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Hochzeitsbilder,
die sich von der Masse unterscheiden, dafür setzt Lisa Feldmann Kreativität, Natürlichkeit und eine ausdrucksstarke Bildsprache ein.
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5x = 5

Für x gilt: Wir suchen die Hochzahl mit der die Basis 5 potenziert wird, damit 5 rauskommt. Geschrieben haben wir das als Logarithmus:

x = log5(5)

Wozu das? Du weißt, dass x = 1 ist? Eben, eben, es gilt eben:

log5(5) = 1

log6(6) = 1

loga(a) = 1

Die Zahl 2 auf der rechten Seite unserer Gleichung schreiben wir als Potenz von 5.

2 = 5log5(2)

=> 5x-3 = 5log5(2)

=> x - 3 = log5(2)

Was haben wir gemacht? Wir haben beide Seiten der Gleichung zur selben Basis logarithmiert. Es ist eine weitere Äquivalenzumformung.

Algebra mit Spaß lernen

 
Herr Logarithmus löst am liebsten dekadisch
 
     
 
 
     
 

Hallo, wieder gut drauf? Na, das freut mich. Lass' uns weitermachen. Auf dieser Seite geht es um drei Dinge.

  1. Wie berechnest Du mit Deinem Taschenrechner Logarithmen?

  2. Wie rechnet man einen Logarithmus mit der Basis 3 z.B. in einen Logarithmus mit der Basis 5 um?

  3. Wie löst Du mit den Kenntnissen von 1. und 2. Exponentialgleichungen?

Die erste Frage ist eigentlich oben mit den drei Gleichungen schon beantwortet. Du weißt doch noch was lg (7) bedeutet? Ja, es ist eine abkürzende Schreibweise für log10(7), also einen Logarithmus mit der Basis 10. Solche Logarithmen nennt man auch dekadische Logarithmen.

Im Normalfall kennt Dein Taschenrechner nur dekadische Logarithmen, manchmal noch natürliche Logarithmen zur Basis e und ganz selten duale Logarithmen zur Basis 2. Wenn Du also Werte von Logarithmen mit einer anderen Basis berechnen willst, dann musst Du sie umrechnen. Du sollst Dich jetzt anhand einiger Beispiele überzeugen, dass das oben dargestellte Verfahren zur Berechnung von Logarithmen funktioniert.

Berechne sowohl mit dem Logarithmen-Rechner als auch mit dem Taschenrechner:

a) log2 (10)       b) log5 (10)        c) log5 (3)       d) log0,5 (3)       e) log0,7 (3)

 
     
  Du erinnerst Dich, das beim Log-Rechner die Basis vor dem log-Zeichen steht?  
     
 
   log (   )     
 
     
 

Falls Du Deinen eigenen Taschenrechner nicht zur Hand hast, dann klicke links auf das Bild. Nach ein paar Sekunden popt ein kleiner handlicher virtueller Taschenrechner auf.

Wie berechnest Du damit log3 (7) ?

Hier ist die Tastenfolge: {7} {log} {/} {3} {log} {=}
Alles klar?

 
     
 

Was ich Dir rechts am Rand für die Umrechnung zur Basis 10 gezeigt habe, das lässt sich auch für jede andere Basis zeigen. Ersetze die Zahl 10 nur durch irgend eine andere Zahl. Nennen wir diese neue Basis c, dann gilt:

loga(b) = logc(b) / logc(a)

Wozu man so etwas können muss? Damit Du Exponentialgleichungen nicht nur graphisch durch Nullstellenbestimmung lösen kannst, sondern auch rechnerisch.

Und das wollen wir gleich versuchen.

 

 
 

3 · 5x-3 - 6 = 0

Weißt Du noch wie man so eine Exponentialgleichung graphisch löst? Als Nullstellenbestimmung der Funktion y = 3 · 5x-3 - 6 ?

 
 

Klicke auf den Funktionsplotter und probiere es aus. Wenn Du nicht mehr weißt, wie man es macht, gehe zurück zur Seite "locker' Rhythmus: 1 = 2x, das is' wohl nix ?". Nur zur Erinnerung, Du musst den Funktionsterm so eingeben 3*5^(x-3)-6. Also vergiss die Klammer um den Exponenten nicht!

Nach ein paarmal zoomen kannst Du die Lösung ablesen x = 3,43067...

Und jetzt werde ich Dir zeigen, wie man die Gleichung schriftlich löst.

 
     
 

3 · 5x-3 - 6 = 0 | +6

3 · 5x-3 = 6 | : 3

Die Potenz muss allein auf einer Seite stehen!
   

5x-3 = 2 | log5

x - 3 = log5(2)

Du logarithmierst beide Seiten der Gleichung zur Basis der Potenz, hier der 5. Ich sehe es Dir an der Nasenspitze an, dass Du dies jetzt nicht verstehst. Links am Rand erklär ich's Dir.
   

x - 3 = lg(2)/lg(5) | +3

x = lg(2)/lg(5) + 3

Hier wechseln wir zum Zehner-Logarithmus. Wir wollen es ja mit dem Taschenrechner berechnen. Zur Berechnung des Ergebnisses nimmst Du jetzt oben den virtuellen Taschenrechner.
 
     
  Im folgenden Applet sollst Du den Exponentialgleichungen den zughörigen Lösungsterm zuordnen. In unserem Beispiel wäre die Gleichung 3 · 5x-3 - 6 = 0 und der Lösungsterm x = lg(2)/lg(5) + 3.  
 
 
     
 
 
     
Für Netscaper gilt, dass schon mehrmals Gesagte: "Forget it".
 

Will man Logarithmen zu anderen Basen berechnen, formt man zunächst um.

log3 (5) = x

<=> 3x = 5

Die Basis 3 und die Zahl 5 lassen sich nun aber als Potenzen von 10 darstellen.

3 = 10lg(3)

5 = 10lg(5)

Damit gilt:

<=> (10lg(3))x = 10lg(5)

Du weißt noch wie die Potenz einer Potenz berechnet wird? Richtig, die Hochzahlen werden multipliziert.

<=> 10lg(3) · x = 10lg(5)

Da die Potenzwerte gleich sind und die Basen gleich sind, müssen auch die Hochzahlen gleich sein.

<=> lg(3) · x = lg(5)

<=> x = lg(5) / lg(3)

also gilt:

log3 (5) = lg(5) / lg(3)
 
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 18:58 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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