Parabellissima 15
Parabel-Aufgaben aus Abschlussprüfungen
an den Realschulen in Bayern

Grüß dich Gott! Dein Lehrer wird dir inzwischen erzählt haben, wie so eine Abschlussprüfung aufgebaut ist. Du musst zwei lange Aufgaben und eine kurze Aufgabe in 150 Minuten lösen. Sie besteht aus einem sogenannten Wahlteil und einem Pflichtteil, d.h. aber nicht, dass Du die Wahl hast. Nein, dein Lehrer wählt aus. Wahlaufgaben sind lang, Pflichtaufgaben sind kurz. Die Aufgaben kommen aus den Themenbereichen "Funktionen", "Ebene Geometrie" und "Raumgeometrie".

Bei den Aufgaben zu den Funktionen handelt es sich bei den langen Aufgaben immer um eine Parabel-Aufgabe. Der Zeitaufwand für die anderen Funktionen z.B. Hyperbel und Exponentialfunktion war im Unterricht viel zu klein. Du hast eigentlich nur einen Einblick bekommen. Kurz und gut das Thema "Andere Funktionen" eignet sich nur für Kurzaufgaben. Hier bei Parabellissima bespreche ich nur Parabel-Aufgaben der letzten Jahre.

Mathematik II

Wahlteil – Haupttermin 2006

Aufgabe A 1

A 1.0

Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung

und die Gerade g mit der Gleichung

mit

A 1.1

Erstellen Sie für die Parabel p eine Wertetabelle für

in Schritten von

und zeichnen Sie sodann die Parabel p und die Gerade g in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

;

4 P

A 1.2

Punkte auf der Parabel p und Punkte auf der Geraden g haben jeweils dieselbe Abszisse x und sind mit Punkten C_n und D_n Eckpunkte von Parallelogrammen
A_nB_nC_nD_n.

Es gilt: und .

Zeichnen Sie die Parallelogramme A₁B₁C₁D₁ für x = –1 und A₂B₂C₂D₂ für x = 5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

A 1.3

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Länge der Seiten in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n wie folgt darstellen lässt: .

Bestimmen Sie sodann, für welchen Wert von x die Strecke

maximal ist.

2 P

A 1.4

Stellen Sie den Flächeninhalt A der Parallelogramme A_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n dar.

[Ergebnis:

]

2 P

A 1.5

Zeigen Sie durch Rechnung, dass es unter den Parallelogrammen A_nB_nC_nD_n kein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von 35 FE gibt.

3 P

A 1.6

Unter den Parallelogrammen A_nB_nC_nD_n gibt es zwei Rauten A₃B₃C₃D₃und A₄B₄C₄D₄.

Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte A₃ und A₄.

4 P

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Nr. 1

A 1.1

Die Wertetabelle erzeugst Du mit Deinem Casio-GTR.

TABLE F5 (RANG); F6

Mit den Pfeiltasten kannst Du in der Wertetabelle nach unten scrollen.

Falls in Deinem Eingabefenster oben nicht y = steht, dann ist der falsche Typ eingestellt. Du kannst das unten mit "TYPE" ändern.

Nr. 7

weiter A 1.5

0 = - 0.75x² + 4,5x - 10,75

a =-0,75; b =4,5; c =-10,75

D = b² - 4ac

D =4,5²- 4•(-0,75)•(-10,75)

D = - 12

=> Es gibt kein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 35 FE.

2. Lösungsmöglichkeit

Du kannst natürlich auch den maximalen Flächeninhalt der Parallelogramme mittells Scheitelbestimmung berechnen und zeigen, dass der maximale Flächeninhalt kleiner ist als 35 FE.

A 1.6

Hier brauchst du die Eigenschaften der Raute. Da fällt dir sicherlich zuerst sein, dass alle 4 Seiten gleich lang sind. Und das ist auch der richtige Einfall.

Es gilt:

Nr. 6

weiter A 1.4

Du hast den Vektor
abgezählt: 5 LE nach rechts und 2 LE nach oben.

=> Für alle Parallelogramme ist die Höhe h = x-Koordinate von = 5 LE

A(x)=(- 0,15x²+0,9x+4,85)•5

=(- 0.75x² + 4,5x + 24,25) FE

A 1.5

1. Lösungsmöglichkeit

Du setzt die 35 FE in die Lösung von A 1.4 ein. Falls deine Lösung von der angegebenen Lösung abweicht, bitte, bitte benutze die angegebene Lösung. Wann ist eine quadratische Gleichung nicht lösbar? Richtig, wenn der Term unter der Wurzel in der Lösungsformel negativ ist, d.h. wenn die Diskrimante negativ ist.

35 = - 0.75x² + 4,5x + 24,25

=> 0 = - 0.75x² + 4,5x - 10,75

Nr. 5

A 1.4

Du sollst eine Fläche im Koordinatensystem berechnen, da ist es naheliegend die Determinantenformel für das Parallelogramm zu verwenden. Es funktioniert auch, ist aber hier nicht die schnellste Lösung.

Ich habe dir schon einmal verklickert, dass du manchmal auch die normalen Flächenformeln im Koordinatensystem verwenden kannst, um Abhängigkeitsaufgaben zu lösen. Dazu müssen die Strecken aber parallel zu den Achsen sein. Das ist hier der Fall.

Die Flächenformel für das Parallelogramm ist: A = g • h

Die Grundseite hast Du schon berechnet bzw. Du kannst sie der Angabe aus A 1.3 entnehmen:

=(-0,15x²+0,9x+4,85)LE

Die Höhe h ist das Lot von C_n auf die Strecke [A _nB_n]. Betätige den Schieberegler und überlege, wie lang wohl dieses Lot ist. Das Lot ist parallel zur x-Achse! Wie hast Du C_n gefunden?

Nr. 4

weiter A 1.3

Da die Punkte A und B übereinander liegen, kennst du die x-Koordinate des Vektors schon. Sie ist gleich 0. Den Betrag der y-Koordinate des Vektors bekommst du, wenn du von der y-Koordinate des Punktes A₁ die y-Koordinate des Punktes B₁ subtrahierst.

Es gilt: y_oben - y_unten

Extremwertbestimmung mittels Scheitelbestimmung. Du brauchst aber nur den x-Wert des Scheitels der Parabel

y = - 0.15x²+0.9x+4.85

wird maximal für x = 3

Nr. 3

A 1.2

"dieselbe Abszisse x" heißt, die Punkte A_n und B_n liegen übereinander. Sie haben den gleichen x-Wert. Um die Parallelogramme zu zeichnen ist, es eigentlich nicht notwendig die Koordinaten der Eckpunkte zu berechnen. Das kostet dich nur Zeit. Du markierst auf der Parabel p den Punkt A₁ mit dem x-Wert x = -1. Auf der Geraden g markierst Du den Punkt B₁ ebenfalls mit dem x-Wert x = -1.

Den Vektor zählst Du jeweils von den Punkten A₁ und B₁ ab. 5 LE nach rechts und 2 LE nach oben. Du erhältst die Punkte A₁ und D₁.

Das 2. Parallelogramm zeichnest du genauso. Mit den entsprechenden Einstellungen am Schieberegler kannst du dir die beiden Parallelogramme links im Applet anschauen.

A 1.3

Du bist es gewöhnt die Länge einer Strecke über den zugehörigen Vektor zu bestimmen. Natürlich geht das hier auch, kostet aber unnötig Zeit.

Nr. 2

x	y
-2	5,65
-1	6,4
0	6,65
1	7
2	6,65
3	6,4
4	5,65
5	4,6
6	3,25
7	1,6
8	-0,35
9	-2,6
10	-5,15

Um die Gerade zeichnen zu können, brauchst Du 2 Punkte, einmal den y-Achsenabschnitt (0 / 2) und dann musst Du noch irgendeinen Wert in die Geradengleichung einsetzen z.B. x = 5 =>

=> (5 / -1)

Nr. 8

weiter A 1.6

Die Länge in Abhängigkeit von x hast du in A 1.3 schon ausgerechnet oder du nimmst die dort angegebene Lösung. Und die Länge kannst du aus dem Vektor berechnen.

- 0,15x² + 0,9x - 0,54 = 0

a = - 0,15; b = 0,9; c = - 0,54

x₁ = 0,68 und x₂ = 5,32

Mathematik II

Wahlteil – Haupttermin 2006

Aufgabe B 1

B 1.0

Die Parabel p hat eine Gleichung der Form

mit

und

. Die Parabel p verläuft durch die Punkte

und

B 1.1

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und b, dass die Parabel p die Gleichung hat.

Erstellen Sie für die Parabel p eine Wertetabelle für in Schritten von und zeichnen Sie sodann die Parabel p in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; ;

4 P

B 1.2

Die Gerade g verläuft durch den Punkt . Die x-Achse schließt mit der Geraden g den Winkel mit dem Maß ein.

Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden g und zeichnen Sie die Gerade g in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis:

]

3 P

B 1.3

Punkte auf der Geraden g und Punkte auf der Parabel p haben dieselbe Abszisse x. Sie sind zusammen mit Punkten P_n auf der Geraden g Eckpunkte von Dreiecken P_nQ_nR_n mit . Es gilt: .

Zeichnen Sie die Dreiecke P₁Q₁R₁ für x = –3 und P₂Q₂R₂ für x = 1,5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

B 1.4

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Länge der Seiten in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Q_n wie folgt darstellen lässt:

1 P

B 1.5

Unter den Dreiecken P_nQ_nR_n gibt es zwei gleichschenklige Dreiecke P₃Q₃R₃ und P₄Q₄R₄ mit der Basis bzw. .

Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die x-Koordinaten der Punkte Q₃ und Q₄.

3 P

B 1.6

Berechnen Sie den kleinstmöglichen Flächeninhalt A_min der Dreiecke P_nQ_nR_n.

4 P

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Nr. 1

B 1.1

y = ax² + bx +1,5

Du setzt die Punkte A und B in die Parabelgleichung ein und erhältst ein lineares Gleichungssystem.

Du kannst das lineare Gleichungssystem aber auch mit deinem Casio-GTR lösen.

Nr. 6

B 1.5

Lösung mit Casio-GTR:

EQUA-F2-F1-F1

Nr. 5

B 1.4

Normalerweise bestimmst du Streckenlängen im Koordinatensystem indem du den Vektor zwischen den beiden Punkten berechnest und daraus mit dem Pythagoras die Streckenlänge. Bei Strecken, die parallel zu den Koordinatenachsen liegen geht es aber einfacher.

Punkte haben gleiche Abszisse => sie liegen übereinander

=> y_oben - y_unten

Punkte haben gleiche Ordinate => sie liegen nebeneinander

=> x_rechts - x_links

Nr. 4

weiter B 1.1

x	y
- 5	6
- 4	4,7
-3	3,6
-2	2,7
-1	2
0	1,5
1	1,2
2	1,1
3	1,2
4	1,5
5	2

B 1.2

B 1.3

"dieselbe Abszisse" heißt, dass sie denselben x-Wert haben. Sie liegen übereinander. Du kannst den roten Punkt Q_n mit der Maus ziehen.

Nr. 3

weiter B 1.1

25a - 5b = 4,5
25a + 5b= 0,5

a	b	c
25	-5	4,5
25	5	0,5

Du bestätigst jede Eingabe mit EXE. Mit DEL kannst du alles löschen. Um das Gleichungssystem zu lösen wählst du F1 SOLV.

Lösungsweg (muss!):
EQUA-F1-F1-F1

a = 0,1 und b = - 0,4

Nr. 2

weiter B 1.1

Du gehst ins EQUA-Menü und wählst dort mit F1 den Menüpunkt Simultaneous.

Im nächsten Display wirst du nach der Zahl der Variablen gefragt. Mit F1 gibst du die Zahl 2 an. Damit bist du im Eingabefenster.

Die erste Zeile zeigt dir, welche Form deine Gleichungen haben müssen.

6 = 25a-5b+1,5 | -1.5
2 = 25a+5b+1,5 |-1,5

25a - 5b = 4,5
25a + 5b= 0,5

Nr. 7

B 1.6

Zunächst musst du den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x bestimmen. Wenn du die Flächenformeln abklopfst, ob sie geeignet sind, dann bleibt nur die Sinus-Flächenformel.

R_nQ_nP_n = 143,13° - 90°

R_nQ_nP_n = 53,13°

oder GRAPH-F6-F5-F2

Zurück zu Seite 14 geht es hier...

Vorwärts zu Seite 16 geht es hier...