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Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Parabellissima 6
Allgemeine Parabeln in allgemeiner Form y = ax2 + bx + c (Fortsetzung)
 
     
 

Heute gibt es nur Aufgaben, d.h. wenn Du diese Seite durcharbeitest, wirst du mehrere Tage brauchen. Grüß Dich und "Auf geht's"!

Aufgabe 1:

Die Punkte Dn(x / x2 + 4) liegen auf der Parabel p mit y = x2 + 4. Sie bilden zusammen mit den Punkten A(- 1 / 0) und C (6 / 3) Parallelogramme ABnCDn.

a) Zeichne die Parabel p und die Parallelogramme für x=-1 und x=2 in ein Koordinatensystem.

b) Berechne für x = 2 den Flächeninhalt des Parallelogramms.

c) Bestimme den Flächeninhalt A(x) der Parallelogramme in Abhängigkeit von x.

d) Für welchen Wert von x erhält man das flächenkleinste Parallelogramm AB0CD0? Zeichne es ein.

e) Für welche Werte von x erhält man Rauten?

 
     
 
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Beispiel:

Die Parabel p wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor auf die Parabel p' abgebildet. Ermittle durch Rechnung die Gleichung von p'. Zeichne p und p'.

p: y = 2x² + 20x + 44

Ich habe mit Dir schon einmal Parabeln verschoben und die Gleichungen der verschobenen Parabeln bestimmt. Den Lösungsweg, den wir benutzten. funktioniert hier genauso. Es gibt grundsätzlich zwei Verfahren, die Du anwenden kannst.

  1. Scheitel bestimmen, Scheitel verschieben, mit neuem Scheitel die Scheitelform aufstellen
  2. oder das Parameterverfahren

Ich werde der hier beide verfahren zeigen, obwohl ich der Meinung bin der Weg über den verschobenen Scheitel ist der leichtere.

Lösung mit verschobenem Scheitel:

a = 2; b = 20 und c = 44 mit xS = - und yS = - gilt:

 
  xS = und yS =  
 

 

 
 


 
     
  Eine andere Schreibweise wäre die vektorielle Abbildungsgleichung:  
     
 
 
     
 

Jetzt kannst Du die Scheitelpunktsform aufstellen, denn der Öffnungsfaktor der Parabel ist nach wie vor a = 2 :

y = 2 (x - 4)2 - 3

 
     
  Wenn die allgemeine Form der Parabelgleichung gefordert ist, dann must Du halt noch das Binom auflösen:  
     
 

y = 2 (x2 - 8x + 16) - 3

y = 2x2 - 16x + 32 - 3

y = 2x2 - 16x + 29

 
     
  Lösung mit dem Parameterverfahren:  
     
  Hier verschiebst Du einen allgemeinen Punkt P( x / 2x² + 20x + 44) der Parabel p mit der Gleichung y = 2x² + 20x + 44 mit dem Vektor . Auch hier kannst Du beide Schreibweisen benutzen.  
     
 
 
     
  Für die Koordinaten x' und y' des Punktes P' gilt demnach:  
     
 

x' = x + 9

y' = 2x² + 20x + 47

  Damit hast Du die Koordinaten x' und y' in Abhängigkeit von der x-Koordinate des Punktes P dargestellt. x ist demnach der Parameter.
 
     
 

x' = x + 9 | - 9

y' = 2x² + 20x + 47

  Du löst die 1. Gleichung nach dem Parameter x auf.
 
     
 

x' - 9 = x

y' = 2x² + 20x + 47

  Du setzt den Term für x in die 2. Gleichung ein. Damit entfernst Du den Parameter.
 
     
 

y' = 2 (x' - 9)² + 20 (x' - 9) + 47

y' = 2 (x'² - 18x' + 81) + 20x' - 180 + 47

y' = 2x'² - 36x' + 162 + 20x' - 180 + 47

y' = 2x'² - 16x' + 29

Wenn Du möchtest kannst Du beim Endergebnis die Schreibweise mit dem Strich weglassen.

p' : y = 2x2 - 16x + 29

 
     
  Schreibweise mit der vektoriellen Abbildungsgleichung:  
     
 
 
     
 
=> P' (x + 9 / 2x²+20x+47)
 
     
  Für die Koordinaten x' und y' des Punktes P' gilt demnach wie oben:  
     
 

x' = x + 9

y' = 2x² + 20x + 47

  Ab hier läuft es dann wie oben.
 
     
  Verstehst Du jetzt warum ich die Lösung mit dem verschobenen Scheitel bevorzuge?  
     
 

Mit dem Arbeitsblatt (Applet) unten kannst du 'ne Menge beliebiger Parabeln mit verschiedenen Vektoren verschieben. Du kannst die Scheitel mit der Maus ziehen. Außerdem kannst du den Öffnungsfaktor der Parabeln zwischen -5 und +5 wählen. Spiel einfach ein wenig damit. Schaue und überlege, was passiert.

 
     
 
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Aufgabe 2:

Die Parabel p wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor auf die Parabel p' abgebildet. Ermittle durch Rechnung die Gleichung von p'. Zeichne p und p'. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Applet oben.

a) p: y = - x² + 12 x - 34 und

 
     
  b) p: y = -0,5 x² - 2 x + 3 und  
     
  c) p: y = 0,25 x² - 2 x + 4 und  
     
  Im rechten Rand findest Du weitere Aufgaben.  
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:31 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Aufgabe 3:

 

Berechne die Koordinaten des Vektors , der die Parabel p auf die Parabel p' abbildet.

Lösungshinweis: Berechne beide Scheitel, dann gilt:

 

a) p: y = - 3 x² + 42 x - 141

p': y = - 3 x² - 6 x

 

Lösung:
 

b) p: y = 0,25 x² + 2 x + 3

p': y = 0,25 x² - 3 x + 8

 

Lösung:
 

c) p: y = - x² + 10 x - 25

p': y = - x² + 6

 

Lösung:
 
Aufgabe 4:
 

Eine Parabel ist durch die Angabe des Scheitels S und eines weiteren Parabelpunktes P festgelegt. Ermittle die Gleichung der Parabel, und zeichne sie. Mit Mausklick auf die Aufgabenstellung blendest Du die Lösung ein.

Beispiel:

S (2 / - 5) und P (-1 /4)

Stelle die Scheitelpunktsform auf:

y = a (x - 2)² - 5

und setze P ein

4 = a (-1 - 2)² - 5 | + 5

9 = 9 a | : 9

a = 1

=> y = (x - 2)² - 5

 
a) S (- 2 / - 3) und P (2 / 1)
 
 
b) S (- 4 / 6) und P (- 6 / - 2)
 
 
c) S (3 / 5) und P (6 / - 4)
 
 
d) S (- 1 /4) und P ( 2 / - 0,5)
 
 
e) S (1 / - 6) und P (- 1 / 6)