Lineare Funktionen - Steigungsdreieck und Steigungsvektoren I

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Nr. 1

Wie viele Punkte musst du kennen, damit du eine Gerade zeichnen kannst? Richtig, du brauchst 2 Punkte, zwei Zahlenpaare der linearen Funktion. Diese beiden Punkte legen alles fest. Was folgt daraus?

Aus den Koordinaten dieser beiden Punkte muss sich alles berechnen lassen, was ein Mathelehrer nur fordern kann! Nun arbeiten wir beide mit besonderen linearen Funktionen: Den Ursprungsgeraden, d.h. ein Punkt, der Ursprung (0 / 0), liegt für alle unsere Geraden fest. Für unsere Ursprungsgeraden brauchen wir eigentlich nur einen Punkt kennen. Damit wird alles, was ich dir erklären will, zum Kinderspiel.

Um die Gerade g: y = 2x zeichnen zu können, habe ich mir den Punkt A(2,22/4,44) ausgerechnet. Warum so kompliziert? Keine Angst nach ein paar Plaudereien machst du es mit Links. Eigentlich solltest du es jetzt schon können. Zwei Punkte legen aber auch einen Vektor fest. Wie nennt man einen Vektor, der seinen Fußpunkt im Ursprung hat und welche Koordinaten hat er? Erst nachdenken, dann vorwärts klicken.

Nr. 5

Wir sind immer noch bei der Frage : Was bringt das?

Aufgabe 2:

Zeichne die Gerade g: y = 2x mittels eines Steigungsdreiecks.

Hierzu musst du den Steigungsfaktor m = 2 als Bruch darstellen:

aus

folgt:

Du musst vom Ursprung aus 2 Schritte = Längenenheiten nach rechts und einen Schritt nach oben gehen. Du markierst den Punkt und kannst so die Gerade zeichnen. Anfänglich wirst du das Steigungsdreieck zur Übung wirklich einzeichnen müssen. Später reicht das Abzählen.

Solche Aufgaben üben wir unten noch ein wenig.

Nr. 4

Wir waren bei der Frage stehengeblieben: Was bringt das?

Aufgabe 1:

Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden durch den Punkt A(2,22/4,44).

Lösung:

Um den Steigungsvektor zu berechnen, brauchst du hier nicht die Berechnungsformel "Spitze - Fuß". Es gilt:

mit

gilt:

=> OA: y = 2x

Nr. 3

Jeder Vektor, der auf der Geraden liegt, ist ein Steigungsvektor!

Nimm seine y-Koordinate und teile sie durch seine x-Koordinate und du erhältst den Steigungsfaktor.

Das gilt übrigens nicht nur für Ursprungsgeraden, sondern für alle Geraden. Aber das werde ich dir später zeigen.

Damit du siehst, dass ich kein Dampfplauderer bin, musst du den Punkt A mit der Maus verschieben und dabei die Punktkoordinaten, die Vektorkoordinaten und

beobachten. Das ich nicht flunkere, sondern den Steigungsfaktor m wirklich für jeden Punkt A vom Computer berechnen lasse, siehst du, wenn du den Punkt A in den Ursprung ziehst! Was bringt dieses Wissen?

Nr. 2

Ein Vektor, der seinen Fußpunkt im Ursprung hat, nennt man einen Ortsvektor und er hat dieselben Koordinaten wie der Punkt zu dem er hinführt. Es gilt also:

Wenn A(2,22/4,44)

dann

Die Koordinaten dieses Vektors lassen sich als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen, wobei der Vektor selber die Hypotenuse ist. So ein Dreieck nennt man Steigungsdreieck!

Da ich weiß, dass mancher nicht weiß, was eine Kathete oder Hypotenuse ist, will ich es noch einmal erklären. Eine Hypotenuse ist die Seite im rechtwinkligen Dreieck, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Die Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.

Du kannst den Punkt A mit der Maus packen (anklicken und gedrückt halten) und auf der Geraden verschieben. Probiere es aus und beobachte dabei die Punkt- bzw. Vektorkoordinaten. Was vermutest du über die Begriffe Steigungsvektor und Steigungsdreieck?