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Algebra mit Spaß lernen

Geradewegs zu den Sternen 1
Lineare Funktionen - Produktmengen
 
 

Ich begrüße dich ganz herzlich. Das neue Schuljahr hat begonnen und ich denke, du kannst Hilfe gebrauchen. Ich kann dir unter einer Voraussetzung helfen, und diese Voraussetzung heißt: "Dein Fleiß". Nein, ich will dich nicht zum Streber machen. Fleiß und Strebertum sind zwei verschiedene Dinge. Was ich mit Fleiß meine ist, dass du nachhaltig arbeiten musst, kontinuierlich, immer wieder ein wenig, sich andauernd mit dem Thema beschäftigen, jeden Tag ein wenig üben. Etwa genauso wie ein gehobener Freizeitsportler öfters trainieren muss.

Ok, was steht an? Das Thema "Lineare Funktionen" steht an. Es wird uns viele Wochen beschäftigen, d.h. diese Lerneinheit hier wird sicher mehr als 20 Webseiten umfassen. Du wirst einsehen, dass du dich damit nicht kurz vor der Schulaufgabe beschäftigen kannst, immer in der Hoffnung auf einen kurzen und mühelosen Weg zu einer guten Note.

Mein Weg hier für dich wird fast mühelos sein, das verspreche ich, aber kurz ist er nicht. Wenn du natürlich jegliche Übung, jedwedes Training als Mühe betrachtest, dann sage ich Tschüß. Das wär's dann schon.

Du möchtest natürlich wissen: Was sind "Lineare Funktionen"? Hoffe ich jedenfalls! Gemach, gemach! Dazu muss ich dir erst einmal die gesamte Verwandtschaft bekannt machen.

Die Großmütter aller Funktionen sind die Produktmengen!

Die Mütter aller Funktionen sind die Relationen!

Geradewegs: Produktmengen ===> Relationen ===> Funktionen

Diese 3 Begriffe muss ich dir der Reihe nach erklären. Stell' nicht schon wieder die Stacheln auf! Es ist wirklich leicht.

Wie bilde ich eine Produktmenge?

Du brauchst dazu irgendwelche zwei Mengen. Eine erste Menge A und eine zweite Menge B. Wir könnten dazu z.B. als erste Menge eine Menge von 4 verschiedenfarbigen Hemden nehmen und als zweite Menge von 5 verschiedenen Krawatten. Die Aufgabe besteht nun darin alle möglichen Kombinationen von Hemden mit Krawatten zu bilden. Die Menge aller möglichen Kombinationen wäre eine Produktmenge.

In der Mathematik nehmen wir natürlich nicht Hemden- und Krawattenmengen, sondern Zahlenmengen.

Aufgabe 1:

Bilde die Produktmenge A x B (gelesen: A kreuz B) aus den Mengen A und B. Es gilt:

 
     
  A = {1; 3; 5} und B = {2; 4; 6; 8}  
     
  Du musst jetzt alle möglichen Kombinationen bilden, d.h. du bildest alle möglichen Zahlenpaare und das machst du bitte systematisch, so wie ich unten.  
     
 
A x B =

{(1 / 2); (1 / 4); (1 / 6); (1 / 8);

  (3 / 2); (3 / 4); (3 / 6); (3 / 8);

  (5 / 2); (5 / 4); (5 / 6); (5 / 8)}

 
     
 

Ein Produktmenge besteht also aus Zahlenpaaren, wobei die erste Zahl aus der ersten Menge und die zweite Zahl aus der zweiten Menge sein muss. Das ist wichtig! Denn B x A sieht anders aus:

 
     
 
B x A =

{(2 / 1); (2 / 3); (2 / 5);

  (4 / 1); (4 / 3); (4 / 5);

  (6 / 1); (6 / 3); (6 / 5);

  (8 / 1); (8 / 3); (8 / 5)}

 
     
 

Du weißt jetzt was eine Produktmenge ist, aber du weißt immer noch nicht warum die Produkrmenge "Produktmenge" heißt. Nein, da hat nicht irgendein dummer Mathematiker einen unsinnigen Namen gewählt, sondern der Name "Produktmenge" hat schon seinen Sinn. Beantworte einmal folgende Fragen:

Wie viele Elemente hat die Menge A ?

Wie viele Elemente hat die Menge B ?

Wie viele Elemente (Zahlenpaare) hat die Menge A x B bzw. B x A ?

Verstehst du jetzt, warum die Produktmenge "Produktmenge" heißt? Wenn die erste Menge 6 Elemente hat und zweite Menge hat 8 Elemente, dann hat die Produktmenge
6 • 8 = 48 Elemente (Zahlenpaare).

So dieses hätten wir geklärt. Du möchtest jetzt ein paar Aufgaben dazu? Löblich, löblich! Die bekommst du auch, aber jetzt noch nicht. Zunächst möchte ich dir noch erklären, warum ich die Zahlenpaare wie Punkte geschrieben habe.

Produktmengen aus Zahlenpaaren lassen sich auch grafisch als Punktmengen im Koordinatensystem darstellen.

 
     
 
 
 
 

Du kannst das rechte Koordinatensystem mit der Maus packen und über das linke Koordinatensystem ziehen und dir wird hoffentlich noch einmal klar, dass
A x B bzw. B x A verschiedene Graphen haben!"

 
     
  Neben endlichen Zahlenmengen gibt es auch unendliche Zahlenmengen. Auch diese kannst du dazu verwenden Produktmengen zu bilden.  
     
 

Aufgabe 2:

Bilde die Produktmenge A x B (gelesen: A kreuz B) aus den Mengen A und B. Es gilt:

 
     
  A = [1;3]Z und B = [1;3]Q  
     
 

Die Produktmengen selber sind ja easy, drum hab' ich mir gedacht, ich bring ein wenig Pfeffer in die Sache indem ich die lange nicht mehr gebrauchte Intervallschreibweise für die Zahlenmengen verwende.

Du erinnerst dich noch? Ein Intervall ist ein Abschnitt auf der Zahlengeraden. So ein Abschnitt hat eine linke und eine rechte Grenzzahl, die in eckigen Klammern stehen. Gehen die Klammern nach innen, gehören die Grenzzahlen zur Zahlenmenge. Gehen die Klammern nach außen, gehören die Grenzzahlen nicht dazu. Im ersten Fall spricht man von einem geschlossenen Intervall, im anderen Fall von einem offenen Intervall. Du kannst das auch mischen, eine Klammer nach innen und eine Klammer nach außen, dann hast du ein halboffenes Intervall.

Welche Zahlenmengen gemeint sind siehst du unten in der graphischen Darstellung.

 
     
 
 
     
 

Aufgabe 3:

Bilde die Produktmenge A x B (gelesen: A kreuz B) aus den Mengen A und B. Es gilt:

 
     
  A = [2;5]Q und B = [1;3]Q  
     
  Lösung einblenden hier...  
     
   
 

Du siehst, dass der Graph einer Produktmenge nicht nur einzelne Punkte, oder Strecken sein kann, sondern auch eine Fläche. Jeder Punkt des obigen Rechtecks, stellt ein Element der Produktmenge dar.

Am rechten Rand findest du noch ein paar Aufgäbleinchen, wenn du Lust und Nervenpower hast.

So jetzt kennst du die Großmutter aller Funktionen. Mit der Mutter der Funktionen, welche natürlich die Tochter der Großmutter ist, geht es auf Seite 2 weiter.

 
     
 
 
 
     
 
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:33 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Aufgabe 4:
 
Welche Produktmenge ist grafisch dargestellt?
 
 
Lösung mit Klick hier...
 
 
Aufgabe 5:
 
Welche Produktmenge ist grafisch dargestellt?
 
 
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Aufgabe 6:
 
Welche Produktmenge ist grafisch dargestellt?
 
 
Lösung mit Klick hier...
 
 
Aufgabe 7:
 

Zeichne den Graphen zu folgender Produktmenge:

[-1; 3]Q x {1; 2; 3}

Erst zeichnen, dann die Lösung einblenden!

 
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Aufgabe 8:
 

Zeichne den Graphen zu folgender Produktmenge:

[-1; 3]Z x {1; 2; 3}

Erst zeichnen, dann die Lösung einblenden!

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Aufgabe 9:

Zeichne den Graphen zu folgender Produktmenge:

[-1;3]Q x [1;3]Q

Erst zeichnen, dann die Lösung einblenden!

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Aufgabe 10:

Zeichne den Graphen zu folgender Produktmenge:

{1; 2; 3} x [-1;3]Q

Erst zeichnen, dann die Lösung einblenden!

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Aufgabe 11:
 
Kann der Graph unten der Graph einer Produktmenge sein? Wenn ja, dann gib diese Produktmenge an. Wenn nein, dann gib eine Begründung dafür.
 
 
Lösung mit Klick hier...