AC3D3.
Du könntest natürlich auch die normale Flächenformel für das Trapez benutzen und dir dafür alle notwendigen Längen berechnen. Doch ich fürchte der Rechenaufwand und damit der Zeitaufwand ist größer als wenn du meinem Vorschlag folgst.
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| Nun gilt es die Vektoren zu berechnen, die die beiden Dreiecke aufspannen. |
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| Nr. 5 |
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weiter c)
Als bayerischer Realschüler kannst du selbstverständlich auch deinen graphischen Taschenrechner zur Lösung einer quadratischen Gleichung einsetzen.
Bei Lösung durch Nullstellenbestimmung mit dem Casio-GTR wäre die notwendige Dokumentation:
GRAPH-F6-F5-F1
Bei Lösung im EQUA-Menü:
EQUA-F2-F1-F1
d)
Du spiegelst die Punkte Cn an der Symmetrieachse s. Um die Spiegelmatrix aufstellen zu können brauchst du zunächst die Steigung von s. Die Steigung von AB ist -3, daraus folgt für die Steigung von s:
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| Nr. 4 |
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weiter c)
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| x2 ist keine Lösung, da der Kosinuswert nicht größer als 1 sein kann. |
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| Nr. 3 |
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weiter c)
Entscheidend ist der x-Wert xS des Schnittpunktes des Trägergraphen p, also der Parabel, mit der Seite [AB]. Der x-Wert von Cn muss größer sein als xS.
5 cos> xS
Du musst also eine Ungleichung lösen, nachdem du den Schnittpunkt bestimmt hast.
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| Nr. 2 |
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b)
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c)
Betätige den Schieberegler, schaue dir den Trägergraphen an und denke tief nach. |
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| Nr. 10 |
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h)
Der Vektor 
steht senkrecht auf der Seite [AB].
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 26 Juli, 2011 13:09
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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