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Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Parabellissima 8
Zentrische Streckung einer Parabel (nur Wahlfachgruppe I)
 
     
 

Grüß Gott und herzlich willkommen. Alle Schüler in der Wahlfachgruppe I der bayerischen Realschule dürfen und müssen sich das Vergnügen gönnen, Parabeln zentrisch zu strecken und die Gleichung der Bildparabeln zu bestimmen. Für alle Anderen ist es das pure Vergnügen und die Lust an Mathe, wenn sie sich damit beschäftigen.

Erinnerst du dich, wie du eine Gerade zentrisch gestreckt hast? Urgerade und Bildgerade haben dieselbe Steigung. Du musstest nur einen einzigen Punkt der Urgeraden zentrisch strecken und den Bildpunkt ausrechnen. Den hast du dann eingesetzt um den y-Achsenabschnitt der Bildgeraden zu berechnen.

Ganz so einfach ist es bei der Parabel nicht. Bei der zentrischen Streckung ändert sich der Öffnungsfaktor und der Scheitel der Parabel. Probiere es unten mit dem Applet aus. Du hast grundsätzlich 3 Möglichkeiten die Gleichung der Bildparabel zu bestimmen.

  1. Parameterverfahren mittels Pfeilkette

  2. Parameterverfahren mittels Abbildungsvorschrift

  3. Zentrische Streckung des Scheitels und eines weiteren Punktes.

Du musst selbst entscheiden, welche Methode dir am Leichtesten fällt. Außerdem hängt das oftmals von der Aufgabenstellung ab. Du solltest als Klubmitglied eigentlich alle 3 Werkzeuge beherrschen.

Aufgabe 1:

Die Parabel p mit der Gleichung y = (x + 4)² + 2 soll mit dem Zentrum Z (-3 / 1) und dem Faktor k = 2 durch zentrische Streckung abgebildet werden. Berechne die Gleichung der Bildparabel p'.

 
     
 
Packe das Applet unten mit der Maus am roten Balken (anklicken und Maustaste gedrückt halten) und schiebe es soweit zur Seite, dass der rechte Rand frei liegt. Klicke auf 1. und wir beginnen!
 
     
 
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Aufgabe 2:

Die Parabel p wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k auf die Parabel p' abgebildet. Berechne die Gleichung der Bildparabel p' mit dem Parameterverfahren.

a) p: y = (x - 1)² + 1; Z (2 / 0); k = 2 Lösung einblenden

 
     
   
 

b) p: y = -x² - 2; Z (0 / 1); k = - 0,5 Lösung einblenden

 
     
   
  c) p: y = 0,5x² + 1; Z (0 / -1); k = - 1 Lösung einblenden  
     
   
  d) p: y = x² + 4x +1; Z (2 / -3); k = 0,25 Lösung einblenden  
 

 

 
   
     
 

Aufgabe 3:

Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung y = - 0,5x² + 4x - 2 sowie das Dreieck SPQ mit P (2 / 4) und Q (7 / 1,5).

a) Zeige, dass P und Q auf der Parabel p liegen. Berechne die Koordinaten des
Scheitels S. Zeichne p und das Dreieck SPQ in ein Koordinatensystem.

b) Bestimme den Flächeninhalt A des Dreiecks SPQ.

c) Die Parabel p und das Dreieck SPQ werden durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(4 / 0) und dem Streckungsfaktor k = - 0,5 abgebildet. Ergänze die Zeichnung.

d) Ermittle die Gleichung der Bildparabel p'.

e) Welchen Flächeninhalt hat das Bilddreieck S'P'Q'?

 
 

 

 
 
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  Im rechten Rand findest du weitere Aufgaben, allerdings nicht zur zentrischen Streckung von Parabeln, sondern zur Wiederholung von ein paar Kleinigkeiten.  
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:31 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Aufgabe 4:

Die Gleichung der Parabel p hat die Form

y = ax² + ax + 2c

Die Punkte A (3 / 1) und
B (- 1 / 4) liegen auf der Parabel. Bestimme die Gleichung der Parabel p und die Scheitelkoordinaten. Zeichne die Parabel.

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Aufgabe 5:

Die Gleichung der Parabel p hat die Form

y = ax² + bx + b

Die Punkte A (- 2/ 4) und
B (2 / 20) liegen auf der Parabel. Bestimme die Gleichung der Parabel p und die Scheitelkoordinaten. Zeichne die Parabel.

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