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Algebra mit Spaß lernen

Bienen, Biber und Binome 1
1. Binomische Formel
 
 

Grüß dich Gott und herzlich willkommen zur Lernheit über die binomischen Formeln und ihre Anwendungen. Warum die Lerneinheit Bienen, Biber und Binome heißt? Der Bienenfleiß ist sprichwörtlich und Biber fällen mit Ausdauer und Sturheit auch die stärksten Bäume und bauen Burgen. Du bist die Biene und musst auch Biber sein, und auch ich habe die Sturheit eines Bibers dich immer wieder und wieder nach den binomischen Formeln zu fragen. Du brauchst diese Formeln von der 8. Klasse bis zur 10. Klasse wie die Luft zum Atmen. Und glaube nicht, dass es ausreicht zu wissen, wo die binomischen Formeln in der Formelsammlung stehen. Scheibenkleister, das nutzt dir einen Pfeifendeckel.

Die binomischen Formeln sind Werkzeuge, du musst sie überall und immer in den Matheproblemen erkennen können, auch wenn sie auf den ersten Blick nur schemenhaft zu bemerken sind. Einen vertrauten Menschen kannst du an seinen Bewegungen erkennen, auch in der Nacht bei schlechter Beleuchtung. So ist es auch mit den binomischen Formeln. Wenn du in der Nacht einen Menschen erkennen willst, der sich bewegt, reicht es sicherlich nicht aus, wenn du ein Foto aus der Tasche holst und vergleichst. Du musst wissen, wie er aussieht, und du musst wissen, wie er sich kleidet und sich bewegt.

Kurz und gut, wenn ich dich erwische, dass du eine binomische Formel nicht auswendig kannst, schreibst du sie 50 mal, beim zweiten Mal 100 mal, beim dritten Mal 150 mal usw. Und glaube nicht, dass ich den Überblick verliere. Ich schreibe mir das auf. Alles klar?

Du hast nur die Wahl Biene und Biber zu sein!
Hier hilft nur emsiger Fleiß, Durchhaltevermögen und Sturheit!

So nach dieser eindringlichen Vorrede, will ich dir erst einmal die Nützlichkeit der 1.Binomischen Formel für das Kopfrechnen zeigen. Ich nehme mal an du gehörst auch zu den Schülern/Schülerinnen, welche die Quadratzahlen von 11 bis 20 nicht können, obwohl sie sie können müssten, weil es äußerst nützlich wäre. Macht nichts! Mit Hilfe der 1.Binomischen Formel kannst du alle Quadratzahlen zwischen 11 und 99 im Kopf ausrechnen. Brauchst du nicht, weil du einen Taschenrechner hast? Was machst du, wenn ich dir den verbiete? Doch das darf ich!

Ich habe unten für dich ein Arbeitsblatt gemacht. Was es damit auf sich hat erkläre ich dir im rechten Rand. meine Plaudereien blendest du ein, wenn du unten auf 1, 2, 3, usw. klickst.

 
     
 
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1. Binomische Formel

(a + b)² = a² + 2ab + b²

 
     
 

Wenn ich dir um Mitternacht im Traum erscheine und dich nach dieser Formel frage, dann musst du sie auswendig aufsagen können. Wenn du bei deiner Hochzeit "Ja" gesagt hast, und der Standesbeamte fragt dich überraschend nach dieser Formel, dann musst du sie aufsagen können. Wenn du nach einem hoffentlich glücklichem langen Leben an die Himmelspforte kommst und Petrus dich nach dieser Formel oder nach Formel 2 oder Formel 3 fragt, dann musst du sie aufsagen können. Sonst nix Himmelreich!

Diese algebraische "Struktur", lässt sich natürlich nicht nur geometrisch zeigen, sondern auch algebraisch. Du musst dazu das Distributivgesetz anwenden, oder kürzer du musst wissen, wie man 2 Klammern miteinander multipliziert:

Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied in der zweiten Klammer multipliziert.

(a + b)² = (a + b) * (a + b) = a*a + a*b + b*a + b*b = + 2ab +

Das ist zwar sehr elegant und kurz, aber weniger gut durchschaubar. Nichtsdestotrotz werde ich dieses algebraische Verfahren bei der 2. und der 3. Binomischen Formel verwenden. Wir wollen doch zu Potte kommen.

 
 

 

 
  Jetzt gibt es Aufgaben, die du zunächst auf Papier löst. Dann blendest du auf meine Lösung mit Mausklick ein und kontrollierst dich. Ich weiß als alter Mathe-Pauker, dass du meistens Lücken im Bruchrechnen, im Rechnen mit Dezimalzahlen und Potenzgesetzen hast. Ich werde dir das notwendige Grundwissen zu jeder Aufgabe am Rand zur Verfügung stellen. Wenn du meinst, du brauchst Hilfe, blendest du es per Mausover ein. Mit Mausout wird es wieder ausgeblendet. Alles klar, Maja oder Willi?  
     
 

Aufgabe 1:

Forme in eine Summe um.

a) (0,2x + 11)² =

 
 

 

 
 
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  b) (5x + 0,2y)² =  
 

 

 
 
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c) (2x² + z³)² =        auch das ist ein Binom mit derselben algebraischen Struktur

 
     
 
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  e)  
     
 
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Keine Sorge da kommen noch mehr Aufgaben, wenn du alle 3 binomischen Formeln kennst. Doch jetzt musst du rückwärts arbeiten. Du bekommst jetzt Summen von mir, die alle vollständige Binome sind, und du sollst mir das Binom angeben.

Aufgabe 2:

Forme in ein Produkt um.

a) x² + 4x + 4 =

 
     
 
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  b) x² + 5x + 6,25 =  
     
 
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  c) 9x² + 12x +4 =  
     
 
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  Wenn du alle 3 binomischen Formeln kennst, gibt es weitere Übungen!  
     
 
 
 
     
 
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:35 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Juhu! Ich kann es!
 
Nr. 1
 

Wie kannst du 37², 53², 84² locker und leicht im Kopf berechnen? Um dir das zu zeigen, habe ich mir als Beispiel

19²

ausgesucht. Links siehst du ein Quadrat gezeichnet, dessen Seitenlänge 19 LE ist.

Von der Ecke unten links habe ich 10 LE nach rechts und nach oben abgetragen. Durch die beiden Punkte habe ich dann Parallelen zu den Seiten gezogen.

Warum ich das gemacht habe? Um 19² im Kopf zu rechnen, musst du 19² in ein Binom verwandeln.

19² = (10 + 9)²

Binom heißt nichts anderes als zweigliedriger Term.

Meine Parallelen teilen das Quadrat in 4 Teilflächen, die sich mit Hilfe der Längen 10 und 9 berechnen lassen.

Es gilt:

A = Rot + 2x Blau + Grün