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Algebra mit Spaß lernen

Bienen, Biber und Binome 6
Extremwerte quadratischer Terme II
(quadratische Ergänzung)
 
 

Weißt du, wo du dich befindest? Du bist jetzt in der vorletzten Trainingseinheit. Grüß dich Gott zunächst. Erkläre mir einmal mit wenigen Sätzen, was du auf der letzten Seite gelernt hast.

Du kannst Extremwerte quadratischer Terme bestimmen, wenn sie nur eine bestimmte Form besitzen wie z.B.

T(x) = -3 (x +5)² +7

Tmax = 7 für x = - 5

Diese Terme bestehen aus einem Quadrat z.B. (x + 5)² und einem Zahlenfaktor davor z.B -3 (der auch -1 oder +1 sein kann). Und dahinter folgt eine konstante Zahl z.B. 7.

Es gibt aber auch quadratische Terme, die nicht so ausschauen wie z.B.

T(x) = x² - 6x + 10

Besitzen solche Terme auch Extremwerte? Kann man diese auch aus dem Term ablesen?

Aufgabe 1:

a) Erstelle eine numerische Wertetabelle für den Term T(x) = x² - 6x + 10
für x [0;6] mit der Schrittweite und finde den Extremwert.

b) Welcher quadratische Term, in der uns bekannten Form, erzeugt die gleiche Wertetabelle und hat den gleichen Extremwert?

Du versuchst es erst selber auf Papier, dann blendest du meine Plaudereien zu dieser Aufgabe ein, in dem du auf 1, 2, 3 usw. klickst. Nur wer das Schnitzel selber ißt, wird auch satt. Wenn du glaubst, du könntest dir Zeit sparen, wenn du die Aufgabe nicht selber angehst, dann bist du auf dem Holzweg. Und Holzwege sind ja bekanntlich äußerst üble Hohlwege auf denen man sich entweder einen Beinbruch oder einen Achsenbruch holen kann.

Nur Holz- bzw. Hohlköpfe benutzen Holz- bzw. Hohlwege!

Glaubst du, dass du Skifahren oder Schwimmen durch Zuschauen lernen kannst?

 
     
 
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So ab hier bekommst du von mir Aufgaben satt, d.h. du wirst Termumformungen machen um Extremwerte zu bestimmen. Trau dir was zu und versuche es erst selbst. Du kennst meinen Standardspruch "Nur wer das Schnitzel selber ißt, wird satt". Im Fußball heißt es so schön: "Auch der größte Einzelkönner muss erst die Laufwege seiner Mitspieler kennen bevor er den tödlichen Pass spielen kann."

Weißt du wer deine Mitspieler sind, deine Mannschaftskameraden? Es sind die Aufgabenbastler, solche Kameraden wie ich. Alle geben dir versteckte Zeichen, wo du hinspielen sollst. Dazu brauchst du Übung. Übung heißt Pauken! Viele halten dies heutzutage für ein Schimpfwort. Ich bin ein Mathe-Pauker und halte dies für einen Ehrentitel. Nur hartes Training führt zu großen Erfolgen. Erst das Training, erst die Paukerei, dann kannst du deine Kreativität zur Geltung bringen. Auch in Mathe gibt es Eleganz.

Die Lösungen der Aufgaben kannst du einblenden, wenn du auf die Aufgabenstellung klickst.

 
 

 

 
 

Aufgabe 3:

Ermittle den Extremwert des Terms durch quadratische Ergänzung ( = )

a) T(x) = x² - 6x +11

 

 
   
 

b) T(y) = y² - 8y + 18

 

 
   
 

c) T(x) = x² - 2x + 5

 

 
   
 

d) T(z) = z² + 5z - 3

 

 
 
 
 

e) T(y) = y² - y + 1,25

 

 
   
 

f) T(x) = x² - 4x

 

 
   
 

g) T(x) = x (x - 2) + 5

 

 
   
 

h) T(x) = 3x (x + 1) - 2x²

 

 
   
     
  Die Fortsetzung folgt im rechten Rand.  
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:36 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Komm Willi ! Wir wollen quadratisch Ergänzen!
 
 

Aufgabe 4:

Bestimme den Extremwert.

T(x) = 2x² - 8x +5

Wenn bei dem x² eine Zahl ungleich 1 steht, dann musst du vor der quadratischen Ergänzung diese Zahl aus den Teiltermen mit x ausklammern!

2 [x² - 4x] +5 =

Verwende bitte eckige Klammern! Du brauchst ja später auch noch runde Klammern.

a² = x² => a = x

2ab = 4x = 2*x*2 => b = 2

=> 2 [(x²-4x+2²)-2²] + 5

2 [(x - 2)² - 4] + 5 =

Jetzt musst du die eckige Klammer noch auflösen!

2 (x - 2)² - 8 + 5 =

2 (x - 2)² - 3

=> Tmin = - 3 für x = 2

 

Aufgabe 5:

Bestimme den Extremwert.

T(x) = 3x² + 9x + 12

Ausklammern!

3 [x² + 3x] + 12 =

Quadratisch Ergänzen!

a² = x² => a = x

2ab = 3x = 2*x*1,5

=> b = 1,5

3[(x²+3x+1,5²)-1,5²]+12=

3[(x + 1,5)² - 2,25] + 12=

Eckige Klammer auflösen!

3 (x + 1,5)² - 6,75 + 12 =

3 (x + 1,5)² + 5,25 =

Extremwert ablesen!

=> Tmin =5,25 für x=-1,5

 
Weitere Aufgaben hierzu findest du auf Seite 7, wie immer mit einblendbaren Musterlösungen.