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Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Parabellissima 5
Allgemeine Parabeln in allgemeiner Form y = ax2 + bx + c
 
     
 

Hallo Du! Grüß Gott! Heute geht es um Parabeln im Alltagskleid, Parabeln in ihrer allgemeinen Form. Wie eine allgemein Form aussehen muss, siehst du ja schon in der Überschrift. So etwas Ähnliches hast schon bei der Normalform kennengelernt. Nur war dort der Öffnungsfaktor a = 1 festgelegt.

Ich will dir mal zeigen, wie man eine Parabelgleichung in allgemeiner Scheitelform in die allgemeine Form umwandelt.

p: y = 0,5 (x + 2)2 - 3 [allgemeine Scheitelform]

y = 0,5 (x2 + 4x + 4) - 3 [Du brauchst ab jetzt unbedingt die Binomischen Formeln!]

y = 0,5 x2 + 2x + 2 - 3

y = 0,5 x2 + 2x - 1 [allgemeine Form]

Für die drei Formvariablen gilt: a = 0,5      b = 2      c = -1

An den Begriff "Formvariable" solltest du dich gewöhnen. Er wird in den Aufgabenstellungen immer wieder gebraucht. Die drei Variablen heißen so, weil sie die Form der Parabel bestimmen. Bei der Formvariablen a kannst du aber auch weiterhin vom Öffnungsfaktor reden.

Nur noch einmal kurz zur Erinnerung, damit du nicht alles durcheinander schmeißt. Zuerst haben wir Normalparabeln in Scheitelform betrachtet. Es folgten die Normalparabeln in Normalform. Auf der letzten Seite waren es allgemeine Parabeln in Scheitelform und hier sind es allgemeine Parabeln in allgemeiner Form. Alles klar?

So und jetzt beschäftigen wir uns mit dem Arbeitsblatt unten. Schiebe es zur Seite. An der roten Leiste kannst du es mit der Maus packen. Am Rand plaudern wir dann weiter.

 
     
 
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So jetzt kommen eine ganze Reihe von Aufgaben, wie du sie schon kennst. Allerdings ist diesmal fast immer eine Parabelgleichung in allgemeiner Form.

Aufgabe 1:

Berechne die Scheitelkoordinaten zu folgenden Parabeln. Gib jeweils die Symmetrieachse und die Wertenmenge an. Zeichne die Parabel auf Papier. Kontrollieren kannst du deine Ergebnisse mit dem Applet oben. Du solltest aber besser deinen GTR nehmen. Denn den hast du auch in der Schule. Also kontrolliere deine Scheitel mit dem GTR. Dann blendest du mit Mausklick auf die Aufgabe meine Lösung ein. Meine ersten beiden Lösungen sind ausführliche Musterlösungen. So solltest du es auch machen.

 
     
 
a) y = x2 + 8 x + 13   b) y = - 0,5 x2 - x + 1
     
 
c) y = 2 x2 + 2 x + 4   d) y = 0,25 x2 - 3 x + 1
     
 

 

 
 

Beispiel:

Von einer Parabel sind der Öffnungsfaktor a und zwei Punkte auf der Parabel p gegeben. Bestimme die Gleichung der Parabel p.

a = - 0,5; P (4 / 3), Q (- 1 / 0,5) p

Form der Gleichung:        y = - 0,5 x2 + bx + c

Koordinaten von P und Q einsetzen:

3 = - 0,5 • 42 + 4b + c

0,5 = - 0,5 • (- 1)2 - b + c

Gleichungssystem lösen:

3 = - 8 + 4b + c | + 8 - 4b

0,5 = - 0,5 - b + c | + 0,5 + b


11 - 4b = c

1 + b = c

Gleichsetzen:

=> 11 - 4b = 1 + b | - 1 + 4b

10 = 5 b | : 5

b = 2

Einsetzen in c = 1 + b oder c = 11- 4b:

c = 1 + 2 = 3

Parabelgleichung p: y = - 0,5 x2 + 2 x + 3

 
     
  Aufgabe 2:  
 

 

 
 

Bestimme wie im Beispiel jeweils die Gleichung der Parabel p mit P, Q p

Achtung!!! Fehlerquelle!!!

Wenn du Punkte in Funktionsgleichungen einsetzt, dann steht der x-Wert im Punkt links und der y-Wert rechts. In der Gleichung ist es umgekehrt. Der y-Wert steht links und der x-Wert wird rechts eingesetzt. Lach mich nicht aus! Ich habe schon viele Schüler über ihre Sehgewohnheit stolpern sehen. Sei konzentriert!

 
     
  a) P (4 / 5); Q (1 / 0,5); a = 1,5  
     
 

 

 
     
  b) P (0 / 2,5); Q (5 /- 5); a = - 0,5  
     
   
     
  c) P (1 / - 2); Q (6 / - 7); nach unten offene Normalparabel  
     
   
     
  d) P (0,5 / - 1); Q (- 0,5 / - 3); a = - 2  
     
   
     
  e) P (3 / 0); Q (1,5 / - 2,25); a = 3  
     
   
     
 

Anmerkung: Mit Hilfe von zwei Punkten auf der Parabel und einer gegebenen Formvariablen hast du hier die beiden anderen Formvariablen bestimmt. Das funktioniert immer, ganz gleich, welche Formvariable gegeben ist. Sind zwei Formvariable gegeben, dann brauchst du nur noch einen Punkt auf der Parabel. Wie viele Punkte brauchst du, wenn du alle 3 Formvariablen bestimmen sollst? Richtig, du brauchst dann 3 Punkte auf der Parabel.

Merke: Eine Gerade liegt durch zwei Punkte fest, und eine Parabel wird durch 3 Punkte festgelegt.

Du bekommst natürlich ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen. Du löst eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt den erhaltenen Term in die anderen beiden Gleichungen ein. Und dann machst du es wie oben. Im rechten Rand geht es noch weiter.

 
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:31 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Aufgabe 3:

Von einer Parabel p ist ein Punkt P dieser Parabel sowie der Scheitel S bekannt. Bestimme jeweils die Gleichung von p. Mit Mausklick auf die Aufgabe wird die Lösung eingeblendet.

 
a) P (- 2 /2); S (- 1 / 4)
 
b) S (4 / 7); A (6 / 3)
 
 
c) D (0 / 5); S (1 / 1)
 
 
Aufgabe 4:
 

Die Nullstellen einer nach unten offenen Normalparabel sind

x1 = 4 und x2 = 2

Berechne die Gleichung der Parabel.

 
 
Aufgabe 5:
 
DieParabel p ist symmetrisch zur Geraden g und verläuft jeweils durch die angegebenen Punkte. Ermittle die Gleichung der Parabel p und skizziere die Parabel p mittels 7 Punkten. Kannst du das noch? Du solltest Nüsse essen, das stärkt das Gedächtnis. Aber eigentlich hilft nur ständige Übung, wie im Sport halt.
 

a) g mit x = - 2; P (-3 /2)
nach unten geöffnete Normalparabel

 

 

 
b) g mit x = 3; P (2 / - 2); nach oben geöffnete Normalparabel
 
 
c) g mit x = - 2; P(- 3/1,5); Q (- 4 / 3)