Parabellissima 16
Parabel-Aufgaben aus Abschlussprüfungen
an den Realschulen in Bayern

Grüß dich Gott! Dein Lehrer wird dir inzwischen erzählt haben, wie so eine Abschlussprüfung aufgebaut ist. Du musst zwei lange Aufgaben und eine kurze Aufgabe in 150 Minuten lösen. Sie besteht aus einem sogenannten Wahlteil und einem Pflichtteil, d.h. aber nicht, dass du die Wahl hast. Nein, dein Lehrer wählt aus. Wahlaufgaben sind lang, Pflichtaufgaben sind kurz. Die Aufgaben kommen aus den Themenbereichen "Funktionen", "Ebene Geometrie" und "Raumgeometrie".

Bei den Aufgaben zu den Funktionen handelt es sich bei den langen Aufgaben immer um eine Parabel-Aufgabe. Der Zeitaufwand für die anderen Funktionen z.B. Hyperbel und Exponentialfunktion war im Unterricht viel zu klein. Du hast eigentlich nur einen Einblick bekommen. Kurz und gut das Thema "Andere Funktionen" eignet sich nur für Kurzaufgaben. Hier bei Parabellissima bespreche ich nur Parabel-Aufgaben der letzten Jahre.

Mathematik II

Wahlteil – Nachtermin 2006

Aufgabe D 1

D 1.0

Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung

und die Gerade g mit der Gleichung

mit

D 1.1

Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g im Bereich von in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

;

3 P

D 1.2

Punkte und D_n auf der Parabel p sind zusammen mit Punkten und C_n auf der Geraden g Eckpunkte von Trapezen A_nB_nC_nD_n mit . Die Punkte A_n und B_n haben dieselbe Abszisse x, die Abszisse der Punkte C_n ist stets um 4 größer als die Abszisse x der Punkte A_n und B_n.

Zeichnen Sie die Trapeze A₁B₁C₁D₁ für x = –3 und A₂B₂C₂D₂ für x = 2 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

D 1.3

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Länge der Seiten in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n wie folgt darstellen lässt:

2 P

D 1.4

Unter den Trapezen A_nB_nC_nD_n gibt es zwei Trapeze A₃B₃C₃D₃ und A₄B₄C₄D₄, deren Seiten und gleich lang sind.

Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte A₃ und A₄. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

4 P

D 1.5

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte C_n und D_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n.

[Ergebnisse:

;

]

2 P

D 1.6

Unter den Trapezen A_nB_nC_nD_n gibt es das Parallelogramm A₅B₅C₅D₅.

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A₅.

4 P

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Nr. 1

D 1.1

Um die Parabel p im angebenen Bereich genau zeichnen zu können, solltest du für diesen Bereich eine Wertetabelle mit der Schrittweite = 1 erstellen.

x	y
-3	8.25
-2	6
-1	4.25
0	3
1	2.25
2	2
3	2.25
4	3
5	4.25
6	6
7	8.25

Die Gerade g zeichnest du entweder mit dem y-Achsenabschnitt t = -1 und einem Steigungsdreieck oder du machst eine Wertetabelle mit zwei Werten, so wie ich.

x	-2	6
y	0	-4

Nr. 9

weiter D 1.5

Mit dem Punkt D_n machst du es ebenso. D_n liegt auf der Parabel y = 0,25(x - 2)² +2. Du setzt den Term x_A + 4 in diese Parabelgleichung für x ein.

y_D = 0,25(x_A + 4 - 2)² +2

y_D = 0,25(x_A + 2)² + 2

y_D = 0,25(x_A² + 4x_A + 4) + 2

y_D = 0,25x_A²+ x_A + 3

=> D_n(x + 4 / 0,25x + x + 3)

D 1.6

Ziehe den roten Punkt mit der Maus auf der Parabel bis aus dem Trapez ein Parallelogramm wird. Doch es geht! Dabei sollte dir eigentlich die Lösungsidee ins Hirn geschossen sein.

Warum glaubst du wohl sind in Teilaufgabe D 1.5 die Ergebnisse angegeben? Du brauchst sie hier. Denn du musst in Abhängigkeit vom x-Wert des Punktes A berechnen.

Nr. 8

D 1.5

Alle C_n liegen auf der Geraden g mit y = -0,5x - 1.

Was ist der x-Wert aller C_n in Abhängigkeit der x-Werte der Punkte A_n?

A_n und B_n haben den gleichen x-Wert. Der x-Wert von C_n ist um 4 größer als der x-Wert von B_n. Also gilt:

x_C = x_A + 4

Den Term x_A + 4 setzt du jetzt in die Geradengleichung für x ein.

y_C = -0,5(x_A + 4) - 1

y_C = -0,5x_A - 2 - 1

y_C = -0,5x_A - 3

=> C_n(x_A + 4 / -0,5x_A - 3)

Wenn dir klar ist, dass es sich um den x-Wert von A handelt, kannst du den Index A uach weglassen.

=> C_n(x + 4 / -0,5x - 3)

Nr. 7

weiter D 1.4

Weißt du, was das heißt?

Du musst nur noch folgende poplige quadratische Gleichung lösen:

4,47 = 0,25x² - 0,5x + 4

0 = 0,25x² - 0,5x - 0,47

a = 0,25; b = -0,5; c = -0,47

Lösungsweg mit dem Casio-GTR:

EQUA-F2-F1-F1

y₁ = 0,25(2,70 - 2)² + 2 = 2,12

y₂ = 0,25(-0,7 - 2)² + 2 = 3,82

A₃(2,70 / 2,12); A₄(-0,70 / 3,82)

Nr. 6

weiter D 1.4

m = tan =-0.5

Entweder du löst diese Gleichung problemlos im GRAPH-Menü (siehe hier im rechten Rand) oder du weißt, dass sich der Tangenswert alle 180° wiederholt.

=> = -26.57

Du suchst einen stumpfen Steigungswinkel.

= -26.57 + 180° = 153,43°

Im Steigungsdreieck B_nC_nF gilt:

C_nB_nF = 180° -

C_nB_nF = 180° - 153,43°

C_nB_nF = 26,57°

Es soll gelten:

Nr. 5

weiter D 1.3

D 1.4

Wie du gerade nachgewiesen hast gilt:

Was du brauchst ist die Streckenlänge . Sie ist nicht von x abhängig. [A _nB_n] ist Hypotenuse im Steigungsdreieck A _nB_nF. Es gilt:

m = tan =-0.5

Nr. 4

weiter D 1.3

Haben zwei Punkte den gleichen x-Wert, liegen sie übereinander, dann berechnet sich die Streckenlänge zwischen diesen beiden Punkten mit:

y_oben - y_unten

z.B. A(4/3) und B(4/-3)

= 3 - (-3) = 6 LE

Schaue es dir links an!

Haben zwei Punkte den gleichen y-Wert, liegen sie nebeneinander, dann berechnet sich die Streckenlänge zwischen diesen beiden Punkten mit:

x_rechts - x_links

In Abhängigkeit von x gilt:

Nr. 3

weiter D 1.2

Du hast das jetzt nicht ganz verstanden, weil du mit "Abszisse" nichts anfangen kannst? "Sie haben die gleiche Abszisse" heißt: "Sie haben den gleichen x-Wert. Alle Punkte A und B liegen übereinander."

Was bedeutet dies für die Punkte C und D, wenn gilt:
[AB]||[CD] ?

Richtig, auch C und D haben die gleiche Abszisse, den gleichen x-Wert, sie liegen übereinander. Der Abstand zwischen [AB] und [CD] beträgt 4 LE.

Also zeichnest du rechts von der Parallelen p₁ eine Parallele p₂ im Abstand 4 LE. Die Parallele p₂ schneidet die Parabel und die Gerade in den Punkten D₁ und C₁.

Damit hast du dein erstes Trapezbeispiel. Mit Nummer 2 machst du es genauso. Alles klar?

D 1.3

Erinnerst du dich, wie man Streckenlängen berechnet, wenn die Strecken parallel zu den Achsen sind?

Nr. 2

D 1.2

Ich hoffe, du hast inzwischen erkannt um welche Art Aufgabe es sich handelt. Es ist eine Abhängigkeitsaufgabe bei der du zwischen zwei Funktionsgraphen Trapeze reinbasteln sollst. Alle Punktkoordinaten hängen vom x-Wert des Punktes A ab.

Da man dir zur Abschlussprüfung kein dynamisches Arbeitsblatt wie links zur Verfügung stellen kann, lässt dich der Aufgabensteller zwei Beispiele zeichnen. Er macht dies in der Hoffnung, dass du eine Vorstellung von dieser Abhängigkeitsaufgabe bekommst. In der Abschlussprüfung hilft dir nur deine Vorstellungskraft. Du musst dir vorstellen, wie du den Punkt A mit der Maus ziehst. Links kannst du es ausprobieren. Ziehe den Punkt A auf die x-Werte -3 und 2 und schau dir die Trapeze an.

Wie aber kommst auf Papier zu deinen beiden Trapezen?

Du zeichnest eine Parallele p₁ zur y-Achse durch x = -3. Die Parallele p₁ schneidet die Parabel und die Gerade in den Punkten A₁ und B₁.

Nr. 10

weiter D 1.6

Du weißt noch wie das geht? Wie in Teilaufgabe D 1.3:

=y_oben - y_unten

Es gilt:

0,25x²-0,5x+4=0,25x²+1.5x+6

-0,5x + 4 = 1.5x + 6

- 2 = 2x => x = - 1

eingesetzt in A_n:

y = 0,25(-1 - 2)² + 2 = 4,25

=> A₅(-1 / 4,25)

Mathematik II

Haupttermin 2005

Aufgabe A 1

A 1.0

Die Gerade g hat die Gleichung

mit

. Die Punkte

und

sind die Schnittpunkte der Geraden g mit einer nach unten geöffneten Normalparabel p.

A 1.1

Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel p sowie die Koordinaten des Scheitelpunktes S.

Zeichnen Sie sodann die Parabel p und die Gerade g in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; ;

[Teilergebnis: p:

]

5 P

A 1.2

Punkte auf der Geraden g und Punkte auf der Parabel p mit haben jeweils dieselbe Abszisse x und sind zusammen mit Punkten C_n die Eckpunkte von Dreiecken A_nB_nC_n. Die Winkel C_nB_nA_n besitzen stets das Maß und für die Seiten gilt: .

Zeichnen Sie die Dreiecke A₁B₁C₁ für x = 0,5 und A₂B₂C₂ für x = 4 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

A 1.3

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für alle Vektoren auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet gilt: .

Berechnen Sie sodann die Koordinaten des Punktes C₃ des Dreiecks A₃B₃C₃ für x = 1,5 auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

3 P

A 1.4

Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet den Flächeninhalt A der Dreiecke A_nB_nC_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n.

Überprüfen Sie sodann, ob es unter den Dreiecken A_nB_nC_n ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von 22 FE gibt.

[Teilergebnis:

]

4 P

A 1.5

Unter den Dreiecken A_nB_nC_n gibt es die Dreiecke A₄B₄C₄ und A₅B₅C₅, in denen die Winkel A₄C₄B₄ und A₅C₅B₅ jeweils das Maß haben.

Berechnen Sie die Länge der Seiten

bzw.

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

2 P

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Nr. 1

A 1.1

"nach unten geöffnete Normalparabel" => a = - 1

Die anderen beiden Formvariablen bestimmst du indem du die Punkte P und Q in die Parabelgleichung einsetzt:

y = - x² + bx +c | P (0 / - 1) eingesetzt
y = - x² + bx +c | Q (5,5 / 1,75) eingesetzt

- 1 = - 0² + b•0 + c
1,75 = - 5,5² + b•5,5 + c

- 1 = c | unten eingesetzt
1,75 = - 30,25 +5,5b - 1 | + 31,25

33 = 5,5b | : 5,5

b = 6 => p: y = - x² + 6x - 1

a = - 1; b = 6; c = - 1

S (3 / 8)

Das Einzeichnen macht dir doch sicherlich keine Schwierigkeiten?

Nr. 9

A 1.5

Was weißt du bereits über die gesuchten Dreiecke A₃B₃C₃ und A₄B₄C₄?
= 120°, , = 25° und sollst du ausrechnen.

Hörst du ihn rufen? Hörst du ihn? Er schreit geradezu? Der Sinussatz schreit immer lauter: "Nimm mich! Nimm mich!

Warum gibt es zwei solche Dreiecke? Diese Frage zu beantworten wird von dir nicht verlangt. Natürlich könnte man sie stellen. Und man könnte sie auch relativ leicht beantworten.

Nr. 8

weiter A 1.4

Lösung mit Determinantenformel

Entscheide selber, welche Möglichkeit dir leichter fällt.

Nr. 10

Zusatzfrage

Für gilt: = - x² + 5,5x

Du setzt den eben berechnetenWert ein:
4,42 = - x² + 5,5x | - 4,42

0 = - x² + 5,5x - 4,42

Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Damit hättest du die x-Werte von A₃, B₃, A₄ und B₄. Aber wie gesagt, das will ja niemand von dir wissen. Aber wie wäre es, wenn du es für dich ausrechnest, so für dich ganz alleine. Kontrollieren könntest du es mit dem Arbeitsblatt.

Nr. 6

weiter A 1.4

zu 2.

mit hättest du eine Seite. Du brauchst nur in Abhängigkeit von x zu bestimmen. Das ist ein vielversprechender Weg.

zu 3.

mit hast du Vektor 1. Du brauchst nur noch den Vektor 2 mit in Abhängigkeit von x. Auch das scheint ein gangbarer Weg. Ich werde dir beide Lösungsmöglichkeiten zeigen.

Lösung mit der Zwischenwinkel-Formel:

Die Punkte A_n und B_n liegen übereinander, deswegen ist die Rechnung besonders einfach.

= y_B - y_A = (- x² + 6x -1) - (0,5x - 1)
= (- x² + 5,5x) LE

A (x) = 0,5 • 6 • (- x² + 5,5x) sin 120°
= (2,60 •(- x² + 5,5x)) FE

Nr. 5

weiter A 1.3

A 1.4

Welche Möglichkeiten hast du grundsätzlich um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu bestimmen?

1. A = 0,5 •g•h

2. A = 0,5 •a•b•sin g

3. Determinantenformel

Diese 3 Möglichkeiten musst du jetzt darauf abklopfen, ob du mit ihnen ohne großen Aufwand zum Ziel kommst.

zu 1.

mit hättest du eine Grundseite. Aber die zugehörige Höhe zu berechnen, das wäre ein ziemlicher Aufwand. Vermutlich kämst du gar nicht ans Ziel und würdest die gesamte Prüfungszeit verplempern.

Nr. 4

weiter A 1.3

Du sollst die Koordinaten des Punktes C₃ berechnen. Immer wenn es heißt: "Berechne Punktkoordinaten", musst du die Aufgabe etwas anders lesen: "Berechne den Vektor, der vom Ursprung zu diesem Punkt hinführt, d.h. berechne den Ortsvektor." Und das machst du mit einer Vektorkette.

Den direkten Weg nach C₃ kennst du nicht. Du suchst dir eine Kette von Vektoren, die ebenfalls nach C₃ führen und die du kennst, oder die du dir berechnen kannst. Hier musst du dir zunächst einmal den Punkt B₃ berechnen indem du x=1,5 in die Parabelgleichung einsetzt.

y = - 1,5² + 6•1,5 - 1 = 5,75

=> B₃ (1,5 / 5,75)

=>

Nr. 3

weiter A 1.3

Um vom Punkt B_n zum Punkt C_n zu marschieren musst du gegen die Richtung der x-Achse laufen, d.h. die x-Koordinate des Vektors ist negativ; danach marschierst du in Richtung der y-Achse, d.h. die y-Koordinate des Vektors ist positiv.

b' = 180° - b = 180° - 120° = 60°

Die y-Kathete kannst du entweder mit dem Satz des Pythagoras oder mit einer Winkelfunktion berechnen.

Alle Punkte C_n liegen links und oberhalb von B_n =>

Nr. 2

Oder hast du doch Schwierigkeiten? Von der Geraden hast du die Punkte P und Q, und von der Normalparabel hast du den Scheitel und deine Parabelschablone.

A 1.2

Um die Dreiecke A₁B₁C₁ und A₂B₂C₂ zu zeichnen brauchst du keinesfalls die Koordinaten der Punkte zu berechnen. Es ist nicht verlangt und du würdest damit viel Zeit verplempern. Du markierst auf der Geraden und der Parabel die Punkte mit den x-Werten x = 0,5 und x = 4. Damit hast du die Punkte A₁, B₁, A₂, B₂ . An die Strecken trägst du in B₁ und B₂ den Winkel b = 120° an. Dann misst du jeweils 6 cm ab und erhältst die Punkte C₁ und C₂.

A1.3

Unten links im Applet ist ein Schalter mit dem du die Lösungsidee einblenden kannst. Du machst die Strecke [B_nC_n] zur Hypotenuse eines Steigungsdreiecks. Mit Hilfe der Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck berechnest du die Kathetenlängen. Du musst nur noch überlegen welche Vorzeichen die Vektorkoordinaten haben.

Nr. 7

weiter A 1.4

(2,60 •(- x² + 5,5x)) FE

Du setzt 22 FE ein.

22 = 2,60 •(- x² + 5,5x)

22 = -2,60x² + 14,3x | - 22

0 = -2,60x² + 14,3x - 22

a = - 2,60; b = 14,3; c = - 22

b² - 4ac = 14,3²-4 • (-2,60) • (-22) = -24,31

Die Diskriminante ist negativ. => Es gibt kein Dreieck mit dem Flächeninhalt 22 FE

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