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Algebra mit Spaß lernen

Geradewegs zu den Sternen 2
Lineare Funktionen - Relationen und Funktionen
 
 

Ich hoffe, du hast dich inzwischen von Lektion 1 gut erholt. Großmütter sind doch manchmal auch anstrengend, vor allem wenn sie verlangen, dass du arbeitest. Also gestern hast du die Großmütter aller Funktionen kennengelernt, die Produktmengen. Heute beschäftigen wir uns mir ihren Töchtern, den Relationen.

Erinnerst du dich noch an unser Motto?

Geradewegs: Produktmengen ===> Relationen ===> Funktionen

Was ist eine Relation?

 
     
 

In Aufgabe 11 auf der letzten Seite habe ich es ja schon verraten.

Eine Relation ist die Teilmenge einer Produktmenge!

 
     
 

Du meinst, das kann doch nicht alles sein? Doch das ist alles. Das Problem ist nur die Auswahl der Zahlenpaare. Hierfür hast du zwei Möglichkeiten:

  1. Du triffst eine willkürliche Auswahl nach Lust und Laune.

  2. Die Auswahl geschieht durch eine Vorschrift.

Im Mathe-Unterricht geschieht die Auswahl natürlich gemäß Fall 2, also durch eine Vorschrift, eine Relationsvorschrift. Wie könnte so eine Vorschrift aussehen? Ich gebe dir einige Beispiele:

y < x oder 2x -y < 5 oder y = 3x +1 oder y = x² - 2x +1 oder x-3y = 23

Eine Relationsvorschrift ist also eine Gleichung oder Ungleichung mit den zwei Variablen x und y. Mit Hilfe einer Gleichung bzw. Ungleichung sortierst du die Zahlenpaare aus der Produktmenge aus, die die Gleichung bzw. Ungleichung erfüllen. Diese Zahlenpaare gehören dann zu einer Relation.

Weißt du eigentlich, was das englische Wort "relation" bedeutet? Übersetzt heißt es "Beziehung". Die Relationsvorschrift stellt eine Beziehung zwischen den x-Werten aus der ersten Menge und den y-Werten aus der zweiten Menge her.

Aufgabe 1:

Gegeben sind die Mengen A = {-3; -2; 0; 1; 2; 3; 4} und B =[-4; 3]Z sowie die Vorschrift y =0,5x - 1 mit = A x B .

Bestimme die Elemente der Relation.

 
     
 

Wie viele Elemente (Zahlenpaare) hat die Produktmenge (Grundmenge) A x B. In der Menge B sind die ganzen Zahlen von -4 bis 3 enthalten. Das sind 8 Zahlen und in der Menge A sind 7 Zahlen. Die Produktmenge A x B enthält also 7 • 8 = 56 Zahlenpaare. Ein Weg, die Relation zu bestimmen, wäre natürlich alle 56 Zahlenpaare in die Relationsvorschrift einzusetzen, und nachzuschauen ob die Relationsvorschrift erfüllt ist. Aber was für ein mühsamer Weg wäre dies.

Stell dir einmal vor für B würde gelten B =[-4; 3]Q . Du müsstest unendlich viele Zahlenpaare ausprobieren. Ausprobieren würde hier nicht funktionieren. Solches geht nur bei kleinen, endlichen Mengen.

Der richtige Weg heißt: Verwende eine Wertetabelle!

 
     
   
     
 

Eine Wertetabelle besteht aus 2 Zeilen. Oben stehen die x-Werte aus Menge A. Diese Werte setzt du in die Relationsvorschrift ein und rechnest die zugehörigen y-Werte aus. Jetzt musst Du nur noch prüfen, ob der errechnete y-Wert in der Menge B enthalten ist.

y = 0,5 • (-3) - 1 = - 1,5 - 1 = - 2,5

 
     
 
  y = - 2,5 ist nicht in der Menge B enthalten. Demnach ist das Zahlenpaar (-3 / -2,5) auch nicht in der Produktmenge (= Grundmenge).
 
     
  So wie oben müsstest du alle y-Werte berechnen. Doch wenn du einen graphischen Taschenrechner hast, kannst du mit ihm deine Wertetabelle berechnen. Wie das funktioniert, zeige ich dir im rechten Rand oben.  
     
   
     
  Für die Relation R gilt also: R = {(-2/-2); (0/-1); (2/0); (4/1)}  
     
 

Noch 2 Begriffe:

Alle in einer Relation auftretenden x-Werte bilden die Definitionsmenge , die zugehörigen y-Werte die Wertemenge .

 
     
 

In unserer Aufgabe oben sind Definitionsmenge und Wertemenge:

= {-2; 0; 2; 4} und = {-2; -1; 0; 1}

 
     
 

Aufgabe 2:

Gegeben ist eine Relation R = {(-5/12); (-3/10); (-1/8); (1/6); (3/8); (5/10); (7/12)}.

Gib die Definitions- und die Wertemenge der Relation an.

 
     
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Aufgabe 3:

Durch die Vorschrift 2x + y =3 wird in A x B eine Relation bestimmt.

A = [-3; 3]Z ; B = [-1; 6]Z

a) Stelle die Elemente der Relation in aufzählender Form dar.

b) Gib die Definitions- und Wertemenge der Relation an.

Hinweis: Zur Berechnung der Wertetabelle musst du die Relationsvorschrift nach y auflösen.

Lösung einblenden hier...

 
     
   
     
 

Du kennst nun die Großmutter und die Mutter der Funktion. Lass uns die Familiengeschichte zu Ende bringen.

Geradewegs: Produktmengen ===> Relationen ===> Funktionen

Was ist eine Funktion?

 
     
  Eine Funktion ist eine Relation, eine Relation mit besonderen Eigenschaften. Um dir diese Eigenschaften klar zu machen, habe ich nun zwei Möglichkeiten. Entweder verwende ich die korrekte mathematische Formulierung oder ich drücke mich verständlich aus. Du bekommst beide Erklärungsmöglichkeiten von mir. Vergleiche selber!  
     
 
Eine Funktion f ist eine eindeutige Relation. Jedem Element x der Definitionsmenge wird genau ein Element y der Wertemenge zugeordnet.   Eine Funktion erkennst du daran, dass in den Zahlenpaaren jeder x-Wert nur einmal vorkommt oder du schaust dir die grafische Darstellung an. Funktionen haben keine übereinander liegenden Punkte.
 
 
 
 
         
Funktion
 

keine Funktion,
nur Relation

 
keine Funktion,
nur Relation
 
     
 

Aufgabe 4:

Gegeben ist eine Relation R mit der Relationsvorschrift y + 0,5x² = 3 d.h.

R = {(x/y)| y + 0,5x² = 3} in der Grundmenge M x , wobei M = [-4;4]Z

a) Bestimme die Elemente der Relation. [Hinweis: Löse die Vorschrift nach y auf!]
b) Fertige eine grafische Darstellung.
c) Entscheide, ob R eine Funktion ist. Begründe.

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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:33 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Berechnung von Wertetabellen mit
dem GTR Casio
CFX-9850GB PLUS

 
 
Im Hauptmenü wählst du den Menüpunkt TABLE = TABELLE.
 
 

In diesem Fenster gibst du jetzt die Relationsvorschrift bzw. später den Funktionsterm ein.

Achte darauf, dass in der 1. Zeile des Fensters oben steht: y =

Ist das nicht der Fall, dann ist der falsche Typ eingestellt. Das musst du ändern. Unten im Fenster hast du eine Menüzeile. An 3. Position findest du den Menüpunkt "TYPE". Mit der Funktionstaste F3 wählst du "TYPE" aus und stellst das Tabellenfenster auf y =.

Noch kannst du dir die Wertetabelle nicht anzeigen lassen. Erst musst du noch den Bereich der Wertetabelle einstellen. Wähle unten mit F5 den Menüpunkt "RANG" (= engl. range = Bereich).

 
 

Hier musst du dern ersten und letzten x-Wert eintragen. Jeden Eintrag bestätigst du mit der EXE-Taste. Bei pitch trägst du die Schrittweite ein. In unserer Aufgabe 1 links ist die Schrittweite 1.

Wenn du die Schrittweite mit EXE betätigst hast, kommst du zurück ins Tabellenfenster. Dort wählst du mit F6 den Menüpunkt "TABL".

 
 
Mit den Pfeiltasten kannst du dich in der Wertetabelle bewegen.
 

Merke:

Mit der Taste "MENU" kommst Du zurück ins Hauptmenü, und zwar ganz gleich wo du dich befindest.

Mit der Taste "EXIT" steigst du im Menübaum um eine Stufe nach oben.

 
Beispiele für Funktionen
bzw. Relationen
 
 
Funktion
 
 
keine Funktion,
nur Relation
 
 
Funktion
 
 
 
keine Funktion,
nur Relation