Zentrische Streckung einer Parabel

Parabellissima 8
Zentrische Streckung einer Parabel (nur Wahlfachgruppe I)

Grüß Gott und herzlich willkommen. Alle Schüler in der Wahlfachgruppe I der bayerischen Realschule dürfen und müssen sich das Vergnügen gönnen, Parabeln zentrisch zu strecken und die Gleichung der Bildparabeln zu bestimmen. Für alle Anderen ist es das pure Vergnügen und die Lust an Mathe, wenn sie sich damit beschäftigen.

Erinnerst du dich, wie du eine Gerade zentrisch gestreckt hast? Urgerade und Bildgerade haben dieselbe Steigung. Du musstest nur einen einzigen Punkt der Urgeraden zentrisch strecken und den Bildpunkt ausrechnen. Den hast du dann eingesetzt um den y-Achsenabschnitt der Bildgeraden zu berechnen.

Ganz so einfach ist es bei der Parabel nicht. Bei der zentrischen Streckung ändert sich der Öffnungsfaktor und der Scheitel der Parabel. Probiere es unten mit dem Applet aus. Du hast grundsätzlich 3 Möglichkeiten die Gleichung der Bildparabel zu bestimmen.

Parameterverfahren mittels Pfeilkette
Parameterverfahren mittels Abbildungsvorschrift
Zentrische Streckung des Scheitels und eines weiteren Punktes.

Du musst selbst entscheiden, welche Methode dir am Leichtesten fällt. Außerdem hängt das oftmals von der Aufgabenstellung ab. Du solltest als Klubmitglied eigentlich alle 3 Werkzeuge beherrschen.

Aufgabe 1:

Die Parabel p mit der Gleichung y = (x + 4)² + 2 soll mit dem Zentrum Z (-3 / 1) und dem Faktor k = 2 durch zentrische Streckung abgebildet werden. Berechne die Gleichung der Bildparabel p'.

Packe das Applet unten mit der Maus am roten Balken (anklicken und Maustaste gedrückt halten) und schiebe es soweit zur Seite, dass der rechte Rand frei liegt. Klicke auf 1. und wir beginnen!

Nr. 1

1. Parameterverfahren mittels Pfeilkette

Du willst die Koordinaten des allgemeinen Bildpunktes P' berechnen. Immer wenn du Punktkoordinaten berechnen willst, musst du die Aufgabe umformulieren. Du musst die Koordinaten des Vektors vom Ursprung zu diesem Punkt berechnen.

Du weißt doch noch, wie man solche Vektoren nennt, die ihren Fußpunkt im Ursprung haben? Richtig, das sind Ortsvektoren. So ein Ortsvektor hat dieselben Koordinaten, wie der Punkt zu dem er hinführt, z.B. führt der Ortsvektor zum
Punkt (3 / 7).

Also du willst berechnen. Dann brauchst du eine Pfeilkette, deren Vektoren du kennst oder, die du berechnen kannst. Hier gilt:

Nr. 6

p': y = a (x + 5)² + 3

H' (- 3 / 5) eingestzt:

5 = a (- 3 + 5)² + 3

5 = a • 4 + 3 | - 3

2 = a • 4 | : 4

a =

=> Gleichung der Bildparabel:

p': y = (x + 5)² + 3

Alles klar? Wenn du Sicherheit gewinnen willst, mache alle 3 Methoden noch einmal für

k = 4; k = - 2 und k = 0,5

Nr. 5

p': y = a (x + 5)² + 3

mit p: y = (x + 4)² + 2 gilt für x=-3:

Welchen x-Wert Du verwendest, ist wurscht.

y = (-3 + 4)² + 2 = 3

Unserer weiterer Hilfspunkt H hat demnach die Koordinaten:

H (- 3 / 3)

Du bestimmst H' mit der Abbildungsvorschrift:

x' + 3 = 2 • 0 | - 3
y' - 1 = 4 | + 1

x' = - 3
y' = 5

=> H' (- 3 / 5)

H' setzt du jetzt oben in die Gleichung von p' ein um den Öffnungsfaktor a zu bestimmen.

Nr. 4

3. Zentrische Streckung des Scheitels und eines weiteren Punktes.

Eine Parabel ist festgelegt, wenn du den Scheitel und einen weiteren Punkt kennst. Für die zentrische Streckung des Scheitels brauchst du die Abbildungsvorschrift von 2. eben.

x' + 3 = - 2 | - 3
y' - 1 = 2 | + 1

x' = - 5
y' = 3

=> S' (-5 / 3)

damit gilt:

p': y = a (x + 5)² + 3

Um den Öffnungsfaktor a zu bestimmen brauchst du noch einen Punkt der Bildparabel. Was heißt das?

The same procedure as every year!

Nr. 3

2. Parameterverfahren mittels Abbildungsvorschrift

Du erinnerst dich hoffentlich noch? Die Abbildungsvorschrift bei der zentrischen Streckung lautet:

x' + 3 = 2 (x + 3)
y' - 1 = 2 [(x + 4)² + 1]

x' + 3 = 2x + 6 | - 6
y' - 1= 2 (x + 4)² + 2 | +1

x' - 3 = 2x | : 2
y' = 2 (x + 4)² + 3

x = | unten eingesetzt
y' = 2 (x + 4)² + 3

y' = 2 ()² + 3
y' = 2 + 3
y' = (x' + 5)² + 3

p': y = 0,5 (x + 5)² + 3

Nr. 2

Durch Auflösen der oberen Gleichung nach x und Einsetzen in die untere Gleichung wird der Parameter x eleminiert.

x' = 3 + 2x
y' = 2 (x + 4)² + 3

Gleichung der Bildparabel:

p': y = (x + 5)² + 3

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Aufgabe 2:

Die Parabel p wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k auf die Parabel p' abgebildet. Berechne die Gleichung der Bildparabel p' mit dem Parameterverfahren.

a) p: y = (x - 1)² + 1; Z (2 / 0); k = 2 Lösung einblenden

Ich bevorzuge beim Parameterverfahren die Abbildungsvorschrift

x' - 2 = 2x - 4 | +4
y' = 2 (x - 1)² + 2

x' + 2= 2x | : 2

0,5x' + 1 = x | eingesetzt in

y' = 2 (0,5x' + 1 - 1)² + 2

y' = 0,5 x'² + 2

p': y = 0,5x² + 2

b) p: y = -x² - 2; Z (0 / 1); k = - 0,5 Lösung einblenden

Ich bevorzuge beim Parameterverfahren die Abbildungsvorschrift

x' = - 0,5x | : (- 0,5)
y' - 1 = 0,5x² + 1,5 | +1

- 2x' = x | unten eingesetzt
y' = 0,5x² + 2,5

y' = 0,5 • (- 2x')² + 2,5

y' = 2x'² + 2,5

p': y = 2x² + 2,5

c) p: y = 0,5x² + 1; Z (0 / -1); k = - 1 Lösung einblenden

Ich bevorzuge beim Parameterverfahren die Abbildungsvorschrift

x' = -x | : (-1)
y' + 1 = - 0,5x² - 2 | - 1

- x' = x | unten eingesetzt
y' = - 0,5x² - 3

y' = - 0,5 (- x')² - 3

y' = - 0,5x'² - 3

p': y = - 0,5x² - 3

d) p: y = x² + 4x +1; Z (2 / -3); k = 0,25 Lösung einblenden

Ich bevorzuge beim Parameterverfahren die Abbildungsvorschrift
		x' - 2 = 0,25x - 0,5 \| + 0,5 y' + 3 = 0.25x² + x +1 \| - 3 x' - 1,5 = 0,25x \| : 0,25 y' = 0.25x² + x - 2 4x' - 6 = x \| eingesetzt in y' = 0,25 (4x' - 6)² + (4x' - 6) - 2

y' = 0,25 (16x'² - 48x' + 36) + 4x' - 8 y' = 4x'² - 12x' + 9 + 4x' - 8 y' = 4x'² - 8x' + 1 p': y = 4x² - 8x + 1

Aufgabe 3:

Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung y = - 0,5x² + 4x - 2 sowie das Dreieck SPQ mit P (2 / 4) und Q (7 / 1,5).

a) Zeige, dass P und Q auf der Parabel p liegen. Berechne die Koordinaten des
Scheitels S. Zeichne p und das Dreieck SPQ in ein Koordinatensystem.

b) Bestimme den Flächeninhalt A des Dreiecks SPQ.

c) Die Parabel p und das Dreieck SPQ werden durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(4 / 0) und dem Streckungsfaktor k = - 0,5 abgebildet. Ergänze die Zeichnung.

d) Ermittle die Gleichung der Bildparabel p'.

e) Welchen Flächeninhalt hat das Bilddreieck S'P'Q'?

Nr. 1

Wenn du zeigen willst, dass ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt, dann musst du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen und schauen ob eine wahre Ausage herauskommt.

y = - 0,5x² + 4x - 2 | P (2 / 4) eingesetzt

4 = - 0,5•2² + 4•2 -2

4 = - 2 + 8 - 2 (wahr) => P liegt auf der Parabel p

y = - 0,5x² + 4x - 2 | Q (7 / 1,5) eingesetzt

1,5 = - 0,5•7² + 4•7 -2

1,5 = - 24,5 + 28 - 2 (wahr) => Q liegt auf der Parabel p

Nr. 5

Das ist eine Aufgabe bei der du viel Zeit verlieren kannst, wenn du mechanisch arbeitest. Ich könnte jetzt wetten, dass du auf die Idee kommst die Koordinaten von S', P' und Q' zu berechnen. Dann zwei Vektoren aufzustellen, die das Bilddreieck aufspannen, um sie dann in die Determinantenformel für das Dreieck einzusetzen.

Gut, das funktioniert, kostet aber viel Zeit, weil es furchtbar umständlich ist. Erinnere dich ein wenig an die zentrische Streckung. Für die Flächeninhalte von Urfigur und Bildfigur hast du dort einen ganz simplen Lehrsatz gelernt und wieder vergessen.

A' = k² · A

Also gilt hier: A' = (- 0,5)² • 7,5 = 1,875 FE

Nr. 4

x' - 4 = - 0,5x + 2 |- 2
y' = 0,25 x² - 2x + 1

x' - 6 = - 0,5x | : (- 0,5)
y' = 0,25 x² - 2x + 1

- 2x' + 12 = x | unten eingesetzt

y' = 0,25 (-2x' + 12)² - 2•(-2x' + 12) + 1

y' = 0,25 (4x'² - 48x' + 144) + 4x' - 24 + 1

y' =x'² - 8x' + 13 => p': y = x² - 8x + 13

Nr. 3

Du brauchst 2 Vektoren, die das Dreieck aufspannen. Richtig herum in die Determinantenformel eingesetzt, kannst du den Flächeninhalt ausrechnen.

1. Vektor (z.B.):

2. Vektor:

Die Parabel p und das Dreieck SPQ werden durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(4 / 0) und dem Streckungsfaktor k = - 0,5 abgebildet. Ergänze die Zeichnung. Ich überlasse es dir, ob du noch einmal auf Papier arbeiten willst.

Nr. 2

mit a = - 0,5; b = 4; c = - 2 und sowie gilt:

und

=> S (4 / 6)

Um eine Parabel zu zeichnen (zu skizzieren) brauchst du 7 Punkte. Der Scheitel ist der wichtigste Punkt. Ihn hast du. Die Parabel ist symmetrisch, also brauchst du eigentlich nur noch 3 Punkte. Ich habe langsam keine Lust mehr dir immer wieder zu erklären, wie du vom Scheitel ausgehend diese 3 oder 5 Punkte im Kopf berechnest.

Du gehst vom Scheitel aus um 1 LE nach rechts und rechnest:

- 0,5*1² = - 0,5 => 0,5 E nach unten usw.

Im rechten Rand findest du weitere Aufgaben, allerdings nicht zur zentrischen Streckung von Parabeln, sondern zur Wiederholung von ein paar Kleinigkeiten.

Zurück zu Seite 7 geht es hier...

Vorwärts zu Seite 9 geht es hier...