Figurine12
 
 
Rechenscheibe Nr. 2

K. Emil Tröger, Mylau im Vogtland, 36 cm-Skala,
ab 1920, 14,20 M (1973)

Multiplikation und Division
durch Aneinanderlegen logarithmischer Skalen
Die Größenordnung des Ergebnisses muss durch Überschlag ermittelt werden. Kein Läufer vorgesehen.

 
Norma Grafia 190

Rieger, 48 cm-Skala, um 1960

Rechenscheibe für die grafische Industrie.
Zwei logarithmische Skalen und diverse Umrechnungskonstanten (oz, ft, in, yd, Gal, lb, kW, PS, mile, Cicero, G (goldener Schnitt)

Bei Reinhard Atzbach findest Du Anwendungsbeispiele für diese Rechenscheibe.

 
Rechenscheiben mit einer Skala und zwei Zeigern
 
 

Die ersten Rechenstäbe hatten nur eine Skala. Auf dieser wurden Verhältnisse mit dem Stechzirkel abgegriffen und an eine andere Position der Skala übertragen. Bald darauf setzte eine Weiterentwicklung in zwei Richtungen ein. Die eine führte zum bekannten Rechenstab mit zwei gegeneinander verschiebbaren Skalen und einem Läufer zur präziseren Einstellung. Die andere Variante ordnete die Skala kreisförmig an und ersetzte den Stechzirkel durch zwei verstellbare Zeiger.Oben eine Rechenscheibe von Robert Davenport um 1650.

 
 
Der Logomat Pfiffikus oben, eine deutsche Rechenscheibe aus den 1960er Jahren, ist eine Weiterentwicklung dieses Prinzips. Jedoch ist hier die logarithmische Skala durch spiralförmige Anordnung verlängert.
 
"Rechenuhr" vorne
"Rechenuhr" hinten

Bereits seit dem 19. Jahrhundert gab es runde Analogrechner auch in der Form von von Taschenuhren. Die abgebildete Ausführung wurde allerdings erst 1966 in Russland hergestellt.

Die Vorderseite trägt eine logarithmische Doppelskala, innen von 1 bis 10, außen von 1 bis 100. So können Quadratzahlen und Wurzeln abgelesen werden: Das Quadrat von 3,12 (innen) ist 9,74 (außen) und die Wurzel aus 25 (außen) ist 5 (innen).

Mit dem oberen Einstellknopf wird das komplette Zifferblatt im Gehäuse gedreht. Die Einstellung erfolgt dabei auf einen Läuferstrich der unterhalb des Einstellknopfs ins Deckglas eingraviert ist.

Auf der Rückseite können Sinus- und Tangenswerte abgelesen werden. Hier ist das Zifferblatt fest und nur der Zeiger verstellbar. Die kreisförmige Doppelskala dient zum Ablesen größerer Sinuswerte. Man stellt auf der inneren Skala die Gradzahl ein (hier 38,7°) und liest auf der äußeren Skala den Sinus ab (hier 0,625). Man beachte, dass Teile von Graden nicht dezimal, sondern in Sechsergruppen (zu 10 Minuten) bzw. Zwölfergruppen zu 5 Minuten skaliert sind.

Die spiralförmige Skala im Inneren dient zum Einstellen der Gradzahl beim Tangens. Bei der gegebenen Einstellung kann man auf der Spirale tan 32° einstellen und auf der äußeren Kreisskala 0,625 ablesen. Für Gradzahlen auf der äußeren Windung der Spirale muss die kleinere Größenordnung gewählt werden: tan 3°34' = 0,0625. Da sich in diesem Bereich Sinus und Tangens kaum unterscheiden, ist die Skala auch zur Ermittlung kleiner Sinuswerte gedacht.

Algebra mit Spaß lernen

 
Herr Logarithmus geht in die Skala
 
     
  Hi, draußen stürmt's vielleicht! Genau das richtige Wetter um Dir etwas über logarithmische Skalen (Einzahl Skala) und den Rechenschieber zu erzählen. Schau Dir mal unten das Bild an, es ist ein Ausschnitt aus einem merkwürdigen Koordinatensystem. So jetzt klickst Du mal das Bild an, dann macht eine Seite mit dem Applet auf, aus dem dieser Bildausschnitt stammt. Auch wenn das Applet in Englisch ist, spiele es ruhig mal durch, dann unterhalten wir uns weiter.  
 
 
 

Also was hast Du gesehen? Da trägt jemand die Ergebnisse eines Experiments über das Wachstum von Bakterien in ein Koordinatensystem ein. Dieses Koordinatensystem sieht aber ganz anders aus, als Du es gewohnt bist.

Auf der x-Achse wird die Zeit in Stunden abgetragen und zwar ganz normal 1 cm = 1 Stunde. Auf der y-Achhse wird die Bakterienanzahl abgetragen, in Potenzen von 10, die 101 nach 2 cm, die 102 nach 4 cm usw. Soweit sieht alles normal aus. Aber die Einteilung (Skalierung) dazwischen ist seltsam. Es handelt sich um eine logarithmische Skalierung und die erkläre ich Dir jetzt.

Schau Dir mal die Zehner-Logarithmen der Zahlen 1 bis 10 an und dann oben die Logarithmische Skala, fällt Dir 'was auf?

 
     
 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
lg(x) 0 0,30 0,48 0,60 0,70 0,78 0,85 0,90 0,95 1
 
     
  Wenn ich einen Streifen Papier mit 10 cm Länge nehme und bei 3 cm eine Markierung mache und bei 4,8 cm, bei 6 cm usw., dann entwerfe ich auf diesem Streifen eine logarithmische Skala. An die Markierungen schreibe ich die zugehörigen Zahlen.  
     
 
 
     
 
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
lg(x) 1 1,30 1,48 1,60 1,70 1,78 1,85 1,90 1,95 2
 
     
 
x 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
lg(x) 2 2,30 2,48 2,60 2,70 2,78 2,85 2,90 2,95 3
 
     
  Warum habe ich hier wohl die Tabellen noch eingefügt? Fällt Dir nichts auf? Schau Dir mal die Nachkommastellen an, z.B. haben die 2, die 20 und die 200 die gleichen Nachkommastellen. Man sagt, sie haben die gleiche Mantisse. So haben z.B. 4,55 und 455 die gleichen Nachkommastellen. Du glaubst das nicht? Probier' es mit dem Applet unten aus. Du musst aber einen Dezimalpunkt verwenden. Das Applet brauche ich eigentlich nachher noch um Dir was ganz anderes zu zeigen. Aber man kann es auch dazu verwenden einen Thomas wieder zu einem Johannes zu machen.  
     
 
erste Zahl Logarithmus klick auf +
zweite Zahl Logarithmus

Die Logarithmen werden addiert: dies ist der Logarithmus von
 
     
 

Wie ich Dich kenne hast Du es sicherlich auch noch mit ein paar anderen Zahlen versucht. Überzeugt? Jetzt kannst Du Dir auch erklären woher die stetige Wiederholung dieser gestauchten Linien oben im Koordinatensystem kommt.

Falls Du später auch nur einen halbwegs technisch/wissenschaftlichen Beruf ausübst z.B. Elektroniker oder Biotechniker, Du wirst immer wieder auf logarithmische Skalen stoßen.

Auf der logarithmischen Skalierung baut unsere ganze westliche Zivilisation auf. Am Rand zeige ich Dir Rechenmaschinen, die auf logarithmischer Skalierung beruhen.

Addieren geht einfacher als Multiplizieren und Subtrahieren geht viel einfacher als Dividieren - eine Binsenweisheit. Lord Napier hat es ermöglicht statt zu multiplizieren zu addieren und statt zu dividieren zu subtrahieren.

Im Jahre 1617 veröffentlichte Lord Napier die erste Logarithmentafel. Wollte man zwei Zahlen multiplizieren, so schlug man dort die Logarithmen der beiden Faktoren nach, addierte sie und schlug anschließend die Zahl nach, deren Logarithmus man bei der Rechnung erhalten hatte. Du kannst das oben mit dem Applet nachspielen.

Stellen wir uns mal vor so ein Astronom im Jahre 1748 sollte folgende Multiplikation ausführen: 4012,6 • 54680000!

Er nimmt seine Logarithmentafel und schlägt nach. 4 Stellen vor dem Komma heißt, der Logarithmus beginnt mit 3,... (siehe oben) , dann schlägt er die Mantisse, 'tschuldigung die Nachkommastellen für 401268 nach.

Der 2.Logarithmus beginnt mit 7,... (siehe oben). jetzt braucht er nur noch die Mantisse für 5468 nachschlagen. Er addiert die Logarithmen und schaut wieder in der Tafel nach, welche Zahl zu diesem Logarithmus gehört. Hier war das Ergebnis 11,noch was, d.h. er braucht jetzt 12 Stellen vor dem Komma. Probier es oben mit dem Applet aus.

So habe ich es auch noch in der Schule gelernt und es war verd... (pardon, ich sollte mich mäßigen und auf meine Worte achten) nützlich. Es gab nämlich noch keine Taschenrechner. Leider habe ich Schwachkopf vor einigen Jahren meine Regale von Ballast befreit und in einem Anflug von Schwachsinn habe ich meine Logarithmentafel auch dafür gehalten. Werd' mir wohl bei Ebay wieder eine ersteigern müssen.

Nun weiß jeder, dass man Zahlen addieren kann, indem man zwei Meterstäbe aneinanderlegt 2 cm + 3 cm = 5 cm:

 
     
   
     
  Verwendet man für diese Operation eine logarithmische Skala, so wird aus dieser Operation eine Multiplikation. Die logarithmische Skala reicht von 0 bis 1. Die Abstände ihrer Teilstriche sind entsprechend den Logarithmen gesetzt, aber mit den zugehörigen Zahlen beschriftet. Aneinandergelegt werden auf der folgenden Skala die Logarithmen 0,301 + 0,477 = 0,778. Auf der Skala erscheint die Rechnung 2 • 3 = 6.  
     
   
     
 

Der Rechenstab liefert im Übrigen nur die Ziffernfolge des Ergebnisses. Die Größenordnung ist durch Überschlag zu ermitteln. Die abgebildete Rechnung könnte also ebenso gut 20 • 30 oder 0,2 • 30 oder 200 • 30000 lauten. Du musst schätzen können, eben eine Überschlagsrechnung machen können, damit Du weißt, wo Du das Komma zu setzen hast. Ich fürchte nur, Dir ist dazu ein wenig die Fähigkeit wegen des Taschenrechners abhanden gekommen.

Ich werde Dir auf einer Seite mit Sonderformat die Funktionsweise des Rechenschiebers ausführlich erklären.

Die Skala ist im übrigen endlos zu denken: Hinter der 10 und vor der 1 liegt dieselbe Skala. Wenn, wie bei der Aufgabe 2 * 8, der zweite Faktor hinter der 10 der ersten Skala liegt, stellt man die 10 auf die 2 und liest links ab. Diesen Vorgang bezeichnet man als "Durchschieben".

 
     
 
 
     
 

Die ersten Rechenstäbe besaßen übrigens nur eine Skala. Man rechnet mit einem Stechzirkel. Um 3 * 2 zu rechnen, greift man den Abstand zwischen 1 und 3 ab und überträgt ihn hinter die 2.

Doch die Arbeit mit dem Stechzirkel legt noch eine andere Interpretation nahe. Betrachtet man Zahlenpaare, die auf der Skala den gleichen Abstand haben, so entdeckt man, dass diese Zahlenpaare der Proportionsgleichung a : b = c: d genügen. 1 verhält sich zu 3 wie 2 zu 6. Viele Aufgaben des täglichen Lebens (die sog. Dreisatzaufgaben lassen sich auf diese Weise lösen: 37,5 Liter Benzin verhalten sich zu 525 km Fahrstrecke wie x Liter zu 100 km Fahrstrecke. Man greift auf der Skala den Abstand zwischen 3,75 und 5.25 ab und überträgt ihn vor die Zehn. Der Durchschnittsverbrauch auf 100 km beträgt also 7 Liter.

 
     
   
     
 

Das größte Problem der Rechenstäbe ist ihre beschränkte Genauigkeit. Normale Rechenstäbe sind etwa 25 cm lang und man kann auf ihnen mit zwei- bis dreistelliger Genauigkeit rechnen.

Auf einer kreisförmigen Rechenscheibe mit einem Durchmesser von 30 cm lässt sich immerhin schon eine knapp 1 m lange Skala unterbringen. Mit wachsenden Anforderungen genügte das nicht mehr. Und es war auch nicht nötig. Das Prinzip der Übertragung von Proportionen ließ sich nämlich auch auf Skalen übertragen, die schraubenfederförmig um einen Zylinder gewickelt oder in achsenparallelen Teilstücken auf einen Zylinder montiert waren. Hier werden zwei Zeiger auf eine feste Proportion eingestellt und dann die Skala unter ihnen verschoben:

 
     
   
     
  Hochzeitsbilder,
die sich von der Masse unterscheiden, dafür setzt Lisa Feldmann Kreativität, Natürlichkeit und eine ausdrucksstarke Bildsprache ein.
www.just-married-foto.de
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 18:58 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Proportionalzirkel

nach Galilei (1564-1642), aus Elfenbein, Williams & Haydon, London vor 1900

Dient zum Abgreifen und maßstäblichen Übertragen von Strecken und Winkelfunktionen mit einem Stechzirkel.
Die Rückseite enthält Funktionsskalen (Sinus, Tangens, Logarithmus) zur Durchführung numerischer Rechnungen.

Das Prinzip:

Viele mathematische Funktionen beruhen auf Verhältnissen.

Ausgehend von dieser Erkenntnis beruhen die Berechnungen mit diesen Hilfsmitteln auf den Proportionen der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

Ab 1624 auch mit logarithmischer Teilung!

 

 
Erkennst Du den Vierstreckensatz? Kombiniert mit einer logarithmischen Skala zum Abgreifen, war dies ein mächtiges Hilfsmittel.
 
Rechenschieber
 
Multiplikation und Division
durch Aneinanderlegen logarithmischer Skalen
Quadrat- und Kubikwurzel
Linearskala, Kehrwertskala
sin, cos, tan
 
Thacher's Logarithmic Calculator
 
Auf dieser Rechenwalze von 1881 ist eine logarithmische Skala von einigen Metern Länge auf mehrere kleine Abschnitte verteilt.
 

Loga Rechenwalze

So eine Loga Rechenwalze hat bei einer Walzenbreite von 60 cm die Genauigkeit eines 15 m langen Taschenrechners.

 
 

Otis King's Calculator

Carbic Ltd., England, oben Modell K, SN V6874, unten Modell L

Drei ineinander verschiebbare Zylinder, der äußere als Läufer, die beiden anderen spiralförmig umwickelt mit 1,7 m langen logarithmischen Skalen. Multiplikation und Division mit etwa vierstelliger Genauigkeit.
Modell K mit Doppelskala auf dem inneren Zylinder (spart Einstellbewegungen)
Modell L stattdessen mit Logarithmenskala zur Bestimmung von Wurzeln und Potenzen.

 
Fuller's Calculator

Stanley London ab 1877, Modell 1
SN 12859 62 (dieses Exemplar hergestellt 1962)

Multiplikation und Division mit fünfstelliger Genauigkeit. Potenzen und Wurzeln.
Eine einzelne 500 Zoll lange logarithmische Skala auf dem äußeren Zylinder, dazu zwei Läufer, je einer am inneren und am mittleren Zylinder befestigt. Hilfsskala für Logarithmen.
Auf dem mittleren Zylinder Hilfstabellen für Sinus und Dezimalteile von englischen Maßen.

Eine Anleitung zu Fuller's Calculator findest Du bei Reinhard Atzbach. Es lohnt sich immer seine Site einmal zu besuchen.

Eine Simulation dieses logarithmischen Calculators kannst Du Dir hier saugen: fuller.zip

In der Zip-Datei befindet sich die Datei fuller.exe. Wenn Dein PC Dich fragt "Speichern oder öffnen", dann wähle öffnen. So wird die Simulation automatisch gestartet. Ansonsten musst Du es selber tun.

Das letzte Bild in der Mitte, also hier gleich links, ist ein Schnappschuss aus der Simulation.