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Algebra mit Spaß lernen
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Geradewegs zu den Sternen 8
Lineare Funktionen - Übungen I |
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Hallo du, wir biegen auf die Zielgerade ein, allerdings auf eine lange Zielgerade. Erinnerst du dich? Ich habe dir versprochen, gegen Ende unserer gemeinsamen Arbeit zu erklären, was das Motto, das über dieser Lerneinheit steht: Per aspera ad astra, zu erklären. Es handelt sich um eine Binsenweisheit der alten Römer. Es ist nämlich Latein und heißt: Durch das Rauhe zu Sternen. Was das bedeutet? Wenn du ein Ziel erreichen willst, kostet es Mühe. Im Sport könnte man es übersetzen: Ohne Training, keine Leistung! Wenn ich von Mühe spreche, meine ich nicht Mühsal. Mühe macht Spaß, weil sie Erfolg bringt. Es mag sein, dass Mathe für dich Mühsal bedeutet, das ist kein Charakterfehler. Doch wenn du dir Mühe gibst, wird diese Mühsal immer kleiner.
Weißt du, was ich für einen Charakterfehler halte? Wenn ein Mensch zu bequem ist, sich Mühe zu geben. Ein Schüler, eine Schülerin, der/die sich Mühe gibt, verdient jede Unterstützung und Kraftanstrengung meinerseits. Und die anderen? Meine Kraft ist begrenzt!
Das Thema heute heißt "Übungen", also üben wir.
Aufgabe 1:
a) Zeichne das Dreieck ABC mit A(0/1), B(7/-3) und C(3/3).
b) Bestimme die Gleichungen von AB, BC und AC.
c) Weise nach, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
d) Berechne die Gleichung der Senkrechten zu AB durch C.
e) Versuche durch Ziehen der Punkte mit der Maus ein weiteres Dreieck zu finden, das bei C rechtwinklig ist. Versuche dasselbe mit den Ecken A und B. Wiederhole mit diesen Koordinaten die Aufgaben b) bis c).
Hinweis: Ziehe das Arbeitsblatt am roten Balken nach links (anklicken und Maustaste gedrückt halten) nach links. Der Rand sollte frei liegen. Dort kannst du die Lösungen einblenden. Klicke unten dazu auf a, b, c usw.
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| Nr. 1 |
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a)
Na, das Dreieck wirst du hoffentlich zeichnen können. Ansonsten benutzt du meins.
zu b)
Du machst die Seiten zu Steigungsvektoren. Aus ihren Koordinaten berechnest du die Steigungen. Für den y-Achsenabschnitt hast du zwei Möglichkeiten. Du benutzt die Punkt-Steigungs-Form oder du setzt einen Punkt in die Normalform ein. Ich werde dir beide Verfahren vorführen.
1. Möglichkeit
Punkt-Steigungs-Form mit A
y =  (x - 0) + 1
AB: y = x +1 |
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| Nr. 4 |
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d)
Die Gerade AB hat die Steigung m1 = . Für eine Senkrechte muss gelten:
• m2 = - 1 | : ()
m2 =  = 1,75
1. Möglichkeit
Punkt-Steigungs-Form mit C
y = 1,75(x - 3) + 3
y = 1,75x - 5,25 + 3
g; y = 1,75x - 2,25
2. Möglichkeit
Normalform mit C
y = 1,75x +t | C eingesetzt
3 = 1,75 • 3 + t
3 = 5,25 + t | - 5,25
t = -2,25
g: y = 1,75x - 2,25
e)
Die Mühe musst du dir schon selber geben. |
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| Nr. 3 |
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 1. Möglichkeit
Punkt-Steigungs-Form mit C
y = -1,5 (x - 3) +3
y = -1,5x + 4,5 + 3
BC: y = -1,5x + 7,5
2. Möglichkeit
Normalform mit C
y = -1,5x + t | C eingesetzt
3 = -1,5 • 3 + t
3 = -4,5 + t | + 4,5
t = 7,5
BC: y = -1,5x + 7,5
c)
nach der Zeichnung vermutest du 
=>
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| Nr. 2 |
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2. Möglichkeit
Normalform mit A
y = x + t | A eingesetzt
1 = • 0 + t => t = 1
AB: y =x +1
3. Möglichkeit
Hier hättest du auch einfach hinschreiben können:
t = 1 wegen A(0/1)
AB: y = x + 1
t = 1 wegen A(0/1)
AC: y =  x + 1 |
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Aufgabe 3:
Die Punkte P(xp / 1) und Q(-1 / 5,5) liegen auf der Geraden g mit m = -2,5.
a) Berechne die Gleichung von g und die Koordinate xp.
b) Die Gerade h verläuft durch A(3 / 2) und ist parallel zu g. Berechne ihre Gleichung.
c) Die Gerade s steht senkrecht auf g mit A  s. Berechne ihre Gleichung.
Hinweis: Es hindert dich niemand eine Zeichnung anzufertigen!
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| Lösung zu a) hier... |
Lösung zu b) hier... |
Lösung zu c) hier... |
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g: y = -2,5x + 3
xp = 0,8 |
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Aufgabe 4:
Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(4/2); B(1/9) und C(-3/4)
a) Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem.
b) Zeichne die Mittelsenkrechte m[AB] ein und bestimme ihre Gleichung.
c) M1 und M2 sind Mittelpunkte der Seiten [AC] und [BC]. Bestimme die Gleichung der Geraden g durch diese beiden Punkte.
d) Vergleiche die Lage der Geraden AB mit der Geraden g. |
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Die Lösungen von Aufgabe 4 kannst du dem Arbeitsblatt entnehmen. Die Frage ist hier, wie kommst du zu diesen Lösungen. Der Dreh- und Angelpunkt der Aufgabe ist die Berechnung der Mittelpunkte der Dreiecksseiten.
Du findest die Formel in deiner Formelsammlung. Nein, ich biete sie dir hier nicht an. Ein Ziel von mir ist auch, dass du dich in deiner Formelsammlung auskennst. Also schau nach! Falls du wirklich so ein faules Schülerlein bist, benutze wenigstens meine Angaben aus dem Arbeitsblatt.
Nehmen wir einmal an, ich habe diese Aufgabe im Unterricht besprochen. Ruckzuck habe ich die Eckpunkte des Dreiecks mit der Maus versetzt und schon habe ich eine Aufgabe mit gleichem Lösungsweg, aber anderen Ausgangszahlen. Für Exen und Schulaufgaben ist so ein Arbeitsblatt sehr hilfreich.
Kurz und gut, es wäre besser, du wüsstest, wie man Mittelpunkte berechnet.
Hier ist der Weg das Ziel! |
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Aufgabe 5:
Im Dreieck ABC werden durch die Mittelpunkt der Seiten und die jeweils gegenüberliegenden Ecken Geraden gezeichnet. Diese Geraden heißen Seitenhalbierende sa, sb, und sc.
a) Fertige eine Zeichnung mit A(-1/-2); B(5/1) und C(1/6).
b) Berechne die Gleichungen von sa, sb, und sc. |
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Auch hier ist der Weg
das Ziel!
Auch hier kannst du deine Lösung mit den Gleichungen im Arbeitsblatt vergleichen. Auch hier kannst du die Dreieckspunkte mit der Maus versetzen und neue Aufgaben erzeugen, die du durchrechnen kannst. Auch hier ist Eigeninitiative gefragt.
Aber ich möchte mit dir auch noch über die Seitenhalbierenden sprechen. Nehmen wir an du schneidest ein Dreieck aus Pappe aus und zeichnest dort eine Seitenhalbierende ein. Du nimmst ein großes Messer und legst das Pappedreieck entlang der Seitenhalbierenden auf des Messers Schneide, dann ist das Dreieck im Gleichgewicht. Es kippt nach keiner Seite. Deswegen nennt man eine Seitenhalbierende auch Schwerlinie.
Die Seitenhalbierenden (= Schwerlinien) schneiden sich in einem Punkt. Setzt du dein Pappedreieck in diesem Punkt auf eine Nadel, dann kippt es nach keiner Seite. Es ist im Gleichgewicht. Diesen Schnittpunkt S nennt man deshalb Schwerpunkt.
Der Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden innerhalb des Dreiecks in einem bestimmten Verhältnis. Messe ruhig einmal mit deinem Geodreieck am Bildschirm die Streckenabschnitte und versuche das Verhältnis herauszufinden. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:35
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Aufgabe 2:
Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Parallelen p zur Geraden AB durch den Punkt C.
a) A(1/2); B(5/4); C(1/4)
b) A4/5); B(3/-5); C(6/8)
c) A(-2/4); B(1/3); C(3/3)
d) A(-1/1); B(0/3); C(3/-2) |
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| Lösung zu a) hier... |
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Steigung bestimmen:
m=0,5 und C(1/4) in die Punkt-Steigungs-Form einsetzen:
y = 0,5(x - 1) +4
y = 0,5x + 3,5 |
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| Lösung zu b) hier... |
y = 10x - 52 |
| Lösung zu c) hier... |
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| Lösung zu d) hier... |
y = 2x - 8 |
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