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Algebra mit Spaß lernen

 
Herr Logarithmus tafelt 1
 
     
 

Auf "Los!" geht's los und Grüß Gott. Dass Du Dich für das angeblich "altmodische" Rechnen mittels einer Logarithmentafel interessierst, finde ich toll. Ich setze mal voraus, dass Du Dir die anderen Seiten über den Herrn Logarithmus zu Gemüte geführt hast. Ich habe keinen Bock zu wieder bei Adam und seiner Rippe anzufangen.

"Die Logarithmen können nur dann eine Vereinfachung des Rechnens ermöglichen, wenn alle Logarithmen zu derselben Basis gebildet werden." So steht es in einem Mathebuch von 1978. Also vergiss den Taschenrechner für diese Seite.

Da wir die Zahlen im allgemeinen im Zehnersystem schreiben und in diesem System rechnen, war es schon für Herrn Brigg naheliegend, auch bei den Logarithmen die Zahl 10 als Basis zu wählen. Du erinnerst Dich, für diese Zehner-Logarithmen gibt es eine vereinfachte Schreibweise?

log10x = lg x      x R+

Logarithmen sind meist irrationale Zahlen und die können ohne Taschenrechner nur mit aufwendigen Rechenverfahren näherungsweise bestimmt werden. Diese Arbeit hat früher die Logarithmentafel abgenommen. Dieser Logarithmentafel kann man die Zehnerlogarithmen - für den Schulgebrauch oft auf vier Stellen nach dem Komma gerundet - entnehmen. Natürlich gab es für wissentschaftliche Zwecke auch Logarithmentafeln mit viel mehr Stellen Genauigkeit.

Lass uns mal einen Logarithmus in unserer Tafel nachschlagen.

lg 3,277 = 0,5155

 
     
 

Für die Anwendung der Logarithmen beim praktischen Rechnen liefert die Tafel schnell den Logarithmus zu einer positiven reellen Zahl und umgekehrt den Numerus zu einem gegebenen Logarithmus.

Wat'n Numerus is? Selbstverständlich die positive reelle Zahl, in unserem Beispiel die Zahl 3,277. Früher waren die Mathematiker (wie alle Wissenschaftler) olle Lateiner und heute sind sie olle Engländer.

Da lg 1 = 0 und lg 10 = 1 ist, folgt, dass der Zehnerlogarithmus für 1 < x < 10 zwischen 0 und 1 liegt. In der Logarithmentafel brauchen daher für die Näherungszahl des Logarithmus einer Zahl zwischen 1 und 10 nur die Stellen hinter dem Komma angegeben zu werden.

 
     
 

Mir scheint's, ich bin 'ne alte Waafen. Eigentlich wollte ich Dir ja erklären, wie man den Logarithmus zu einer Zahl zwischen 1 und 10 nachschlägt. Also den Numerus findest Du in den rosa Spalten bzw. Zeilen. Du suchst unter N wie Numerus die Ziffernfolge 3-2-7 und dann gehst Du nach rechts bis Du unter der 7 in der oberen rosa Zeile bist. Dort liest Du 55 ab. Das ist aber nur 2.Teil des Logarithmus. Den ersten Teil kannst Du oben unter dem schwarzen Strich ablesen. Es ist die 51. Alles klar? Meine Güte, nimm halt Deinen Taschenrechner, wenn Du so mißtrauisch bist und prüfe es nach.

Was mit Zahlen ist, die nicht zwischen 1 und 10 liegen? Erstens solltest Du Dir den Begriff Numerus angewöhnen und zweitens gibt es mit solchen Numeri keine Probleme. Aber schau selber.

lg 32,77 = lg (10 • 3,277) = lg 10 + lg 3,277 = 1 + 0,5155 = 1,5155

lg 3277 = lg (1000 • 3,277) = lg 1000 + lg 3,277 = 3 + 0,5155 = 3,5155

lg 0,3277 = lg (3,277 : 10) = lg 3,277 - lg 10 = 0,5155 - 1

lg 0,03277 = lg (3,277 : 100) = lg 3,277 - lg100 = 0,5155 - 2

Dein Nachbar versteht nicht, was das hier soll. Erstens soll er für sich selber sprechen und zweitens marsch marsch zurück zu den Logarithmengesetzen. Er möge sich doch bitte die Seite dazu noch einmal reinziehen.

Die Logarithmen von 0,3277 bzw. 0,03277 usw. also von positiven Zahlen unter 1, sind negativ. Du erinnerst Dich, es gibt negative Hochzahlen? Was ist 2-1? Ja, richtig 1/2, Spitze! Was das mit dem Logarithmus zu tun hat? Ouuuuuuchch! Die tibetanische Gebetsmühle sagt Dir:"Logarithmen sind Hochzahlen!"

10lg3,277 = 3,277

Nein' ich bin nicht genervt! Ich vergesse nur manchmal, dass ich seit vielen, vielen Jährchen ständig am Gedächtnisauffrischen bin und Du nicht. Nichtsdestotrotz solltest Du Dein Gedächtnis besser ausnutzen! Dazu gehört eben nicht nur Verstehen, sondern auch Pauken, Einpauken, Auswendiglernen und zwar mit allen Tricks, die Dir einfallen. Stell Dir z.B. eine 10 m hohe 10 vor. Das kannst Du nicht, das sei albern? Je alberner und ausgefallener Deine Fantasie, desto mehr Merk. Du gehst durch die Stadt und alle Häuserfassaden sind mit einer riesigen 10 bemalt und an den Dachrinnen hängen je nach Häusergröße lg-Brezeln, wie im Schlaraffenland. Mensch, denk Dir doch selber was aus!

Machen wir weiter! Es nützt Dir auch nichts, wenn Du jetzt vom Club anfängst. Diesmal nicht. Ich habe genug geschmarrt.

Du siehst also, dass sich der Logarithmus eines beliebigen Numerus auf folgende Weise bestimmen lässt: Du bildest aus ihm durch Kommaverschiebung die zugehörige Zahl zwischen 1 und 10, entnimmst für deren Logarithmus die Stellen hinter dem Komma aus der Tafel und fügst zu dem Ergebnis eine Zahl hinzu, die nur von der Stellung des Kommas im gegebenen Numerus abhängt.

Die aus der Tafel entnommenen Ziffern nennt man Mantisse, die hinzugefügte Zahl die Kennzahl des gesuchten Logarithmus. Steter Tropfen füllt das Gedächtnis, also noch einmal: Die Mantisse hängt von der Ziffernfolge, die Kennzahl von der Kommastellung im Numerus ab. Für die Ermittlung der Kennzahl merke Dir bitte folgende Regel.

Ist der Numerus > 1, so zählst Du die Stellen vor dem Komma, subtrahierst 1 und setzt diese Zahl vor das Komma der Mantisse.

Gilt 0 < Numerus < 1, so zählst Du die Anzahl der Nullen vor der ersten von 0 verschiedenen Ziffer. Vor die Mantisse des Logarithmus setzt Du 0, ... und die Anzahl der eben bestimmten Nullen setzt Du mit einem Minuszeichen hinter die Mantisse.

So und jetzt wollen wir üben, üben und üben, und zwar von hüben und drüben. Dazu benutze bitte die am rechten Rand bereitgestellte Logarithmentafel. Die Übungsaufgaben findest Du am rechten Rand. Die Lösung steht am rechten Rand neben der Aufgabenstellung. Sie wird aber nur mit Mouseover sichtbar. Du kannst es bleiben lassen oder Du kannst es lernen. Du kannst Dich bescheißen oder Du gibst Dir Mühe und lernst es. Lernen ohne Mühe gibt es nicht, doch Mühe kann auch Spaß machen.

Beispiele:

lg 72,14 = ?

Da 72,14 zwei Ziffern vor dem Komma hat, ist die Kennzahl 1, d.h. lg 72,14 = 1,...
Mit der Mantisse aus der Tafel ergibt sich lg 72,14 = 1,8582

lg 0,02147 = ?

Die Kennzahl ist -2, da in diesem Fall zwei Nullen vor der ersten von 0 verschiedenen Ziffer stehen. Mit der Mantisse aus der Tafel erhält man lg 0,02147 = 0,3318 - 2

Ebenso wichtig wie die Bestimmung des Logarithmus ist für das praktische Rechnen die Bestimmung des Numerus zu gegebenem Logarithmus.

Beispiele:

lg x = 2,3126

Die Kennzahl 2 bedeutet, dass der Numerus 3 Stellen vor dem Komma besitzt. Zu der gegebenen Mantisse 3126 ergibt sich aus der Tafel x = 205,4.

lg x = 0,2189 - 4

Die Kennzahl - 4 bedeutet, dass der Numerus beginnt mit 0,000...
Aus der Tafel ergibt sich x = 0,0001655.

Bei der Bestimmung des Numerus gilt in unserer Tafel folgende Regel:

Tritt die Mantisse mehrfach auf, so ist beim Delogarithmieren derjenige Wert zu bevorzugen, der durch einen rechts hochgestellten Punkt gekennzeichnet ist.

So und jetzt viel Spaß bei den Übungen. Richtig rechnen? Erst auf der nächsten Seite, sonst würde diese hier viel zu lang.

 
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 18:59 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Aufgaben

Die Aufgaben sind so genau zu lösen, wie es die Tafel ermöglicht. Sollte ich bei meinen Lösungen Fehler gemacht haben, dann maile es mir bitte. Die Schrift der Lösungen ist weiß formatiert. Wenn du diesen weißen Text mit der maus markierst, kannst du ihn lesen.

Aufgabe 1

Bestimme zuerst die Kennzahlen zu den folgenden Numeri und dann mit Hilfe der Tafel ihre Logarithmen.

 

54 1,7324
4,7 0,6721
3,2 0,5051
56 1,7482
97,2 1,9877
542 2,7340
832 2,9201
417 2,6201
3420 3,5340
0,5 • 10-2 0,6990 - 3
0,00052 07160 - 4
5 • 10+3 3,6990
4,21 • 10-3 0,6243 - 3
8,32 • 10+5 5,9201
34,2 • 10-1 0,5340
6,35 • 10+10 10,8028
   

Aufgabe 2

Bestimme die folgenden Logarithmen.

lg 23,4 1,3692
lg 5,24 0,7193
lg 5,218 0,7175
lg 0,02145 0,3314 - 2
lg 5893 3,7703
lg 1010 3,0043
lg 0,00512 0,7093 - 3
lg 5,143 0,7112
   

Aufgabe 3

Bestimme die Numeri zu folgenden Logarithmen.

0,2148 1,640
0,5132 3,260
1,2175 16,50
0,2989 1,990
0,8692 - 1 0,7399
0,7259 - 3 0,005320
0,7520 - 2 0,05649
0,8248 - 3 0,006680
   

Aufgabe 4

Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen in R+

lg x = 0,2148 1,640
lg x = 1,4871 30,70
lg x = 2,3125 205,3
lg x = 2,1459 139,9
lg x = 0,3156 2,068
lg x = 0,2140 - 1 0,1637
lg x = 5,1428 138900
lg x = 4,8138 - 2 651,3
lg x = 0,4128 - 3 0,002587
lg x = 0,7245 - 3 0,005303
lg x = 0,02143 - 5 0,00001050
lg x = 0,08132 - 6 0,000001206