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Algebra mit Spaß lernen

Geradewegs zu den Sternen 5
Lineare Funktionen - Steigungsdreieck und Steigungsvektor II
 
 

Hallo du! Gut drauf heute? Du sollst heute zunächst einmal spielen und mit schlechter Laune ist das ein Graus. Womit du spielen sollst? Na, mit dem Arbeitsblatt unten. Dort ist Eigeninitiative gefragt. Aber keine Angst, ist stelle dir auch ein paar Aufgaben.

Ich habe dir ja schon auf der letzten Seite erzählt, dass ein Steigungsvektor nicht notwendigerweise seinen Fußpunkt im Ursprung haben muss. Zwei Punkte auf einer Geraden legen einen Vektor fest und ein solcher Vektor ist ein Steigungsvektor. Da eine Gerade unendlich viele Punkte hat, gibt es zu einer Geraden auch unendlich viele verschiedene Steigungsvektoren und Steigungdreiecke.

Aus jedem Steigungsvektor kannst du die Steigung berechnen!

In dem Arbeitsblatt unten kannst du 3 Dinge verändern. Du kannst mit der Maus die Punkte A und B auf der Geraden g verschieben und du kannst mit dem Schieberegler den Steigungsfaktor m ändern.

Schiebe die Punkte A und B ein wenig auf der Geraden g hin und her. Beobachte dabei die Koordinaten des Steigungsvektors und den Wert der daraus berechneten Steigung. Das die Steigung bei jeder Verschiebung neu berechnet wird, siehst du wenn du die Steigung veränderst und besonders, wenn du die Punkte A und B aufeinander legst. Warum?

Den Ausgangszustand des Arbeitsblattes stellst du wieder her, wenn du rechts oben im Arbeitsblatt auf die ineinander gedrehten Pfeile klickst.

 
     
 
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Aufgabe 1:

Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte A und B und stelle die Gleichung der Ursprungsgeraden auf.

a) A(2/-1) und B(-6/3)

Hinweis: Berechne den Steigungsvektor mit der Regel "Spitze - Fuß". Berechne dann aus dem Steigungsvektor mit

 
 

die Steigung und stelle die Gleichung auf.

Du kontrollierst dein Ergebnis mit dem Arbeitsblatt links. Du stellst mit dem Schieberegler deine errechnete Steigung m ein. Verschiebe die Punkte A und B jetzt so, dass sie die angegebenen Koordinaten haben. Gelingt dir das nicht, dann hast du dich verrechnet. Du solltest deinen Fehler suchen.

 

b) A(4/0,8) und B(-5/-1)

c) A(2/-3) und B(-1/1,5)

d) A(2/5) und B(-0,4/-1)

e) A(-2/-1,6) und B(4/3,2)

 
     
 

Ergebnis:

Durch zwei Punkte wird die Steigung einer Geraden festgelegt.

Steigungsvektor

 
     
 

Nachdem du hoffentlich gelernt hast, wie du einen Steigungsvektor berechnest und mit seiner Hilfe den Steigungsfaktor bestimmst, will ich dir hier noch ein sehr mächtiges Werkzeug für die Abschlussprüfung vorstellen. Für eine erfolgreiche Abschlussprüfung brauchst du zwischen 10 und 15 verschiedene Werkzeuge. Du musst wissen, dass es sie gibt, und du musst sie einsetzen können.

Ich will es mal mit richtigen Werkzeugen aus dem Fach Werken vergleichen. Du musst wissen was eine Feile ist, und du musst eine Feile auch zu gebrauchen wissen. Richtig feilen ist nicht einfach, es bedarf reichlicher Übung. Was ich damit sagen will? Zu wissen wo du das Werkzeug in der Formelsammlung findest ist hilfreich, aber besitzt du keine Übung mit diesem Werkzeug, ist dieses Wissen einen Scheißdreck wert. 'tschuldigung!

Aus diesem Grund wirst du jetzt unten mit dem Arbeitsblatt eine Aufgabe lösen. Ich beschreibe sie dir im rechten Rand.

 
     
 
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Aufgabe 2:

Du siehst zwei Ursprungsgeraden. Beide kannst du an den roten Punkten mit der Maus packen (anklicken und Maustaste gedrückt halten) und ihre Steigung verändern. Im Anfangszustand bilden sie einen rechten Winkel.

Suche 5 weitere Geradenpaare, die einen rechten Winkel bilden. Beobachte dabei ihre Steigungen und das Produkt m1*m2.

Notiere es dir auf Papier!

Was stellst du fest?

Ergebnis hier klicken ...

 
 
     
  Ach, ich habe noch etwas vergessen. Senkrechte Geraden nennt man auch orthogonal!  
     
 

Keine Sau kann sich dieses Wort orthogonal merken. Orthogonal ist auch zu komisch. Bei dem Wort orthogonal denkt doch jeder an anal, an ein rechtwinkliges ... Nein, ich sage es nicht! Ich sage dir, du merkst dir dieses Wort nur, wenn du es singst.

Kennst du den Kanon "Bruder Jakob"? Nach dieser Melodie sollst du unten den Text singen. Das sei ein Schmarrn? Glaube mir, ich lasse meine Schüler singen, wenn sie sich etwas überhaupt nicht merken können. Und wer kann sich schon das Wort orthogonal merken. Die Melodie hörst du hier mit Klick...

 
     
 

Orthogonal, Orthogonal,

90 Grad, 90 Grad,

ist ein rechter Winkel, ist ein rechter Winkel,

90 Grad.

 
     
 

Aufgabe 3:

Es gilt: A(4/1); B(2/0,5); C/-2,5/10); D(-2/-0,5); E(0,5/-2)

a) Prüfe durch Rechnung, ob die folgenden Geraden jeweils Ursprungsgeraden sind.

g1 = AB; g2 = BD; g3 = AE; g4 = CE

b) Welche dieser Geraden stehen senkrecht aufeinander?

 
     
 

Hinweis: Berechne die zugehörigen Steigungsvektoren und bestimme aus ihnen jeweils die Steigungen. Jetzt kannst du mit Hilfe dieser Steigungen die Gleichungen der Ursprungsgeraden aufstellen. Ob z.B. die Punkte A und B auf dieser Ursprungsgeraden drauf liegen, weißt du noch nicht. Du weißt nur, dass diese Ursprungsgerade die Steigung des Steigungsvektors hat. Da es zu einer Ursprungsgeraden unendlich viele Parallelen gibt, die alle dieselbe Steigung haben, musst du noch prüfen, ob A und B auf dieser Ursprungsgeraden liegen. Dabei reicht es, dass du einen der beiden Punkte in die Geradengleichung einsetzt. Wenn A drauf liegt, liegt auch B drauf. Du hast ja aus beiden die Steigung berechnet.

Wenn du z.B. die Ursprungsgerade y = 0,5x um 3 Längeneinheiten nach oben schiebst, sieht die Geradengleichung so aus: y = 0,5x + 3. Da beide denselben Steigungsfaktor haben, sin beide Geraden parallel. Aber das ist das Thema von Seite 6.

Es gibt natürlich noch eine 2. Lösungsmöglichkeit, aber die habe ich dir schon einmal erklärt. Die wäre hier aber etwas umständlich. Es gibt eigentlich immer mindestens 2 Lösungsmöglichkeiten.

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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:34 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Aufgabe 4:

Überprüfe, ob die folgenden Geraden senkrecht aufeinander stehen.

a)
g: y = 2x und h: y = 0,5x

b)
g: y = 0,25x und
h: 2x+0,25y=0

c)
g: und
h: y = -1,5x

d)
g: y + 2x =0 und
h: 4x - 8y =0

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Aufgabe 5:

Bestimme die Gleichung der zu g orthogonalen Ursprungsgeraden h.

a) g: y = -2,5x

b) g: 3x + y = 0

c) g: y = 0,125x

d) g: 2x - 3y = 0

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