Figurine12
 
 
 
 
 

Aufgabe:

Schätze ab und setze im Geiste die Zeichen <, = oder > ein. Mit einem Mausklick auf die Platzhalter blendest Du die Lösungen ein.

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Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 1
Quadratwurzel
 
     
 

Grüß Gott und herzlich willkommen zur Lerneinheit mit dem Thema "Reelle Zahlen". Im verquasten Pädagogendeutsch würde es wohl heißen "Lernmodul". Die sollen mir mit ihren Modulen vom Leib bleiben. Meine Waschmaschine besteht aus Modulen, mein Fernseher auch und die teuersten Module befinden sich in meinem Auto. Jedesmal, wenn irgend etwas kaputt ist, muss das Modul gewechselt werden. Reparieren geht nicht mehr. Also ich will hier nicht dein Beißmodul austauschen, sondern dir das Verständnis und den Umgang mit reellen Zahlen beibringen. Dazu eine erste Aufgabe.

Aufgabe:

Welche Zahlen wurden jeweils quadriert?

Wenn du mit der Maus über die gegebenen Quadrate gehst, wird dir die Lösung, die Quadratwurzel, angezeigt.

 
     
 
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0,0121
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0,81
0,0036
6,25
 
 
 
     
 
 

Die Umkehrung des Quadrierens wird für nicht negative Zahlen als "Ziehen der Wurzel" oder "Radizieren" bezeichnet.

Die "Quadratwurzel" aus a ist die nicht negative Zahl x, die beim Quadrieren a ergibt.

Man schreibt: = x; mit a, x Q0+

Es gilt: ()² = a

Der Term unter der Wurzel heißt "Radikand".

 

 
     
 

Höre dir an was Katrin zu sagen hat. Hat nun Katrin recht oder unrecht? Dürfen unter dem Wurzelzeichen wirklich nur positive Zahlen stehen? Befragen wir doch unseren supertollen Taschenrechner. Tippe bitte ein . Eigentlich müsste er jetzt "Error" melden. Aber Pustekuchen! Er gibt "2i" an. Was ist denn das? Tja, der Taschenrechner ist doch nicht so toll. Er weiß nämlich nicht zwischen Realschüler und Gymnasiast zu unterscheiden. Für einen Realschüler ist reiner Quatsch und für einen Gymnasiasten eben "2i". Wie pflegte meine Mutter zu sagen: Es gibt noch Dinge zwischen Himmel und Erde über die man sich nur wundern kann. Sie hätte eine negative Quadratzahl sicher dazu gerechnet. Aber die negative Quadratzahl ist kein Ding zwischen Himmel und Erde, sondern zwischen Mittlerer Reife und Abitur. OK, an der Stelle hier kann ich dir das noch nicht erklären, doch sobald du das Rechnen mit Wurzeln gelernt hast, komme ich auf die negative Quadratzahl und ihre Wurzel zurück.

Katrin sagt und ich sage auch: Die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen ist an der Realschule nicht möglich. Für dich ist reiner Quatsch. Alles klar?

Was bedeutet nun der 2. Satz: Die "Quadratwurzel" aus a ist die nicht negative Zahl x, die beim Quadrieren a ergibt? Auch hier ist von "nicht negativen Zahlen" die Rede. Es hat überhaupt nichts damit zu tun, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf. Was also bedeutet es?

Die Schreibfigur bedeutet ja eigentlich eine Frage: Welche Zahl muss man quadrieren, damit 49 das Ergebnis ist?

7² = 49 aber auch (-7)² = 49. Was soll nun bedeuten? Soll es 7 sein oder -7 oder beides? Man hat sich aus Gründen, die ich dir am Rand erkläre, dafür entschieden, die nicht negative Zahl zu nehmen. Also gilt: = 7. Jede andere Entscheidung führt zu Absurditäten (siehe Rand). Wenn du dir meine Argumente am Rand angeschaust hast, wirst du verstehen, warum die Mathematiker sagen:

Die Schreibfigur stellt nur die Zahl 7 dar. Nur so lässt sich sinnvoll rechnen. Man hätte der Schreibfigur natürlich auch die negative Zahl zuordnen können. Doch die ganze Wurzelrechnerei würde völlig anders ausschauen.

Welche Auswirkungen die Festlegung der Mathematiker auf die positive Zahl hat, wollen wir uns jetzt etwas näher betrachten.

Festgelegt ist für alle Ewigkeit: = 7 und = 6, und ebensolches gilt für alle anderen Wurzeln.

Beschäftigen wir uns einmal mit ein paar einfachen Gleichungen z.B. mit x² = 49. Mit welchen Zahlen darfst du x belegen, damit diese Gleichung stimmt? Was darfst du einsetzen? Was sind die Lösungen?

Mit x² = 49 gilt x1 = 7 oder x2 = -7. Benutzen wir unsere Schreibfigur, dann folgt:

x² = 49 ==> x1 = + und x2 = -

x² = 36 ==> x1 = + und x2 = -

x² = 2 ==> x1 = + und x2 = -

Ich sehe es deinen glasigen Augen an, dass du dabei bist dich auszuklinken. Bleibe hier und hör dir Katrin an. Katrin hat Recht. Was für die Zahlen 49 und 36 gilt, muss auch für alle Zahlen gelten. Wenn das Wurzelzeichen nur auf Quadratzahlen anzuwenden wäre, würde es ziemlich sinnlos sein, d.h. wenn es eine nicht gibt, können wir die Wurzeln vergessen. Es wären exotische Sonderfälle. Du ahnst es schon. Es gibt die und das will ich dir jetzt zeigen. Was das für eine Zahl ist, das ist ist eine ganz andere Frage und die beantworte ich noch nicht. Hier geht es nur um die Existenz von . Quadratzahlen haben die schöne Eigenschaft, dass man sie durch ein Quadrat veranschaulichen kann.

 

 
 
 
     
  Wenn existiert, muss es ein Quadrat geben, dessen Seitenlänge LE ist. Und du wirst jetzt ein solches Quadrat basteln. Unten findest du 2 Quadrate mit der Seitenlänge 1 LE. Daraus folgt der Flächeninhalt 1 FE. Beide Quadrate sind durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt. Die 4 Dreiecke kannst du mit gedrückter Maustaste durch die Gegend ziehen. Bastel aus ihnen ein Quadrat. Dieses Quadrat hat dann den Flächeninhalt 2 FE und demnach die Seitenlänge LE.  
 
 
     
  Ich hoffe, du hast das Puzzle geschafft. Wenn nicht, siehst du unten wie du die Dreiecke hättest zusammenlegen müssen. Versuche es noch einmal. Jedenfalls gibt es Quadrate, deren Seitenlänge LE ist. Aber wir wissen immer noch nicht, was ist. Höre was Katrin sagt. Ach, Katrin ich liebe dich. Du hast den vollständigen Durchblick. Wir übertragen die Seitenlänge unseres zusammengepuzzelten Quadrates mit dem Zirkel auf die Zahlengerade und dann? Dann zoomen wir in die Zahlengerade hinein, soweit es die Software hergibt. Dann sollten wir eine gewisse Vorstellung gewinnen, was eigentlich ist. Wir lesen es einfach ab. Klick auf die Grafik um zu zoomen!  
     
 
  Du solltest noch mindestens 2 Kommastellen mehr angeben können als hier =1,41421...
Lese sie an der Zahlengeraden ab. Dein Taschenrechner schafft nur 2 weitere Kommastellen. Also scheint eine Dezimalzahl zu sein, deren Periode ziemlich lang ist. Doch Pech! Sie ist nicht periodisch.
 
     
  Was ist sie dann, die ? Dieses Geheimnis lüfte ich erst auf der nächsten Seite. Heute habe ich keinen Bock mehr. Höre was Katrin sagt. Und was sage ich ?  
     
 
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:02 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Klick mich an und klick auf den Lautsprecher .
 
Katrin braucht den Internet-Explorer und dazu muss im Windows-Media-Player ein Häkchen bei Wiedergabe von wav-Dateien gesetzt sein.

= 7, warum?

Schauen wir uns folgende einfache Aufgabe an:

+ =

Nehmen wir mal an, wir würden auch die negative Zahl zulassen, die beim Quadrieren 49 bzw. 36 ergibt, dann müssten wir folgende Fallunterscheidung machen:

1.) 7 + =

2.) -7 + =

Wir hätten schon zwei Rechnungen und jetzt geht es noch weiter:

1.1) 7 + 6 = 13

1.2) 7 + (-6) = 1

2.1) -7 + 6 = -1

2.2) -7 + (-6) = -13

Wir hätten 4 verschiedene Ergebnisse. Stelle Dir mal vor Du hast 6 oder 8 Wurzeln in einer Rechnung. Wie viele Lösungen hättest Du dann?

 
 

Geschichte des Wurzelzeichens

Das von lateinischen Autoren im späten Mittelalter am häufigsten gebrauchte Wurzelzeichen war der gestrichene Großbuchstabe R:

 
 
Anfangsbuchstaben von "radix", dem lateinischen Wort für Wurzel. Das gestrichene R konnte sich als Wurzelzeichen noch bis zum Ende des 16. Jahrhunderts behaupten. Abweichend von dieser Symbolik sind aus dem 15. Jahrhundert mathematische Abhandlungen bekannt, in denen das Wort "radix" ausgeschrieben wurde. Der deutsche Rechenmeister Johannes Widmann benutzte abwechselnd das gestrichene R und die Abkürzung "ra" für "radix". In der Dresdener Handschriftensammlung mathematischer Manuskripte finden sich zwei weitere Formen, um die Wurzelziehung zu kennzeichnen. Eine deutsche Algebra (1481) aus dieser Dresdener Sammlung benutzt das folgende Symbol:
 
 

Das Symbol setzt sich aus zwei Zeichen zusammen. Als erstes ist links der Kleinbuchstabe r zu erkennen. Dem r folgt ein Zeichen, welches Ähnlichkeiten mit dem Kleinbuchstaben l unserer heutigen Schreibschrift hat. Es handelt sich jedoch hierbei nicht um ein l, sondern um ein Zeichen, mit dem im Mittelalter eine Kürzung durch Weglassung angezeigt wurde. Wenn ein Autor der Meinung war, der Leser wüßte, was für ein Wort an einer bestimmten Textstelle kommen muß, so schrieb er an dieser Textstelle nur den Wortanfang und das Weglassungskürzel. Folglich ist das Wurzelzeichen in der deutschen Algebra von 1481 eine Kurzform von "radix".

Eine kleine lateinische Algebra aus der gleichen Dresdener Sammlung gebraucht für die Wurzelziehung eine Punktnotation. So wird in der lateinischen Algebra die Quadratwurzel aus neun einfach durch die 9 mit einem vorangestellten Punkt dargestellt:
 
 
Seine heutige Form verdankt das Wurzelzeichen dem Theologen und Mathematiker Michael Stifel, der es in seinem Buch Arithmetica integra (1544) verwendete. Im Zeitraum von 1550 bis 1610 fand das Wurzelzeichen  in Europa allgemein Verbreitung.