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Strategie: Rückwärtsarbeiten

Textaufgabe:

Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht eine Wächterin und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein einziger Apfel übrig. Wie viele Äpfel hatte er am Anfang?

In der Liebe und bei Textaufgaben sind alle Mittel erlaubt!

Und weil das so ist erledigen wir diese Textaufgabe hinterrücks, sozusagen mathe-meuchlerisch. Grüß Gott erst einmal, bin heute anscheinend kein gutes Vorbild. Also du willst nach der Hasenpfoten-Strategie eine weitere Strategie zum Lösen von Textaufgaben kennenlernen? Natürlich darfst du auch hier alles einsetzen was dir nützlich erscheint, Skizzen, Tabellen, Zahlenbeispiele usw. Doch dies ist eine Textaufgabe bei der bietet sich die Strategie des Rückwärtsarbeitens an, sie springt einem sozusagen mit dem "nackten Hintern" geradezu ins Gesicht ('tschuldigung).

Woran du das erkennen kannst? In der Textaufgabe ist von einer Reihe von Ereignissen die Rede und die Folge dieser Ereignisse ist am Ende ein Ergebnis. Der Apfelpflücker muss 7 Stadttore passieren und jedesmal Äpfel abgeben und am Ende hat der arme Mann nur noch einen Apfel. Gefragt ist jetzt: Was war am Anfang? Wie viele Äpfel hatte der Mann gepflückt?

Immer wenn du eine Textaufgabe vor dir hast, bei der nach einer Reihe von Ereignissen ein Ergebnis bekannt ist und dann danach gefragt wird, was am Anfang war, dann ist das Rückwärtsarbeiten angesagt!

Selbstverständlich geht es auch hier nicht ohne Skizze ab. Dazu zeichnest du dir 7 Stadttore am Besten untereinander. Aber klick dich doch mal durch meine Zeichnung und versuche die Lösungsstrategie/-methode zu verstehen.

	Vor dem Tor	Nach dem Tor

7. Tor			Überlege dir, wie viele Äpfel der Mann vor dem letzten Tor hatte. Am Besten probierst du es einfach aus. Ausprobieren ist überhaupt eine der besten Methoden in der Mathematik. Probieren geht über Studieren! Und beim Computer probierst du doch auch alles aus, oder? Also probieren wir! Könnten es 2 Äpfel gewesen sein? Er müsste die Hälfte, also 1 Apfel + noch 1 Apfel abgeben und hätte danach keinen mehr. Also 2 Äpfel waren es nicht. 3 Äpfel sind auch nicht möglich, da er dann jetzt nur noch einen halben Apfel hätte. Bei 4 Äpfeln gibt er die Hälfte, also 2 Äpfel ab, + noch einen Apfel und behält einen Apfel. Er hat also vor dem letzten Tor bzw. nach dem 6. Tor 4 Äpfel. Nach dem 6. Tor hat er 4 Äpfel. Jetzt denken wir rückwärts und sagen im Geiste zu der Wächterin: "Gib ihm den 1 Apfel wieder" und dann hat er wieder 5 Äpfel und dies ist genau die Hälfte der Äpfel, die er vor dem 6. Tor hatte. Also heißt es bei jedem Tor rückwärts zunächst 1 Apfel addieren und das Ergebnis mal 2 nehmen und wieder 1 Apfel addieren und wieder mal 2 nehmen.

6. Tor

5. Tor

4. Tor

3. Tor

2. Tor

1. Tor

Dieses Verfahren machen wir so lange bis wir vor dem 1. Tor angelangt sind.

Der Apfelpflücker hatte am Anfang 382 Äpfel.

Du willst wissen, wie man diese Textaufgabe mit einer Gleichung löst? Ich sage dir, Textaufgaben, die du durch Rückwärtsarbeiten lösen kannst, sind meistens völlig ungeeignet um sie durch eine Gleichung zu lösen. Schau dir nur einmal die weiteren Textaufgaben auf dem rechten Rand an. Aber machen kann man es natürlich.

Kennst du noch die Schritte um eine Textaufgabe durch eine Gleichung zu lösen? Es wäre vielleicht ganz nützlich, wenn du sie auf der Seite mit der Hasenpfoten-Strategie noch einmal durchlesen würdest.

Aufgabe verstehen
Wahl der Unbekannten
Aufstellen der Gleichung
Lösen der Gleichung
Prüfen der Lösung
Antwort

Die Aufgabe verstanden haben wir ja wohl schon. Bei der Wahl der Unbekannten x gibt es eigentlich keine Auswahl:

x = Anzahl der Äpfel vor dem 1. Stadttor

Dann gilt: ((((((x : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1 = 1

Da kann ich nur hoffen, dass ich keine Klammer vergessen habe. Und jetzt müssen wir genau die Rechenoperationen durchführen, die wir oben in der Zeichnung schon durchgeführt haben. Du siehst eine Gleichung ist hier nicht sehr vorteilhaft.

Textaufgabe 2:

Der Koch eines kleinen Zeltlagers braucht für die Suppe, die er kochen will genau 6 Liter Wasser. Er schickt eines der Mädchen los, sie soll die 6 Liter Wasser aus dem nahen Fluss holen. Doch er hat nur einen 9-Liter-Eimer und einen 4 Liter Eimer ohne jegliche Markierungen. Wie muss da Mädchen vorgehen damit sie genau 6 Liter Wasser holt?

Warum ist das ein Problem, welches du am Besten durch Rückwärtsarbeiten löst? Nach einer Reihe von Ereignissen, Füllen und Leeren der Eimer, sollen am Ende im 9-Liter-Eimer die 6 Liter Wasser übrig bleiben. Wie könnte sie das schaffen?

Denke rückwärts!!!

Am Ende muss sie 3 Liter aus dem 9-Liter-Eimer herausschütten. Sie kann es nicht in die Landschaft schütten, denn dann wüsste sie ja nicht wie viel Wasser sie ausschüttet. Sie kann es nur in den 4-Liter-Eimer kippen, aber da müsste schon 1 Liter drin sein, sodass nur noch 3 Liter hineinpassen.

Also gut, sie braucht also unbedingt 1 Liter Wasser im 4-Liter-Eimer. Wie kann sie nun den mit dem 9-Liter-Eimer abmessen? Aha, du hast es geschnallt? Aus dem 9-Liter-Eimer müssen zuerst 4 Liter heraus und dann noch einmal 4 Liter. So bleibt 1 Liter im 9-Liter-Eimer zurück. Den gießt sie in den 4-Liter-Eimer. Jetzt füllt sie den 9-Liter-Eimer erneut und kann jetzt exakt 3 Liter in den 4-Liter-Eimer abgießen und der Koch bekommt seine 6 Liter Wasser für die Suppe.

So und jetzt kannst du dich einmal am Milchkannenspiel versuchen. Auch hier hilft die Strategie: Denke rückwärts!!!

Bei diesem Spiel geht es darum, mit Hilfe dreier Gefäße von drei, fünf und acht Litern durch mehrmaliges Umfüllen vier Liter Milch abzumessen. Um die Milch von einer Kanne in eine andere zu schütten, muss man den Mauszeiger mit gedrückter Maustaste von einer Kanne zur anderen ziehen.