Figurine12
 
 
 
 
 
 

Aufgabe 3:

Ist die Zahl rational oder irrational? Mit Mausklick bekommst Du die Lösung.

a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
f)
 
g)
 
h)
 

Aufgabe 4:

Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Wurzel? Ohne GTR! Mit Mausklick die Lösung.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 2
Irrationale Zahlen
 
     
 

Katrin wartet schon ungeduldig, dass wir anfangen. Kunststück, sie braucht ja auch keinen Schlaf, so wie ich. Meine Güte ich sitz noch nicht richtig, da legt sie schon los. Was für ein Weib! Aber hetzen lassen ich mich trotzdem nicht. Auch von mir erst einmal ein Servus. Doch mit der Zielvorgabe hat Katrin natürlich völlig Recht. Wir beide wollen dir heute zeigen, was die ist oder eben nicht ist. Was sagst du? Das brauchen wir nicht? dir reicht der Taschenrechner? Was machst du denn, wenn dein Rechenknecht keine Lust hat? Kannst du dann noch eine Wurzel ziehen? Wir beide versprechen dir, diese Seite ist überhaupt nicht anstrengend und hinterher hast du eine Vorstellung davon, warum eine "unvernünftige" Zahl, eine Irre, eine irrationale Zahl ist. Und danach? Danach darfst du dann nach Herzenlust mit dem Taschenrechner Wurzeln berechnen. Alles klar?

Auf der letzten Seite haben wir in eine Zahlengerade hineingezoomt, in der Hoffnung zu finden. Egal bei welcher Vergrößerung, immer lag der Bildpunkt zwischen irgendwelchen Skalenstrichen. Dieses "Dazwischenliegen" scheint eine Eigenschaft von zu sein. scheint zwischen allen Stühlen zu sitzen und das noch äußerst bequem. Doch wir werden ihren Ohrensessel schon finden, Katrin erklärt dir, was wir machen werden.

Aufgabe von Katrin :

Also du brauchst deinen Taschenrechner, außer du willst 24 Stunden zu Fuß rechnen. Was du nicht benutzen darfst ist die Wurzeltaste. Trotzdem wollen wir mit systematischem Probieren so genau berechnen, wie mit der Wurzeltaste. Die sitzt auf ihrem Ohrensessel zwischen allen Stühlen und lacht uns aus. Wenn wir aber jetzt irgendeinen Stuhl nehmen und ihn quadrieren, dann können wir zwei Dinge feststellen. Steht der Stuhl links oder rechts vom Ohrensessel und wie weit ist er überhaupt weg, überhaupt ungefähr, genau gesagt.

Nehmen wir z.B. den Stuhl mit der Nummer "1,5", quadrieren ihn und erhalten 2,25. Was wissen wir jetzt? Richtig! sitzt gut getarnt in ihrem Ohrensessel links von unserem Standpunkt 2,25. Wir brauchen einen Stuhl, der näher am Ohrensessel steht, den wir nicht sehen. Also versuchen wir es mit einem Stuhl links von uns, von dem wir vermuten, dass er ziemlich nahe am Ohrensessel von steht. Wählen wir z.B. den Stuhl mit der Nummer "1,4". Wir quadrieren ihn und erhalten 1,96. Was wissen wir denn jetzt Neues? Richtig, der Ohrensessel steht irgendwo zwischen Stuhl "1,4" und Stuhl "1,5". Wir brauchen im nächsten Schritt einen Stuhl mit einer Nummer zwischen "1,4" und "1,5". Dieses Spielchen betreiben wir eine Weile. Irgendwann gibt der Taschenrechner keine neuen Stuhlnummern mehr her. Der Rechenknecht geht in die Knie.

Du legst dir eine Tabelle an, so wie ich unten und probierst es aus. Erst danach schaust dir an, wie Katrin und ich es gemacht haben.

 
     
 
Stuhl
Stuhl² ist links
Stuhl² ist rechts
1,5
2,25
1,4
1,96
1,4?
 
     
  Wir sind am Ende der Fahnenstange angekommen. mehr gibt der Casio GTR nicht her. Bei 9 Kommastellen ist Schluss. Und weißt du, was unsere in ihrem Ohrensessel über unsere Bemühungen denkt? Gehe mit der Maus auf den Sessel, wenn deine Boxen eingeschaltet sind. Katrin sagt . Nein, Katrin für weitere 10 000 Kommastellen habe ich hier keinen Platz. Aber du könntest ja mal die Position des Ohrensessels auf 1000 Kommastellen genau berechnen.  
     
 

= 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379
9073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073
7212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109
5599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214
5083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835239505474
5750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699
0048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130
1561856898723723528850926486124949771542183342042856860601468247207714
3585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558
4466521458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003186
4803421948972782906410450726368813137398552561173220402450912277002269
4112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138
0475654823728997180326802474420629269124859052181004459842150591120249
4413417285314781058036033710773091828693147101711116839165817268894197
58716582152128229518488472 ?

 
     
 

Ich hoffe, Katrin und ich haben dich überzeugt, dass eine unendliche, nicht periodische Dezimalzahl ist. Wir kommen dem Ohrensessel beliebig nahe. Aber selbst wenn wir bis zum Ende aller Tage rechnen, ganz genau zum Greifen bekommen wir die nicht. "Ganz genau" geht prinzipiell nicht. Wir müssen uns mit "beliebig genau" zufrieden geben. So und das will ich dir rechts am Rand auch noch beweisen. Nur keine Angst es geht schnell und leicht.

Hast du den "Hirn umdrehen"- Beweis verstanden? Und weißt du, was er bedeutet? Es gibt außerhalb der Menge der rationalen Zahlen auch noch Leben. Allerdings sind es nicht ganz fassbare, elfenartige Zahlen, die irrationalen Zahlen . OK für die Namensgebung war ein fantasieloser Mathematiker verantwortlich. Kaum ein Schüler versteht, warum die Bruchzahlen rational = vernünftig heißen. Das Rechnen mit den rationalen Zahlen, den sogenannten vernünftigen Zahlen, den Bruchzahlen, zerbricht ihnen das Hirn. Ein weit besserer Name wäre doch "Hirnbrecher-Zahlen" gewesen. Und jetzt zu den Wurzeln wie z.B. , elfenartig, kaum fassbar, wir sehen immer nur ihre zarte, sie eingrenzende Hülle, ein Gespinst von Kommastellen, solch zarte Wesen nennen fantasielose Mathematiker irre? 'tschuldigung, irrationale Zahlen, unvernünftige Zahlen, nicht vernünftige Zahlen. Du könntest sie ja heimlich Elfenzahlen nennen.

Na gut, es hilft alles nix. In der Schule heißen die Rationalen Zahlen rational und die Irrationalen , sie heißen eben irrational und du musst es lernen. Beide Zahlenmengen zusammen bilden die Menge der Reellen Zahlen.

 
     
 
 
     
 
Es gilt:             und     =
 
     
 

Ach du dickes Ei! Du verstehst nicht was bedeutet? Tja, das habe ich oben bewusst in das Diagramm eingefügt, damit Du siehst, dass es außer den Quadratwurzeln noch andere Wurzeln gibt. Du kannst eine Dritte, eine Vierte, eine Fünfte und sogar eine 2,37igste Wurzel ziehen. Was das ist, das erfährst du in der 10. Klasse, zumindestens in Wahlfachgruppe I.

Hier nur zwei Beispiele als Vorgeschmack: = 3 und = 2

Diese beiden dritten Wurzeln sind nun keine irrationalen Zahlen. Sie lassen sich ja ziehen. Aber lässt sich nicht ziehen, sondern nur näherungsweise bestimmen. Hier gilt alles was für die auch gegolten hat. Aber nächstes Jahr ist auch noch ein Jahr, um Scarlett O'Hara abzuwandeln. Verstehst du nicht? Manche meiner Zitate sind vom Winde verweht. Macht nichts.

Zum Abschluss dieser Seite machen wir noch ein paar kleine Übungen.

Aufgabe 1:

Bestimme die Definitionsmenge ( = )

Zunächst ein Beispiel. Du sollst die Definitionsmenge von bestimmen. Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, also muss gelten:

2x - 1 0 | + 1
2x 1 | : 2
x 0,5

=> = {x| x 0,5}

Löse die folgenden Aufgaben erst allein. Danach kannst Du mit Mausklick auf die Wurzelterme die Lösung einblenden.

 
 
 
 
a) b) c) d) e) f)
 
     
   
  Hallo Du, ich bin es Katrin  
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:02 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Katrin braucht den Internet-Explorer und dazu muss im Windows-Media-Player ein Häkchen bei Wiedergabe von wav-Dateien gesetzt sein.

Der Ohrensessel von muss zwischen 1,4 und 1,5 stehen. Welchen Stuhl haben wir uns wohl als nächsten ausgesucht? Klick auf 1,96 und die nächste Zeile wird eingeblendet.

Immer wenn du auf das Ergebnis Stuhl² klickst, wird die nächste Zeile eingeblendet. Überlege dir aber erst, welchen "nächsten" Stuhl du gewählt hättest. Je geschickter die Stuhlauswahl ist, desto schneller kommen wir dem Ohrensessel näher. Wenn Du nachzählst haben Katrin und ich 23 Stühle gerückt und sind damit dem Ohrensessel von auf 9 Kommastellen nahe gekommen.

 

So kann man zeigen, dass eine nicht rationale Zahl ist, d.h. sie ist eine neue Zahl und Du kennst sie bisher nicht.

Nehmen wir an wäre eine rationale Zahl, dann müsste man sie als Bruch mit darstellen können. Nehmen wir weiter an, wir hätten den Bruch so weit gekürzt wie es nur irgend ging. Zähler und Nenner sind jetzt teilerfremd.

Dann müsste gelten:

()² = (

2 =

Da aber a und b als teilerfremd vorausgesetzt waren, kann nicht mehr gekürzt werden und daher niemals gleich der ganzen Zahl Zahl 2 sein.

Unsere Annahme, dass durch eine rationale darstellbar ist, war falsch.

Ich soll aufhören, dir dreht sich schon das Hirn um. Es rotiert? Ja das ist ja der Sinn des Ganzen. Das ist gut so. Nein, nein, bleib ruhig. Mathematiker machen das "Hirn umdrehen" öfters. Das nennen sie dann "indirekten Beweis". Sie machen eine Annahme, hier bei uns war es die Annahme lässt sich als Bruch darstellen, und dann denken sie die Sache zu Ende bis sich das "Hirn umdreht", weil es zu einem Widerspruch mit der Annahme führt. Also kann die Annahme nur falsch gewesen sein. Alles klar?

 

Aufgabe 2:

Bestimme die Quadratwurzel im Kopf. Mit Mausklick auf den Wurzelterm kannst du die Lösung einblenden.

 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
l)
m)
n)
o)