Logarithmische Skalen - Rechenschieber

Herr Logarithmus geht in die Skala

Hi, draußen stürmt's vielleicht! Genau das richtige Wetter um Dir etwas über logarithmische Skalen (Einzahl Skala) und den Rechenschieber zu erzählen. Schau Dir mal unten das Bild an, es ist ein Ausschnitt aus einem merkwürdigen Koordinatensystem. So jetzt klickst Du mal das Bild an, dann macht eine Seite mit dem Applet auf, aus dem dieser Bildausschnitt stammt. Auch wenn das Applet in Englisch ist, spiele es ruhig mal durch, dann unterhalten wir uns weiter.

Also was hast Du gesehen? Da trägt jemand die Ergebnisse eines Experiments über das Wachstum von Bakterien in ein Koordinatensystem ein. Dieses Koordinatensystem sieht aber ganz anders aus, als Du es gewohnt bist.

Auf der x-Achse wird die Zeit in Stunden abgetragen und zwar ganz normal 1 cm = 1 Stunde. Auf der y-Achhse wird die Bakterienanzahl abgetragen, in Potenzen von 10, die 10¹ nach 2 cm, die 10² nach 4 cm usw. Soweit sieht alles normal aus. Aber die Einteilung (Skalierung) dazwischen ist seltsam. Es handelt sich um eine logarithmische Skalierung und die erkläre ich Dir jetzt.

Schau Dir mal die Zehner-Logarithmen der Zahlen 1 bis 10 an und dann oben die Logarithmische Skala, fällt Dir 'was auf?

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
lg(x)	0	0,30	0,48	0,60	0,70	0,78	0,85	0,90	0,95	1

Wenn ich einen Streifen Papier mit 10 cm Länge nehme und bei 3 cm eine Markierung mache und bei 4,8 cm, bei 6 cm usw., dann entwerfe ich auf diesem Streifen eine logarithmische Skala. An die Markierungen schreibe ich die zugehörigen Zahlen.

x	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
lg(x)	1	1,30	1,48	1,60	1,70	1,78	1,85	1,90	1,95	2

x	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000
lg(x)	2	2,30	2,48	2,60	2,70	2,78	2,85	2,90	2,95	3

Warum habe ich hier wohl die Tabellen noch eingefügt? Fällt Dir nichts auf? Schau Dir mal die Nachkommastellen an, z.B. haben die 2, die 20 und die 200 die gleichen Nachkommastellen. Man sagt, sie haben die gleiche Mantisse. So haben z.B. 4,55 und 455 die gleichen Nachkommastellen. Du glaubst das nicht? Probier' es mit dem Applet unten aus. Du musst aber einen Dezimalpunkt verwenden. Das Applet brauche ich eigentlich nachher noch um Dir was ganz anderes zu zeigen. Aber man kann es auch dazu verwenden einen Thomas wieder zu einem Johannes zu machen.

erste Zahl	Logarithmus	klick auf +
zweite Zahl	Logarithmus

Die Logarithmen werden addiert:		dies ist der Logarithmus von

Wie ich Dich kenne hast Du es sicherlich auch noch mit ein paar anderen Zahlen versucht. Überzeugt? Jetzt kannst Du Dir auch erklären woher die stetige Wiederholung dieser gestauchten Linien oben im Koordinatensystem kommt.

Falls Du später auch nur einen halbwegs technisch/wissenschaftlichen Beruf ausübst z.B. Elektroniker oder Biotechniker, Du wirst immer wieder auf logarithmische Skalen stoßen.

Auf der logarithmischen Skalierung baut unsere ganze westliche Zivilisation auf. Am Rand zeige ich Dir Rechenmaschinen, die auf logarithmischer Skalierung beruhen.

Addieren geht einfacher als Multiplizieren und Subtrahieren geht viel einfacher als Dividieren - eine Binsenweisheit. Lord Napier hat es ermöglicht statt zu multiplizieren zu addieren und statt zu dividieren zu subtrahieren.

Im Jahre 1617 veröffentlichte Lord Napier die erste Logarithmentafel. Wollte man zwei Zahlen multiplizieren, so schlug man dort die Logarithmen der beiden Faktoren nach, addierte sie und schlug anschließend die Zahl nach, deren Logarithmus man bei der Rechnung erhalten hatte. Du kannst das oben mit dem Applet nachspielen.

Stellen wir uns mal vor so ein Astronom im Jahre 1748 sollte folgende Multiplikation ausführen: 4012,6 • 54680000!

Er nimmt seine Logarithmentafel und schlägt nach. 4 Stellen vor dem Komma heißt, der Logarithmus beginnt mit 3,... (siehe oben) , dann schlägt er die Mantisse, 'tschuldigung die Nachkommastellen für 401268 nach.

Der 2.Logarithmus beginnt mit 7,... (siehe oben). jetzt braucht er nur noch die Mantisse für 5468 nachschlagen. Er addiert die Logarithmen und schaut wieder in der Tafel nach, welche Zahl zu diesem Logarithmus gehört. Hier war das Ergebnis 11,noch was, d.h. er braucht jetzt 12 Stellen vor dem Komma. Probier es oben mit dem Applet aus.

So habe ich es auch noch in der Schule gelernt und es war verd... (pardon, ich sollte mich mäßigen und auf meine Worte achten) nützlich. Es gab nämlich noch keine Taschenrechner. Leider habe ich Schwachkopf vor einigen Jahren meine Regale von Ballast befreit und in einem Anflug von Schwachsinn habe ich meine Logarithmentafel auch dafür gehalten. Werd' mir wohl bei Ebay wieder eine ersteigern müssen.

Nun weiß jeder, dass man Zahlen addieren kann, indem man zwei Meterstäbe aneinanderlegt 2 cm + 3 cm = 5 cm:

Verwendet man für diese Operation eine logarithmische Skala, so wird aus dieser Operation eine Multiplikation. Die logarithmische Skala reicht von 0 bis 1. Die Abstände ihrer Teilstriche sind entsprechend den Logarithmen gesetzt, aber mit den zugehörigen Zahlen beschriftet. Aneinandergelegt werden auf der folgenden Skala die Logarithmen 0,301 + 0,477 = 0,778. Auf der Skala erscheint die Rechnung 2 • 3 = 6.

Der Rechenstab liefert im Übrigen nur die Ziffernfolge des Ergebnisses. Die Größenordnung ist durch Überschlag zu ermitteln. Die abgebildete Rechnung könnte also ebenso gut 20 • 30 oder 0,2 • 30 oder 200 • 30000 lauten. Du musst schätzen können, eben eine Überschlagsrechnung machen können, damit Du weißt, wo Du das Komma zu setzen hast. Ich fürchte nur, Dir ist dazu ein wenig die Fähigkeit wegen des Taschenrechners abhanden gekommen.

Ich werde Dir auf einer Seite mit Sonderformat die Funktionsweise des Rechenschiebers ausführlich erklären.

Die Skala ist im übrigen endlos zu denken: Hinter der 10 und vor der 1 liegt dieselbe Skala. Wenn, wie bei der Aufgabe 2 * 8, der zweite Faktor hinter der 10 der ersten Skala liegt, stellt man die 10 auf die 2 und liest links ab. Diesen Vorgang bezeichnet man als "Durchschieben".

Die ersten Rechenstäbe besaßen übrigens nur eine Skala. Man rechnet mit einem Stechzirkel. Um 3 * 2 zu rechnen, greift man den Abstand zwischen 1 und 3 ab und überträgt ihn hinter die 2.

Doch die Arbeit mit dem Stechzirkel legt noch eine andere Interpretation nahe. Betrachtet man Zahlenpaare, die auf der Skala den gleichen Abstand haben, so entdeckt man, dass diese Zahlenpaare der Proportionsgleichung a : b = c: d genügen. 1 verhält sich zu 3 wie 2 zu 6. Viele Aufgaben des täglichen Lebens (die sog. Dreisatzaufgaben lassen sich auf diese Weise lösen: 37,5 Liter Benzin verhalten sich zu 525 km Fahrstrecke wie x Liter zu 100 km Fahrstrecke. Man greift auf der Skala den Abstand zwischen 3,75 und 5.25 ab und überträgt ihn vor die Zehn. Der Durchschnittsverbrauch auf 100 km beträgt also 7 Liter.

Das größte Problem der Rechenstäbe ist ihre beschränkte Genauigkeit. Normale Rechenstäbe sind etwa 25 cm lang und man kann auf ihnen mit zwei- bis dreistelliger Genauigkeit rechnen.

Auf einer kreisförmigen Rechenscheibe mit einem Durchmesser von 30 cm lässt sich immerhin schon eine knapp 1 m lange Skala unterbringen. Mit wachsenden Anforderungen genügte das nicht mehr. Und es war auch nicht nötig. Das Prinzip der Übertragung von Proportionen ließ sich nämlich auch auf Skalen übertragen, die schraubenfederförmig um einen Zylinder gewickelt oder in achsenparallelen Teilstücken auf einen Zylinder montiert waren. Hier werden zwei Zeiger auf eine feste Proportion eingestellt und dann die Skala unter ihnen verschoben:

Hochzeitsbilder,
die sich von der Masse unterscheiden, dafür setzt Lisa Feldmann Kreativität, Natürlichkeit und eine ausdrucksstarke Bildsprache ein.
www.just-married-foto.de